摘 要：小波分析聯(lián)合時(shí)間-尺度函數(shù)分析非平穩(wěn)信號(hào)，從根本上克服了Fourier分析只能以單個(gè)變量描述信號(hào)的缺點(diǎn)，然而小波對(duì)于信號(hào)高維奇異性的幾何特征并不能夠稀疏的表示。多尺度幾何分析理論提供了線性奇異和面性奇異的高維函數(shù)的最優(yōu)表示。本文主要綜述性的介紹了多尺度幾何分析的產(chǎn)生及發(fā)展，重點(diǎn)介紹了shearlet的算法，與其在邊緣檢分析中的應(yīng)用，并展望多尺度幾何分析的發(fā)展方向。

關(guān)鍵詞：傅里葉變換 小波變換 多尺度幾何分析 shearlet 邊緣分析

中圖分類號(hào)：TP391.41 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）04（a）-0012-02

生物學(xué)家對(duì)人類視覺系統(tǒng)的研究結(jié)果表明，人類視覺系統(tǒng)能自動(dòng)調(diào)節(jié)以使用較少的視覺神經(jīng)細(xì)胞來捕捉自然場景的本質(zhì)信息，在圖像表示中，如果圖像的表示方法有如下的五個(gè)特性，則能達(dá)到圖像的最優(yōu)表示[1]。

（1）“多分辨率”，使圖像從低分辨率到高分辨率逐步的逼近目標(biāo)，即帶通性。（2）“局域性”，在空域和頻域，我們所選擇的基函數(shù)必須是局部的，并且能隨尺度變化。（3）“臨界采樣”，具有較低的冗余結(jié)構(gòu)。（4）“方向性”，用長條形的圖形逼近曲線，并且使用最少的系數(shù)逼近奇異曲線。（5）“各向異性”，基的長條形結(jié)構(gòu)實(shí)際上是方向性的一種體現(xiàn)，并且這種長條形的長度寬度比例不同，能處理圖像邊緣輪廓的平滑性。

小波分析因?yàn)闆]有“方向性”和“各向異性”只有其它三種特點(diǎn)而導(dǎo)致不具有對(duì)具有線性奇異和面奇異特點(diǎn)的高維函數(shù)最稀疏的表示[2]。尋找更有效的奇函數(shù)，發(fā)展一種新的高維函數(shù)的最優(yōu)表示方法勢(shì)在必行，多尺度幾何分析（Multiscale Geometric Analysis MGA）[3]方法便應(yīng)運(yùn)而生了。多尺度幾何分析能滿足上述圖像有效表示的所有條件，在圖像分析中獲得了較大成功，體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢(shì)和潛力[4]。目前，多尺度幾何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5]，Curvelet[6]，Beamlet[7]，Contourlets[8]，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。

1 Shearlet變換

Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以對(duì)圖像進(jìn)行靈活的多分辨和多方向分解，對(duì)圖像中的邊緣和紋理等細(xì)節(jié)信息能給出接近最優(yōu)的表示性能，是一種更為靈活的數(shù)字圖像表示方法。shearlet的構(gòu)造方法為[10]。

令滿足以下三個(gè)條件。

（1），其中，為的傅里葉變換；

（2）為連續(xù)小波，，；

（3）且，在區(qū)間上，且；

則稱由，以及所生成的下列系統(tǒng)：

為shearlet系統(tǒng)，為shearlet的基函數(shù)，其中，分別為各向異性膨脹矩陣和剪切矩陣。則剪切波波變換定義為：

2 Shearlet變換在圖像邊緣中的分析

邊緣檢測和分析是多種圖像處理和計(jì)算機(jī)可視應(yīng)用程序的主要任務(wù)。事實(shí)上，由于邊緣通常是自然圖像最突出的特征，因此邊緣的定位對(duì)于更高級(jí)別的應(yīng)用程序來說是基本的低級(jí)任務(wù)，例如形狀識(shí)別、3D重現(xiàn)、數(shù)據(jù)增強(qiáng)和恢復(fù)等。

邊緣可以看作是函數(shù)的一些點(diǎn)，的定義域?yàn)?，的梯度很大，即?/p>

其中是某個(gè)適當(dāng)選擇的閾值。很顯然，這種對(duì)邊緣的表示方法太簡單，并不能直接地轉(zhuǎn)化為一種有效的邊緣檢測機(jī)制，這是因?yàn)閳D像通常會(huì)被噪聲影響且微分算子對(duì)噪聲極其敏感。因此，為了密切注視噪聲的干擾，在大多數(shù)常見的邊緣檢測機(jī)制中，圖像首先會(huì)被處理得平滑。例如，在經(jīng)典的Canny邊緣檢測算法中，首先用可度量的高斯函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行卷積為：

×

其中且。其次，邊緣點(diǎn)被標(biāo)識(shí)為的梯度的軌跡最大值。注意，這種方法引入了一個(gè)定標(biāo)參數(shù)，當(dāng)減小時(shí)，邊緣定位的檢測變得更加精確；然而，當(dāng)減小時(shí)，檢波器也會(huì)變得對(duì)噪聲更加敏感。因此，邊緣檢波器的性能極為依靠定標(biāo)（也有閾值）。

在邊緣檢測和小波分析之間有個(gè)有趣而有用的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系首先被Mallat，Hwang和Zhong發(fā)現(xiàn)，可以總結(jié)如下：給定一個(gè)圖像，可容許的實(shí)偶函數(shù)的連續(xù)小波變換表示為：

×

其中，特別地，如果，那么：

××

這表明了平滑圖像的梯度的最大值正好與小波變換的最大值相一致。這個(gè)發(fā)現(xiàn)提供了一種自然的數(shù)學(xué)框架用于邊緣的多尺度分析[11]。

以上描述的Canny邊緣檢波器或小波方法的主要限制是兩種方法在本質(zhì)上都是各向同性的。因此，它們?cè)谔幚磉吘壍母飨虍愋詴r(shí)不是很有效率。精確地標(biāo)識(shí)邊緣位置是特別困難的，這是由于噪聲的存在以及當(dāng)幾個(gè)邊緣靠得太近或者彼此交叉的時(shí)候，例如三維物體的二維投影。在這些案例中，以下傳統(tǒng)邊緣檢波器的局限性特別的明顯。

（1）辨別靠近的邊緣存在困難。各向同性的高斯濾波導(dǎo)致邊緣緊靠在一起，模糊成一條單個(gè)曲線。

（2）粗劣的角度準(zhǔn)確性。在曲率或者交叉曲線的形狀突變中，各向同性的高斯濾波導(dǎo)致邊緣方位的不精確檢測。這會(huì)影響拐點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)的檢測。

為了更好的處理邊緣信息，引入了很多方法來代替各向同性的高斯濾波器，例如易操縱的、可伸縮尺度的各向異性高斯濾波器：

其中且是旋轉(zhuǎn)角度的矩陣。不幸的是，這種濾波器的設(shè)計(jì)和執(zhí)行需要計(jì)算，但卻沒有理論方法來說明如何設(shè)計(jì)這種濾波器來最好地捕捉邊緣。

Shearlet架構(gòu)具有這樣一種優(yōu)勢(shì)，即它可以提供已被證明了的數(shù)學(xué)方法來有效地描繪邊緣信息。事實(shí)上，連續(xù)的shearlet變換可以通過對(duì)邊緣的漸近線進(jìn)行良好的縮放來精確地描述邊緣的幾何學(xué)信息。結(jié)果可以歸納如下。

設(shè)圖像是在的分段光滑函數(shù)。也就是說，假設(shè)在上的任意處都是光滑的，除了在有限多的分段光滑曲線上以外，用Γ表示有限多的分段光滑曲線，在中可能會(huì)有跳躍不連續(xù)點(diǎn)。則函數(shù)的連續(xù)shearlet變換的漸近線衰減特性如下[12]：

·如果，則對(duì)于每個(gè)，當(dāng)時(shí)快速衰減。

·如果，是近且光滑的，則對(duì)于每個(gè)，當(dāng)時(shí)快速衰減，除非是在點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方位。

·如果是的拐點(diǎn)且和是在點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方位，則當(dāng)時(shí)對(duì)于所有其他方位來說，的漸近線衰減更快一些。

這里用“快速衰減”，意思是說對(duì)于任意，有某個(gè)使得當(dāng)≤，時(shí)。

同時(shí)也觀察到脈沖類型的奇點(diǎn)與跳躍不連續(xù)點(diǎn)在連續(xù)shearlet變換的衰減是不同的。例如，假設(shè)一個(gè)中心在的Dirac增量分布。本例中，一個(gè)簡單的計(jì)算公式[12]表示為：

as

也就是說，在時(shí)的連續(xù)shearlet變換增長了。時(shí)衰減是迅速的。

以上這些理論表明了連續(xù)的shearlet變換精確地描述了邊緣和圖像的其他奇異矩陣點(diǎn)的幾何信息。這與小波變換形成了對(duì)比，小波變換不能提供邊緣方位的任何信息。因此，shearlet對(duì)于圖像的邊緣方面，有著更精確地描述。

3 結(jié)語

圖像的應(yīng)用越來越廣泛，現(xiàn)代科技發(fā)展了一種“新”的多維工具，能夠捕捉圖像幾何結(jié)構(gòu)特征，多尺度幾何分析技術(shù)，就是根據(jù)這些要求而發(fā)展起來的新理論，其中shearlet變換在圖像去噪，去模糊，邊緣的定位分析方面都有著優(yōu)勢(shì)，但由于仍處于發(fā)展初期，有許多理論基礎(chǔ)、應(yīng)用潛能和仿真的結(jié)果證明尚待開發(fā)和完善。

參考文獻(xiàn)

[1]DO M N，VETTERLI M The Contourlet transform：an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Trans.on Image Processing，2005，14（12）：2091-2106.

[2]宋蓓蓓.圖像的多尺度多方向變換及其應(yīng)用研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2008.

[3]鄧承志.Shearlet變換與圖像處理應(yīng)用[J]，南昌工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2011.

[4]焦李成，譚山.圖像的多尺度幾何分析：回顧和展望[J].電子學(xué)報(bào)，2003，31（12A）：1975-1981.

[5]E.J.Candès.Ridgelets：Theory and applications.Ph.D. dissertation，Dept.Statistics，Stanford University，1998.

[6]J.L.Starck，E.J.Candès，D.L.Donoho.The Curvelet Transform for Image Denoising.IEEE Trans.on Image Proc.， 2002，32（11）：670-684.

[7]D.L.Donoho，X.M. Huo.Beamlets and multiscale image analysis.In Multiscale and multiresolution methods，Lecture Notes in Computational Science and Engineering，2001，20：149-196.

[8]M.N.Do，M.Vetterli.Contourlets.Beyond Wavelets，Academic Press，2003.

[9]V.Velisavljevic，B.Beferull-Lozano，M.Vetterli，and P.L.Dragotti.Directionlets： Anisotropic multi-directional representation with separable filtering[J]，IEEE trans.on Image Processing，2006，15（7）：1916-1933.

[10]Guo K，Labate D.Optimally Sparse Multidimensional Representation using Shearlets[J].SIAM J Math Anal，2007，39（1）：298-318.

[11]S.Mallat and S.Zhong，Characterization of signals from multiscale edges，IEEE Trans.Pattern Anal.Mach.Intell.1992，14（7）：710-732.

[12]G.Kutyniok and D.Labate，Resolution of the wavefront set using continuous shearlets，Trans. Amer.Math.Soc.361（2009），2719-2754.