利用Hudson裂隙模型分析井徑變化對聲波測井響應的影響

張雪昂，王祝文，韓春江，向 旻，楊 闖

吉林大學地球探測科學與技術學院，長春 130061

0 前言

自然條件下，地殼的變化所產(chǎn)生的力使地層結(jié)構發(fā)生了復雜的變化，于是不同性狀的介質(zhì)體產(chǎn)生了，裂隙介質(zhì)便是其中的一種。因為應力具有一定方向性，所以這些裂隙也有一定的走向，于是形成了地層介質(zhì)的各向異性。這種各向異性的成因主要是裂隙的各種特征屬性的差異存在，同時，裂隙性地質(zhì)結(jié)構又是重要的油、氣儲層環(huán)境。因此，通過分析這些裂隙屬性所產(chǎn)生的各向異性變化規(guī)律，便可以對地層中各種自然資源的價值做出科學判斷，這對油氣資源的發(fā)掘利用、地下水的開采、環(huán)境污染的妥善處理等環(huán)境資源問題有著相當重要的意義［1］。

早在20世紀80年代，White等［2］、Chan等［3］以及Paillet等［4］便作出了對于各向異性介質(zhì)中彈性波傳播規(guī)律的初步研究；但是在這些研究中，并沒有對圍巖的各向異性參數(shù)作出分析。而Hudson［5］、Crampin等［6－8］、蔡曉剛等［9］、Liu等［10］卻在地層介質(zhì)的各向異性的產(chǎn)生原因和特征屬性等方面作出了系統(tǒng)研究，同時提出了各向異性參數(shù)的概念。 之后，Thomsen［11］、Sinha 等［12］和Tang等［13］提出了裂隙組的特征屬性并研究了介質(zhì)各向異性間的關系。Tichelaar等［14］提出了測定裂隙介質(zhì)中裂隙組方位角的方法，但此方法只是針對近似垂直裂隙效果尤為明顯。目前，最為普遍應用的裂隙理論模型有Hudson理論模型和Thomsen理論模型。Thomsen理論模型的背景設定為裂隙、孔隙、孔洞都為等壓分布的理論介質(zhì)，并且它們的尺度相當［15－16］，同時此模型所采用的各向異性參數(shù)是針對于擁有單一對稱軸的弱各向異性介質(zhì)的。在Hudson理論模型中［17］，設定模型背景為：裂隙尺度與其中傳播的波長相比要小得多；裂隙分布均勻；裂隙彼此之間無連通，且分布稀疏；裂隙總體積較基質(zhì)總體積小得多；裂隙形態(tài)呈扁球狀。在此模型背景中Hudson加入了彈性入射波，并提出了裂隙彈性模量的一階和二階擾動量。裂隙介質(zhì)中，雖然與其中傳播的彈性波波長相比，裂隙尺度極小，但裂隙系統(tǒng)的總體表面積較大；因此裂隙群對地層性狀的影響不容忽視。目前人們對裂隙對彈性波衰減性影響的研究主要有2種方法：一種是以自然條件為背景做出響應的實物模型，并在此種模型上進行儀器測量從而得出裂隙介質(zhì)中彈性波的傳播規(guī)律；另一種是通過計算機以及程序編寫模擬出數(shù)值裂隙模型，同時數(shù)值模擬出其中的彈性波傳播作用，從而得出相關的傳播規(guī)律［18－19］，但是對裂隙介質(zhì)較為全面的數(shù)值模擬分析并不多見。在實際聲波測井過程中，對于不同的井孔來說，因為鉆頭等因素的改變，井眼大小也相應不同，這便給測井解釋帶來了一定程度的困難。為了分析井眼的變化對聲波測井結(jié)果的影響，筆者以Hudson裂隙理論模型為研究背景，對變化井徑的井孔裂隙介質(zhì)中傳播的聲波進行規(guī)律性數(shù)值模擬分析，結(jié)果包括了裂隙各種參數(shù)（角度、縱橫比、數(shù)密度）以及對應井徑大小變化的各種測井聲波響應，希望對實際的測井勘察應用提供相應的理論分析依據(jù)和指導性建議。

1 Hudson裂隙模型數(shù)值模擬

Hudson裂隙模型理論中，較為關鍵的內(nèi)容在于其提出了裂隙介質(zhì)的等效彈性模量。筆者在對裂隙介質(zhì)彈性模量的應用中，引用了Hudson等人的相關裂隙理論［20－24］，進而通過計算得到了 Hudson裂隙介質(zhì)的綜合等效彈性模量［24－25］：

式中：C0是各向同性介質(zhì)模量；C1是一階修正量。在Hudson裂隙模型理論中，裂隙呈“硬幣”狀，設定裂隙面與水平面夾角為φ，下文稱之為“裂隙角度”。裂隙群組中的裂隙都有統(tǒng)一的縱橫比、半徑值。針對以上裂隙介質(zhì)條件，Hudson提出以下等效彈性模量表達式：

式中：ξ是裂隙數(shù)密度；m是裂隙半徑；λ和μ是無裂隙巖石的拉梅常數(shù)；；M是流體黏滯系數(shù)以及裂隙縱橫比的函數(shù)；K是流體的體積模量、圍巖孔隙度以及未損壞巖石滲透率的函數(shù)。

通過以上公式，得到此裂隙介質(zhì)的黏彈參數(shù)A、B、C、D、E：

因為井中的接收器所接收到的波動脈沖信號是以聲壓場的形式體現(xiàn)的，所以想要得到聲波測井全波列曲線，需要從聲波壓力場公式著手。井中的聲波壓力場公式如下：

式中：S（t）為聲源的函數(shù)表達式；X1為與脈沖聲源相關的系數(shù)；K0為第二類零階虛宗量貝塞爾函數(shù)；I0是第一類零階虛宗量貝塞爾函數(shù)；X2是由角頻率和徑向波數(shù)決定的系數(shù)，通過加入邊界條件計算便可以得到，X2也叫井孔格林函數(shù)（地層濾波函數(shù)），綜合反映了地層介質(zhì)的特性，運載信息量豐富；是井孔內(nèi)流體波數(shù) 的徑向分量；kz是波數(shù)k的軸向分量；ω為脈沖聲源的角頻率；υ為井孔中的聲波波速。

裂隙介質(zhì)的波動方程［26］為：

式中：ρ是井孔外空間介質(zhì)的密度；Ur和Uz分別是位移矢量的徑向分量、軸向分量；σ是應力張量。公式（15）的解可以通過一個標量位和一個矢量位的和來表示：

實際情況是，井中的泥漿中含有入射波以及反射波，井外空間的介質(zhì)中只存在折射縱波以及橫波。由此可知，入射波波幅在井軸處數(shù)值達到最大值，隨著與井軸距離的增加，其幅度值隨之減小。而反射波波幅在井壁處達到最大值，隨著向井內(nèi)傳播的過程其幅度值逐漸減小。同時折射波在井壁處幅度達到最大，隨著波動向地層傳播，幅度也隨之減小。通過以上情況可知井內(nèi)流體與井外空間介質(zhì)中的縱波以及橫波的波動方程，進而應用分離變量法求解，便得到了波動方程的解。

將式（16）和式（14）聯(lián)立，代入邊界條件：徑向位移連續(xù)、徑向應力連續(xù)、切向應力為0，便可以求出理想裂隙介質(zhì)模型下的地層濾波系數(shù)X2；繼而通過實軸積分法進行數(shù)值模擬，便可得到裂隙介質(zhì)條件下的全波列測井曲線。全波列測井曲線中包含了種類較全面的波形，其中主要包括縱波、橫波、斯通利波以及偽瑞利波［27－29］。在實軸積分法的計算過程中，筆者采用短時傅里葉變換算法（FFT），這樣可以很好地縮短計算時間。計算后得到了時域上的不同時間波形的離散值，因此，實軸積分法也被稱為離散波數(shù)法［30］。

2 不同井徑下數(shù)值模擬結(jié)果

筆者在Hudson裂隙理論模型介質(zhì)的基礎上，通過改變井徑大小以及裂隙參數(shù)來模擬不同井徑、不同裂隙條件下的聲波傳播規(guī)律，從而為實際應用提供指導參考。設定井眼半徑為0.03～0.14m，每隔0.01m依次遞增井孔半徑進行作圖模擬對比，同時改變裂隙參數(shù)（角度、數(shù)密度、縱橫比），最終得出井孔裂隙介質(zhì)對井徑變化響應的全面分析結(jié)果。

圖1 不同裂隙數(shù)密度下井孔半徑與聲波幅度Fig.1 Wellbore radius and wave amplitude with different crack number density

圖2 不同裂隙角度下井孔半徑與聲波幅度Fig.2 Wellbore radius and waves amplitude with different crack angle

圖3 不同裂隙縱橫比下井孔半徑與聲波幅度Fig.3 Wellbore radius and waves amplitude with different crack aspect ratio

圖1為在不同裂隙數(shù)密度下井孔半徑與聲波幅度的關系圖。從圖1中可見，不管是縱波、橫波還是斯通利波，它們的幅度都隨著井孔半徑的增大而產(chǎn)生不同程度的衰減。并且，裂隙數(shù)密度越小，聲波對井徑變化的響應越敏感。隨著裂隙數(shù)密度的遞增，縱、橫波幅度下降拐點所對應的井徑值也逐漸增大。與縱、橫波相比，斯通利波幅度的衰減程度最嚴重；當裂隙數(shù)密度遞增到0.05時，斯通利波幅度對井孔半徑變化的響應靈敏度出現(xiàn)大幅下降，即裂隙數(shù)密度0.05是斯通利波幅度對井孔半徑的響應靈敏度的拐點所在。

圖2為在不同裂隙角度下井孔半徑與聲波幅度的關系圖。由圖2可知，裂隙角度對縱波幅度的影響較弱，整體區(qū)分特征極小。對于橫波而言，當井孔半徑遞增時，中、低角度的裂隙中橫波幅度整體下降程度明顯，但下降趨勢逐漸變緩，井孔半徑大于0.06 m之后，橫波幅度幾乎不再下降；高角度裂隙中橫波幅度則對井孔半徑響應程度很低，隨著井孔增大，橫波幅度也只有微小程度的減少?？梢?，橫波幅度在中、低角度裂隙中對井孔半徑的響應較敏感。伴隨著井徑的增大，裂隙介質(zhì)中的斯通利波幅度都有比較明顯的衰減現(xiàn)象，其中，中、高角度裂隙中的斯通利波幅度衰減更加嚴重。這說明，對于斯通利波的幅度而言，其在中、高角度裂隙中對井孔半徑的響應更加敏感。

圖3為在不同裂隙縱橫比下井孔半徑與聲波幅度的關系圖。由圖3可知，聲波幅度隨井孔半徑遞增逐漸下降，下降趨勢愈發(fā)平穩(wěn)，下降速率趨于0。裂隙縱橫比較小時，縱、橫波以及斯通利波幅度衰減程度較嚴重?？梢?，裂隙縱橫比越小，聲波對井孔半徑的響應越敏感。對縱、橫波而言，裂隙縱橫比大于0.001之后，縱橫比對幅度衰減的區(qū)分性變小。對斯通利波而言，裂隙縱橫比大于0.01之后，幅度下降程度明顯減小，即縱橫比0.01是斯通利波幅度對井孔半徑的響應靈敏度的拐點所在。

圖4為井孔半徑為0.04～0.14m（每隔0.02m依次遞增）的井孔二維譜。圖4中：1號線代表泥漿波，斯通利波譜值緊挨泥漿波譜值，分布于低頻區(qū)域，即圖中靠近0點的黑色三角狀區(qū)域，速度接近泥漿波波速，頻率分布范圍隨井孔半徑增大而減小；2號線代表地層橫波；3號線代表地層縱波；3條線的斜率代表對應波的慢度（波速的倒數(shù)）；橫坐標軸與3號線之間的譜值代表縱波的泄漏模式，2號線與3號線之間的譜值代表橫波的泄漏模式，1號線與2號線之間的譜值代表偽瑞利波。通過觀察圖4可知，3條線的斜率并不隨井徑的變化而改變，可知井徑不影響縱波、橫波以及斯通利波的波速。圖中暗色條紋代表各種頻散性波動的模式狀態(tài)［31］，每個條紋所對應的頻率即為各種波的激發(fā)頻率。通過圖4可知，隨著井孔半徑增大，波動的最小激發(fā)頻率減小，激發(fā)強度峰值所在頻率帶向低頻區(qū)域移動。在相同頻率范圍內(nèi)，井孔半徑增大，各種具有頻散特征的波動的模式數(shù)量不斷增多，模式條紋越來越細，截止頻率范圍變小，同時向低頻區(qū)域移動。模式條紋變細說明聲波中的能量已分散到各個模式之中，聲波幅度會有所減小。模式數(shù)量增多說明波列成分隨井徑增大而愈發(fā)復雜。

圖4 不同井孔半徑聲場二維譜Fig.4 Different wellbore radius of two－dimensional acoustic field spectrum

3 結(jié)論

1）各種波動的幅度隨井孔半徑的遞增產(chǎn)生一定程度的衰減。裂隙數(shù)密度較小的介質(zhì)中縱波、橫波、斯通利波的幅度對井孔半徑的變化比較敏感。中、低角度裂隙介質(zhì)中的橫波幅度以及中、高角度裂隙介質(zhì)中的斯通利波幅度對井孔半徑的變化比較敏感。裂隙縱橫比較小的介質(zhì)中斯通利波幅度對井孔半徑的變化更加敏感。

2）整體而言，聲波速度隨井孔半徑遞增的變化不大，即裂隙介質(zhì)中的聲波波速對井孔變化響應不敏感。通過觀察頻率－波數(shù)二維譜可以發(fā)現(xiàn)，隨著井孔半徑的增大，最小激發(fā)頻率減小，激發(fā)強度峰值所在頻率帶向低頻區(qū)域移動，頻散特征明顯的波動模式數(shù)量增多，模式條紋變細。聲波能量隨井徑增大分散到各個模式之中，能量損失增多，波列組成成分愈發(fā)復雜。

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