陳青艷，廖傳林，陳 帆

(武漢軟件工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)械系，武漢 430205)

0 引言

數(shù)控加工技術(shù)的發(fā)展使得切削用量的選擇范圍和靈活性增大，僅憑傳統(tǒng)上的經(jīng)驗(yàn)或手冊(cè)選擇切削用量已經(jīng)難以現(xiàn)代市場(chǎng)變化需求，因此運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)優(yōu)化模型、計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行切削用量?jī)?yōu)化選擇，對(duì)控制和保證加工質(zhì)量、充分發(fā)揮數(shù)控車床的能效及企業(yè)自身經(jīng)濟(jì)效益非常重要。

目前，大部分研究人員非常青睞模擬退火算法(SA/PS)［1］、分 散 搜 索 算 法(SS)［2］、粒 子 群 算 法(PSO)［3］、蟻群算法(ACO)［4］、混合人工蟻群算法(HABC)［5］、混合田徑算法(HTHS)［6］用于單位生產(chǎn)成本的多工序車削單目標(biāo)優(yōu)化，然而上述算法不僅容易陷于局部最優(yōu)解，而且只考慮到企業(yè)自身的經(jīng)濟(jì)效益而忽略了產(chǎn)品加工質(zhì)量。

近五年來，研究人員為解決上述問題，提出了采用遺傳算法及其變形的遺傳算法對(duì)多工序車削進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化。如采用進(jìn)化算法(EA)［7］和遺傳算法(GA)［8-9］對(duì)刀具耐用度與切削力的車削雙目標(biāo)優(yōu)化;因非支配排序遺傳算法NSGA-II［10］具備精英保留策略、快速非支配排序、排序機(jī)制簡(jiǎn)潔明晰等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于車削用量的多目標(biāo)優(yōu)化。如采用差分進(jìn)化算法(DE)與非支配排序遺傳算法(NSGAII)［11］對(duì)刀具磨損率與金屬切除率的多工序車削雙目標(biāo)優(yōu)化;采用NSGA-II 算法［12］對(duì)刀具耐用度、金屬切除率與表面粗糙度的多工序車削三目標(biāo)優(yōu)化;采用NSGA-II 算法［13］對(duì)單位生產(chǎn)率、單位生產(chǎn)成本與表面粗糙度的多工序車削三目標(biāo)優(yōu)化;然而上述文獻(xiàn)中不僅都沒有考慮加工精度對(duì)產(chǎn)品加工質(zhì)量的影響，而且也都沒有考慮采用不同變異方法對(duì)NSGA-II算法的影響;采用NSGA-II 算法［14］對(duì)加工精度與金屬切除率的精車切削優(yōu)化，考慮了精車的加工精度對(duì)產(chǎn)品加工質(zhì)量的影響，然而既沒有考慮實(shí)際生產(chǎn)中多工序車削情形，又沒有考慮生產(chǎn)成本對(duì)加工精度的影響。

本文采用高斯變異和多項(xiàng)式變異的NSGA-II 算法，對(duì)單位生產(chǎn)成本和加工精度雙目標(biāo)的多工序車削模型進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)合優(yōu)化實(shí)例和切削試驗(yàn)對(duì)其有效性進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)據(jù)分析與討論。

1 多工序車削多目標(biāo)優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)一

最低單位生產(chǎn)成本使用壽命能保證加工成本最低，即加工一個(gè)零件所用的成本最低。

單位生產(chǎn)成本UC($/piece)［15］，可表示:

式(1)中:

式(2)中:

式(1 ～5)中，CM—實(shí)際切削費(fèi)用($/piece);CI—機(jī)器閑置的費(fèi)用($/piece);CR—更換刀具費(fèi)用($/piece);CT—刀具費(fèi)用($/piece);dr—粗車背吃刀量(mm);ds—精車背吃刀量(mm);fr—粗車進(jìn)給量(mm/r);fs—精車進(jìn)給量(mm/r);Vr—粗車切削速度(m/min);Vs—精車切削速度(m/min);dt—加工余量(mm);n—粗車走刀次數(shù)(取整數(shù));kt—切削邊緣費(fèi)用($/min);k0—直接勞動(dòng)費(fèi)用與開銷($/min);tc—準(zhǔn)備裝載與卸載輔助時(shí)間(min);te—換刀時(shí)間(min);h1—刀具移動(dòng)時(shí)間相關(guān)系數(shù)(min);h2—刀具到達(dá)或離開時(shí)間相關(guān)系數(shù)(min);D—工件直徑(mm);L—工件長(zhǎng)度(mm);C0，p，q，r—刀具耐用度方程常數(shù);Tr—粗車刀具耐用度(min);Ts—精車刀具耐用度(min);Tp—粗車刀具耐用度與精車刀具耐用度的加權(quán)組合刀具耐用度(min);θ—加權(quán)組合刀具耐用度Tp的加權(quán)系數(shù)，0≤θ ＜1。

1.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)二

工件加工精度(μm)，可表示成

式(6)中，

式(6－7)中，δg—工件的加工精度(μm);E—材料彈性模量(MPa);J—工件慣性矩(mm4);K—工件裝夾方法系數(shù);CFc、xFc、yFc、ηFc、KFc—主切削力系數(shù)、背吃刀量指數(shù)、進(jìn)給量指數(shù)、切削速度指數(shù)、修正系數(shù);η1—背向力與主切削力比值。

1.3 加工約束條件

(1)粗車約束條件

1)刀具耐用度

式中，TL—最小刀具耐用度(min);TU—最大刀具耐用度(min)。

2)切削力約束

式中，k1，μ，ν—切削力方程系數(shù);Fr—粗車切削力(kgf);FU—機(jī)床容許的最大切削力(kgf)。

3)切削功率

式中，Pr—粗車切削功率(kW);PU—機(jī)床容許最大切削功率(kW)，η—功率效率。

4)穩(wěn)定切削區(qū)域

式中，λ，ν—穩(wěn)定切削區(qū)域相關(guān)常數(shù);SC—穩(wěn)定切削區(qū)域限制。

5)切削溫度

式中:k2—切削刀具表面溫度系數(shù);τ，φ，δ—切削刀具表面溫度相關(guān)指數(shù);Qr—粗車時(shí)切削刀具表面溫度(℃);QU—切削刀具表面最大容許溫度(℃)。

(2)精車約束條件

1)刀具耐用度

2)切削力

式中，F(xiàn)s—精車切削力(kgf);

3)切削功率

式中，Ps—精車切削功率(kW)。

4)表面粗糙度

式中，R—刀具圓弧半徑(mm);SR、SRU—工件表面粗糙度及所容許的最大表面粗糙度(μm)。

5)穩(wěn)定切削區(qū)域

6)切削表面溫度

(3)粗車與精車相互關(guān)系約束

式中，k3、k4、k5—粗車與精車參數(shù)變量關(guān)系常數(shù)，k3，k4，k4≥1;

(4)參數(shù)變量取值范圍約束

1)粗車切削速度

式中，VrL—最小粗車切削速度(m/min);VrU—最大粗車切削速度(m/min)。

式(22)中，

nmax，nmin分別為機(jī)床允許的最大轉(zhuǎn)速與最小轉(zhuǎn)速;

2)粗車進(jìn)給量

式中，frL—最小粗車進(jìn)給量(mm/r);frU—最大粗車進(jìn)給量(mm/r)。

3)粗車背吃刀量

式中，drL—最小粗車背吃刀量(mm);drU—最大粗車背吃刀量(mm)。

4)精車切削速度

式中，VrL—最小精車切削速度(m/min);VrU—最大精車切削速度(m/min)。

式(27)中:

5)精車進(jìn)給量

式中，frL—最小精車進(jìn)給量(mm/r);frU—最大精車進(jìn)給量(mm/r)。

6)精車背吃刀量

式中，drL—最小精車背吃刀量(mm);drU—最大精車背吃刀量(mm)。

7)粗車走刀次數(shù)約束

簡(jiǎn)化成:

因此:

式中，nL，nU—分別為粗車走刀次數(shù)最小值與最大值，Ζ—為整數(shù)集，［·］為取整函數(shù);

2 NSGA-II 遺傳算法

2.1 算法流程

步驟一:設(shè)置種群規(guī)模N，最大遺傳代數(shù)maxGen，其中N =20 ～200，最大遺傳代數(shù)maxGen =100 ～5000。

設(shè)置以單位生產(chǎn)成本UC 最小化與加工精度δg最小化為優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)［15］表達(dá):

步驟二:設(shè)置種群個(gè)體結(jié)構(gòu)體的組成;

為了減少編碼誤差，采用實(shí)數(shù)編碼，用結(jié)構(gòu)體來表示。個(gè)體結(jié)構(gòu)體組成元素:粗車切削速度、粗車進(jìn)給量、精車背吃刀量、精車切削速度、精車進(jìn)給量五個(gè)變量，單位生產(chǎn)成本UC、加工精度δg優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及其約束條件。

步驟三:對(duì)含有N 個(gè)體的種群規(guī)模進(jìn)行初始化，首先在變量取值范圍內(nèi)隨機(jī)分配變量值，然后分別計(jì)算兩目標(biāo)函數(shù)值及約束條件的取值，最后對(duì)N 個(gè)體進(jìn)行非支配排序，得到初始種群P0。

步驟四:遺傳代數(shù)t=1。

步驟五:判斷條件遺傳代數(shù)t≤maxGen，若不滿足，則轉(zhuǎn)向步驟十四。

步驟六:對(duì)遺傳代數(shù)t 的種群Pt進(jìn)行選擇、交叉和變異，產(chǎn)生子代種群Qt。

步驟七:合并種群，Rt=Pt∪Qt，新種群Rt的規(guī)模為2N。

步驟八:對(duì)新種群Rt進(jìn)行非支配等級(jí)排序，得到非支配等級(jí)分類不同的前沿集合F，式中F =(F1、F2、…)。

步驟九:令遺傳代數(shù)t+1 種群Pt+1=Φ，i=1。

步驟十:判斷條件|Pt+1| + |Fi|≤N，若不滿足條件，則轉(zhuǎn)向步驟十三。

步驟十一:對(duì)第i 前沿集合Fi進(jìn)行擁擠距離計(jì)算，并按擁擠距離降序排列，Pt+1=Pt+1∪Fi，i =i +1，轉(zhuǎn)向步驟十。

步驟十二:對(duì)第i 前沿集合Fi進(jìn)行擁擠距離計(jì)算，并按擁擠距離降序排列，選擇集合Fi中前N－|Pt+1|個(gè)元素，得到t +1 代種群Pt+1=Pt+1∪Fi［1:(N－ |Pi+1|)］。

步驟十三:對(duì)t+1 代種群Pt+1進(jìn)行選擇、交叉和變異，產(chǎn)生子代種群Qt+1，t=t+1，轉(zhuǎn)向步驟五。

步驟十四:得到不同遺傳代數(shù)t 的單位生產(chǎn)成本UC 與加工精度δg的Pareot 最優(yōu)集合即對(duì)應(yīng)參數(shù)取值集合，1≤t≤maxGen。

2.2 NSGA-II 算法優(yōu)化

2.2.1 對(duì)約束條件的處理方法

解i 支配解j，如果滿足下述條件之一:

(1)解i 可行，而解j 不可行。

(2)解i 與解j 都不可行，但解i 有更小的整體約束違反。

(3)解i 與解j 都可行，解i 支配解j。

2.2.2 NSGA-II 算法的選擇、交叉與變異

選擇方法:采用擁擠距離非支配排序選擇算符;

交叉方法:中間重組交叉［來自GADS 工具箱(MATLAB2011a 版)］(參數(shù):比率Ratio)。

變異:高斯變異［來自GADS 工具箱(MATLAB2011a 版)］(參數(shù):擴(kuò)張因子Scale、收縮因子Shrink)及多項(xiàng)式變異［16］。

為討論和描述方便，將采用高斯變異方法的NSGA-II 命名為GNSGA-II，而將采用多項(xiàng)式變異方法的NSGA-II 算法命名為PNSGA-II。

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例參數(shù)

工件材料45 鋼鍛件，工件長(zhǎng)度300mm，工件直105MPa;主切削力系數(shù)2650、其背吃刀量指數(shù)1.0、徑50mm，裝夾方法系數(shù)3，材料彈性模量2.2 ×進(jìn)給量指數(shù)0.75、切削速度指數(shù)－0.15、主切削力修正系數(shù)0.8。。

機(jī)床采用CAK6136V，主電機(jī)功率:5.5kW;功率效率:0.8，最大允許主切削力:5000N;主軸轉(zhuǎn)速范圍:200 ～3000 r/min;縱向進(jìn)給量范圍:0.05 ～1.12mm/r;背吃刀量范圍:0.05 ～5mm，表面粗糙度1.6μm。

其余參數(shù)完全來自文獻(xiàn)［2］，具體如下:

3.2 實(shí)例數(shù)據(jù)計(jì)算與驗(yàn)證

GNSGA-II 算法具體參數(shù)設(shè)置:種群規(guī)模N=100，遺傳代數(shù)maxGen =10000，交叉概率0.4，變異概率0.4，中間重組交叉參數(shù):比率Ratio =1.2;高斯變異參數(shù):擴(kuò)張因子Scale=0.1，收縮因子Shrink=0.5。

PNSGA-II 算法具體參數(shù)設(shè)置:種群規(guī)模N =100，最大遺傳代數(shù)maxGen =10000，交叉概率0.4，變異概率0.4，中間重組交叉參數(shù):比率Ratio =1.2，多項(xiàng)式變異參數(shù):變異分布系數(shù)ηm=20。為討論方便，取加權(quán)組合刀具耐用度Tp的加權(quán)系數(shù)θ=0.5。

比較粗車走刀次數(shù)n=2 時(shí)，分別采用GNSGA-II、PNSGA-II 計(jì)算得到的結(jié)果。分別采用高斯變異GNSGA-II 算法與多項(xiàng)式變異PNSGA-II 算法對(duì)單位生產(chǎn)成本和加工精度的多工序車削模型進(jìn)行優(yōu)化，如圖1a所示，遺傳代數(shù)gen≥2000 時(shí)，單位生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集個(gè)數(shù)均≥99，占種群規(guī)模N 的99%以上。圖1a 同時(shí)也表明，要想獲得低的單位生產(chǎn)成本，必須以犧牲加工精度為代價(jià);同樣的，要想獲得高的加工精度，要增加所花費(fèi)的單位生產(chǎn)成本;換句話說，加工精度與單位生產(chǎn)成本是相互矛盾的。采用高斯變異GNSGA-II 算法，遺傳代數(shù)gen =5000 時(shí)，單位生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集仍未收斂到穩(wěn)定的Pareto 最優(yōu)解集，如圖1b 所示。

圖1a 為Pareto 最優(yōu)解集個(gè)數(shù)演化過程;圖1b、c為遺傳代數(shù)Gen =2000、5000、9000、10000;圖1d 為遺傳代數(shù)Gen =10000 時(shí)單位生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集。

而采用多項(xiàng)式變異PNSGA-II 算法，遺傳代數(shù)gen=2000 時(shí)，單位生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集已經(jīng)收斂到穩(wěn)定的Pareto 最優(yōu)解集，如圖1c 所示。

采用高斯變異GNSGA-II 算法所獲得的Pareto最優(yōu)解集位于采用多項(xiàng)式變異PNSGA-II 算法得到的Pareto 最優(yōu)解集上方，如圖1d 所示，表明采用多項(xiàng)式變異PNSGA-II 算法得到的單位生產(chǎn)成本與加工精度Pareto 最優(yōu)解集優(yōu)于采用高斯變異GNSGA-II算法得到的單位生產(chǎn)成本與加工精度Pareto 最優(yōu)解集。下面采用PNSGA-II 算法進(jìn)一步計(jì)算粗車走刀次數(shù)不同取值的情形，最大遺傳代數(shù)maxgen=2000。

圖1 單位生產(chǎn)成本與加工精度Pareto 最優(yōu)解集

粗車走刀次數(shù)n=1 時(shí)，得到Pareto 最優(yōu)解集中的所有加工精度均＞30μm，如圖2 所示，不符合IT7的加工精度要求;因此，要想獲得IT7 加工精度時(shí)的生產(chǎn)成本，粗車走刀次數(shù)須n≥2。

圖2 生產(chǎn)成本與加工精度Pareto 最優(yōu)解集(n=1)

比較圖1、圖3、圖4，粗車走刀次數(shù)n 分別2、3、4時(shí)，得到的Pareto 最優(yōu)解集的加工精度均滿足IT7 要求，顯然，相同加工精度下，粗車走刀次數(shù)n =2 時(shí)，單位生產(chǎn)成本最小。如加工精度4μm 時(shí)，粗車走刀次數(shù)n 分別2、3、4 時(shí)，單位生產(chǎn)成本依次2.329 $、2.783 $、3.239 $。

圖3 生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集(n=3)

圖4 生產(chǎn)成本與加工精度的Pareto 最優(yōu)解集(n=4)

CAK6136V 的加工精度可達(dá)IT6、IT7，在實(shí)際加工中，為滿足約束條件，數(shù)控加工編程時(shí)輸入?yún)?shù)依次為:粗車背吃刀量2.975mm，粗車進(jìn)給量1.112mm/r，粗車切削速度86.796m/min;精車背吃刀量0.05mm，精車進(jìn)給量0.121mm/r，精車切削速度359.051m/min。此時(shí)數(shù)控加工得到的工件加工精度約3.981μm，單位生產(chǎn)成本為2.332 $(生產(chǎn)成本核算參照文獻(xiàn)［2］)，與計(jì)算結(jié)果接近，表明NSGA-II 算法用于單位生產(chǎn)成本和加工精度的多工序車削雙目標(biāo)優(yōu)化是有效的。

4 結(jié)論

通過不同變異方法的NSGA-II 算法，對(duì)生產(chǎn)成本與加工精度的雙目標(biāo)優(yōu)化，得到如下結(jié)論:

采用多項(xiàng)式變異方法的NSGA-II 算法，比高斯變異方法的NSGA-II 算法更快更好地收斂到Pareto最優(yōu)解集;

實(shí)例數(shù)據(jù)仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，采用多項(xiàng)式變異方法的NSGA-II 算法得到的生產(chǎn)成本與加工精度Pareto 最優(yōu)解集是有效的;

優(yōu)化實(shí)例與切削試驗(yàn)表明，粗車走刀次數(shù)一次往往無法滿足加工精度的需求。為了首先滿足加工精度的需求，首先確定較低的精車背吃刀量(如0.05mm);然后根據(jù)精車背吃刀量，計(jì)算粗車走刀次數(shù)n 最小時(shí)的粗車背吃刀量，切削實(shí)例中粗車走刀次數(shù)最小n=2;這樣六變量的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樗淖兞康膯栴}，加快獲得優(yōu)化結(jié)果。

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