劉 沁，彭 怡

(南京航空航天大學 民航學院，江蘇 南京211100)

動態(tài)定價是收益優(yōu)化的重要手段之一，最初應用在民航客運業(yè)的收益管理。用定價進行收益優(yōu)化的核心是以需求為導向，在一系列約束條件下，找到實現(xiàn)總期望利潤最大化的價格集合［1］。實踐證明，動態(tài)定價能夠顯著提高航空運輸企業(yè)的收益［2］。相比于客運來講，航空貨運的動態(tài)定價是個尚未受到足夠關注的領域。目前我國航空貨運定價通常采用單一的定價策略，呆板且不符合市場經濟規(guī)律。隨著各大航空公司對貨運重視程度的提高，航空貨運動態(tài)定價作為提升盈利能力的有效工具，需要加以研究［3］。

PAK 和DEKKER［4］利用多維背包思想構建了多航段時間離散型的航空貨運定價模型。HAN等［5］運用馬爾可夫模型，推導了單航段的貨運bid－price 控制策略。XIAO 和YANG［6］研究了適用于貨運收益管理的兩維容量屬性下易逝品的收益管理問題。趙桂紅［7］，張輝［8］，桂云苗等［9］探討了航空貨運的定價體系。鞠學見和羅利［10］分析了競爭與合謀情況下的航空貨運服務定價策略。雷麗彩和周晶［11］在考慮風險規(guī)避貨運代理商的情況下分析了航空公司的最優(yōu)定價。王曉立和馬士華［12］研究了航空貨運市場運力分配和定價的協(xié)調問題。周寅艷［13］建立了競爭市場環(huán)境下貨物多級運價動態(tài)模型。上述研究沒有考慮需求規(guī)律的不確定性對定價的影響。由于航空貨運行業(yè)的特殊性，貨運市場需求彈性大，波動性強，需求函數參數的估計不完全準確，這增加了定價決策的風險。筆者在前人研究的基礎上，引入相對熵理論構建航空貨運動態(tài)定價魯棒優(yōu)化模型，旨在增加航空公司收益的同時降低公司定價決策的風險，為航空貨運銷售人員提供理論參考。

1 問題描述、符號說明及假設條件

1.1 問題描述

(1)航空貨運的基本規(guī)定。不管貨物使用直飛航班還是轉機航班，收取貨主的運費相同［14］。

(2)雖然國際航協(xié)規(guī)定了會員航空公司之間的貨運收費標準，但現(xiàn)在大部分航空公司基本上是銷售人員憑自己的判斷和經驗與貨主議價，這是筆者定價策略的可行性依據。

(3)航空公司通常在已有的客運航線網絡上運用飛機腹艙裝載貨物，航班特定的容量決定其短期運價水平。不同城市對市場的需求函數彈性不同。

(4)每年初航空公司以“定價包量”的方式與代理人簽訂協(xié)議，因此在短期銷售中這部分收益固定。筆者以實際銷售過程中航空公司去除協(xié)議艙位后的自由銷售行為為主體進行研究。

1.2 符號說明

1.3 假設條件

(2)各類貨物流之間需求相互獨立，但每類貨物流各周期的隨機項可能相關。

(3)公司收益以貨物質量為計費單位。

(4)每類貨物的單位費率由行業(yè)規(guī)定的價格限制，第g 類貨物費率的上限和下限分別為pu(g)，pd(g)。

(5)在作出價格決策時，自然與決策者構成二人零和非合作博弈，即自然總是選擇使收益最小的分布。

2 模型

2.1 動態(tài)定價名義模型

在不考慮需求函數隨機項的參考分布與實際分布存在偏差的情況下，航空公司的收益模型［15］如下:

目標函數表示貨物的最大期望收益;式(2)表示貨物價格在行業(yè)限制范圍內;式(3)和式(4)表示航節(jié)j 的質量約束;式(5)和式(6)表示航節(jié)j 的體積約束;式(7)表示銷售量非負，小于需求量。

2.2 相對熵約束

2.3 動態(tài)定價魯棒優(yōu)化模型

假設實際的概率密度π∈{π|RKL(π‖π0)≤γ}總在集合內選擇使公司的期望收益最小的分布，運用最大最小定理［17］，建立魯棒優(yōu)化模型如下:

將相對熵約束用拉格朗日乘子αi相乘后加到目標函數中，將模型化為懲罰函數形式:

3 求解方法

3.1 內部求極值

3.2 近似處理

3.3 人工蜂群算法

人工蜂群算法ABC(artificial bee colony algorithm)由KARABOGA 在2005 年提出，是一種模仿蜂群自組織的群體智能隨機搜索算法。該算法簡單，魯棒性強，經過改進，可以較好地解決高維的非線性優(yōu)化問題［18］。

人工蜂群算法的計算步驟如下:

(2)蜂群初始化。運用正交設計法［19］初始化搜索域，在范圍內計算每個食物源的適應度并進行選擇。

(3)根據適應度劃分蜂群為被雇用蜂和旁觀蜂兩類，記錄目前的最佳適應度和解集。

(4)旁觀蜂群根據被雇用蜂的適應度選擇性地跟隨，尋找更好的解。

(5)在規(guī)定的跟隨迭代次數內旁觀蜂若找到更好的解，更新最佳適應度和解集，旁觀蜂轉換為被雇用蜂，轉到步驟(3);若沒有更新或迭代次數已滿，蜜蜂轉換為探索蜂，轉到步驟(2)。

(6)重復步驟(3)～步驟(5)直到滿足終止條件。

4 算例分析

假設有3 類貨物，對應的單位質量體積以及單位費率上下限制如表1 所示。

表1 貨物單位質量體積和價格限制

航空公司有兩條航線:一條南京—鄭州—重慶的中轉航線，一條南京—重慶的直達航線，航節(jié)對應的質量和體積限制如表2 所示。貨物運輸成本如表3 所示。

表2 航節(jié)質量和體積限制

表3 貨物運輸成本 元/kg

以需求函數確定形式為線性減函數為例，有di，t=ai，t－bi，tpi，t，公司經調查得到的ai，t，bi，t估計值如表4 所示。

表4 需求反應函數系數

為方便討論，令隨機變量δi，t的參考分布均相同，為δi，t～U(0.8，1.2)，令α1=α2=… =αI=α分別為5，50，100，討論如下悲觀情況:

(1)隨機需求函數形式為di，t=ai，tδi，t－bi，t·pi，t，實際的總需求量比估計的總需求量少。δi，t～U(0.6，1.0)和δi，t～U(0.1，1.1)下的收益比較如表5 所示;

(2)隨機需求函數形式為di，t=ai，t－bi，tδi，t·pi，t，消費者對價格的敏感程度實際值比估計值更高。δi，t～U(1.0，1.4)和δi，t～U(0.9，1.9)下的收益比較如表6 所示。

表5 需求函數形式為di，t =ai，tδi，t－bi，tpi，t價格決策收益比較

表6 需求函數形式為di，t =ai，t－bi，tδi，tpi，t價格決策收益比較

從表5 和表6 可知，在需求函數參數的實際分布較估計水平更不利的情況下，魯棒優(yōu)化后的價格決策更優(yōu)。隨著αi的降低，貨運收益期望上升，同時波動范圍逐漸縮小，最優(yōu)收益水平和最差收益水平的取值均向右移動。

5 結論

筆者從航空公司角度，在考慮貨物質量和體積二維約束的情況下，基于相對熵建立了航空貨運動態(tài)定價的魯棒優(yōu)化模型。在實際需求較估計水平更不利的情況下，該模型能在增大收益的同時降低決策的風險。但是這種隨機魯棒優(yōu)化方式對貨運需求的參考分布存在一定依賴性。當實際需求情況嚴重偏離參考情況時，價格策略不能單單靠改變信心系數來制定，而應該實時更新參考分布。如何根據實際情況更新參考分布，以及怎樣根據不同的情況選取合理的αi值，是需要深入研究的問題。

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