劉 露，何建新，曾強宇

(成都信息工程學院電子工程學院，四川成都610225)

0 引言

氣象雷達是專門用于大氣探測的雷達，其探測目標一般是雨滴、云等降水粒子。氣象雷達回波有助于確定探測目標的強度、相對速度、空間位置等宏觀特征以及各種物理特征。由于雷達的分辨率越高，其獲取的分辨單元越小，探測目標的精度越高。因此高分辨雷達是未來氣象雷達的發(fā)展方向。受限于Nyquist采樣定理，傳統(tǒng)氣象雷達提高分辨率，將面臨采樣率過高、數(shù)據(jù)存儲空間過大等問題。

針對上述問題，將壓縮感知(Compressed Sensing or Compressive Sampling，CS)理論應用于氣象雷達信號處理中，即用較低的采樣率對氣象回波信號進行采樣，最后運用重建算法高概率恢復出原始回波信號。2007年CS理論首次被引入到高分辨雷達信號處理[1]。Herman[2]提出基于壓縮感知的高分辨率雷達的工作原理，說明當目標信號在某種域中滿足稀疏性或可壓縮性時，可以將目標信號在某種基下進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的信號保留了原始信號的信息，用較低采樣率就可以重建原始信號。在此基礎(chǔ)之上，潘匯[3]提出一種基于壓縮感知的脈沖體制雷達信號處理方案，該方案有別于傳統(tǒng)雷達的處理方式，能夠在低采樣頻率條件下獲取更高的時頻分辨率。張玉璽[4]提出一種新的基于壓縮感知理論的多普勒解模糊處理方法，可實現(xiàn)PRF分組參差方式下對多個目標的解多普勒模糊處理。

將CS理論應用于氣象雷達信號處理中有望簡化氣象雷達接收機硬件的成本，提高氣象雷達的分辨率，減少數(shù)據(jù)的存儲量和傳輸量，加快數(shù)據(jù)處理速率等。然而，將CS理論應用于氣象雷達信號處理中的研究卻相對較少，就高分辨率氣象雷達而言，CS理論的應用還是一個新的研究方向?；趬嚎s感知理論，重點研究了CS理論應用于氣象雷達中的關(guān)鍵技術(shù)，主要有氣象雷達原始回波信號的稀疏化、非相干測量和重建。建立了基于CS理論的氣象雷達回波信號壓縮采樣與重建的過程，并用實測的回波數(shù)據(jù)仿真了該過程。結(jié)果表明CS理論有助于氣象雷達突破傳統(tǒng)采樣定理的限制，在較低采樣率下重建出高分辨率回波信號。

1 壓縮感知的基本原理

氣象雷達原始回波信號在某個變換域或稀疏字典中被判定具有稀疏性，則將回波信號投影到該變換域中轉(zhuǎn)變?yōu)橄∈栊盘?，然后對該稀疏信號進行非相干測量得到維數(shù)遠低于原始回波信號維數(shù)的觀測信號，通過求解優(yōu)化問題重建出變換域中的稀疏信號，最后重建的稀疏信號經(jīng)逆變換恢復出氣象雷達原始回波信號。具體可表示如下:

設(shè) ψ = {ψi| ψi∈ RN×1，i=1，2，…，N } 是一組正交矩陣，一維氣象雷達原始回波信號可表示為x∈RN×1，如果x在Ψ對應的變換域具有稀疏性，則x可表示為:

如果θ=ψ－1x=(θ1，θ2，…，θN)T有K(K＜＜N)個非零值，那么x在Ψ域是K稀疏的。壓縮感知理論指出，當x在某組變換基Ψ上稀疏時，將x進行隨機測量得到壓縮測量值y= (y1，y2，…，yM)T，M＜N，即:

式中θ是x在Ψ域的稀疏系數(shù)，Φ是隨機觀測矩陣，Θ是感知矩陣。式(2)表示在變換域中，由高維稀疏信號獲取低維觀測信號的過程。由于M＜N，因此由y重構(gòu)θ是一個病態(tài)問題，不能直接求解，可以轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，在L1范數(shù)下來解，如式(3)所示，

注意Θ必須滿足有限等距離性質(zhì)(Restricted Isometry Property，RIP)，即保證Θ不會將任意2個不同的K稀疏信號θ映射到同一個觀測集合y中，才可以保證θ被高概率重構(gòu)出來。最后，重構(gòu)的θ經(jīng)相應的逆變換即可恢復原始回波信號x。依據(jù)壓縮感知理論的基本原理，文中重點研究氣象雷達原始回波信號的稀疏分析、非相干測量及重建問題。

2 基于壓縮感知的氣象雷達回波信號壓縮采樣與重建

圖1展示了基于CS理論，氣象雷達回波信號的壓縮采樣與重建過程。

圖1 氣象雷達回波信號的壓縮采樣與重建過程

首先，基于離散小波變換(Discrete Wavelet Transform，DWT)對氣象雷達原始回波信號進行稀疏分解，獲取信號的高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，由于低頻系數(shù)的稀疏度依舊很高，為保證最終的重建效果因此只對高頻系數(shù)進行非相干測量，然后運用正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法重建高頻系數(shù)，最后結(jié)合低頻系數(shù)經(jīng)離散小波逆變換(Inverse Discrete Wavelet Transform，IDWT)后，恢復氣象雷達原始回波信號。

2.1 氣象雷達原始回波信號的稀疏分析

一般而言，在探測范圍內(nèi)降水粒子的強度、分布具有一定的離散性，圖2舉例說明氣象雷達實測原始回波體掃中一個PPI數(shù)據(jù)的稀疏情況。

圖2 氣象雷達在不同天氣過程下實測的原始回波信號的稀疏情況

圖2(a)是某次龍卷風天氣中，氣象雷達實測的原始回波體掃中一個PPI數(shù)據(jù)的稀疏情況，圖2(b)則是某次臺風中實測回波數(shù)據(jù)的稀疏情況。由此可知，氣象雷達回波信號在空時域一般具有稀疏性，滿足CS理論應用的前提條件，即原始信號在某個變換域具有稀疏性。雖然，原始回波信號在空時域已經(jīng)具有稀疏性，但稀疏度較低。為了進一步提高稀疏度，將原始回波信號投影的某個變換域，完成氣象雷達原始回波信號的稀疏分解。

小波變換(Wavelet Transform，WT)是一種信號的時間尺度分析方法，利用WT的伸縮和平移等特性對任意信號進行多尺度的細化分析，并且在時域和頻域都能對信號進行局部化分析。WT具備壓縮比高、速度快、抗干擾等優(yōu)點。小波變換包括連續(xù)小波變換(Continuous Wavelet Transform，CWT)和離散小波變換，由于CWT的計算量很大，在實際工程中，不宜實現(xiàn)，因此必須加以離散化，即對尺度參數(shù)a、平移參數(shù)b進行離散化[9－10]。研究證明[11]，離散小波變換快速Mallat算法使小波變換在雷達信號處理中的應用成為可能。離散小波變換可以對氣象雷達回波信號進行時頻聯(lián)合分析，其表達回波信號局部特征的能力較強，并且能實現(xiàn)原始回波信號的降維。

圖3 氣象雷達原始回波信號經(jīng)DWT后的稀疏情況

圖3分別展示了龍卷風和臺風中，雷達探測的2組PPI原始回波信號經(jīng)DWT所得的4個系數(shù)分量及其稀疏情況。其中，4個系數(shù)分量分別是原始回波信號的近似系數(shù)A、水平細節(jié)系數(shù)H、垂直細節(jié)系數(shù)V和對角細節(jié)系數(shù)D:A是原始回波信號先后在水平和垂直方向上經(jīng)過低通濾波的結(jié)果，它是原始回波信號能量的集中頻帶，具有較大的數(shù)值;H是原始回波信號先后經(jīng)過水平低通濾波和垂直高通濾波的結(jié)果，它反映了原始回波信號在水平方向上的變化信息和邊緣信息;V是原始回波信號先后經(jīng)過水平高通濾波和垂直低通濾波的結(jié)果，它反映了原始回波信號在垂直方向上的灰度變化信息和邊緣信息;D是原始回波信號先后在水平和垂直方向上都經(jīng)過高通濾波的結(jié)果，它反映了水平方向和垂直方向原始回波信號灰度的綜合變化信息，同時包含少量的邊緣信息。另外A又被稱為小波低頻系數(shù)分量，H、V和D則被稱為小波高頻系數(shù)分量。經(jīng)分析各個分量的稀疏情況可知，低頻系數(shù)的稀疏度相比原始回波信號明顯提高，高頻系數(shù)則更加稀疏。研究表明[12]，原始信號的小波高頻系數(shù)具有較強的稀疏性，經(jīng)過壓縮感知算法可以得到數(shù)據(jù)量大大減少的觀測序列，并且可以由這些觀測序列高概率重構(gòu)高頻系數(shù)分量。

2.2 小波高頻系數(shù)的非相干測量

鑒于小波高頻系數(shù)的稀疏度遠高于低頻系數(shù)的稀疏度，同時根據(jù)降水粒子的電磁散射特性，氣象雷達脈沖響應在高頻區(qū)域可以被少數(shù)重要的散射中心刻畫。因此，只需對小波高頻系數(shù)進行非相干測量。

圖3說明了氣象雷達原始回波信號的小波高頻系數(shù)分量是K稀疏的，基于壓縮感知的基本原理，可得小波高頻系數(shù)的壓縮感知原理如下:

假設(shè)ρ=(ρ1，ρ2，…，ρN)T是氣象雷達原始回波信號的小波高頻系數(shù)分量，稀疏度為K，將ρ進行非相干測量得到觀測值u=(u1，u2，…，uM)T，即:

式(4)中Φ是測量矩陣，I是單位矩陣，Θ0是感知矩陣。由于ρ已經(jīng)是K稀疏的，所以不必ρ進行稀疏化，即稀疏變換矩陣由單位矩陣代替。式(4)說明了由原始回波信號的小波高頻系數(shù)獲取低維觀測值的過程。其中，測量矩陣Φ將直接影響小波高頻系數(shù)所需的采樣數(shù)以及能否高概率重建高頻系數(shù)。

高斯隨機矩陣是典型的一致同分布隨機矩陣，能以極高概率滿足RIP條件?；诟咚闺S機矩陣的非相干測量不僅可以對小波高頻系數(shù)進行壓縮測量，又保證了信息在采樣過程中不被破壞。因此，選用高斯隨機矩陣作為測量矩陣。

2.3 原始回波信號的重建

重建原始回波信號指的是由觀測值u重建原始回波的稀疏系數(shù)ρ，將重建后的ρ經(jīng)稀疏逆變換恢復出氣象雷達原始回波信號x。采用一種計算復雜度低、易操作、具有漸進收斂性的[13]貪婪算法——正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法，作為原始回波信號稀疏系數(shù)的重建算法。OMP算法[14－15]包括識別、重建和更新3部分，基本原理是在每次的迭代中，從Φ的列中選出與當前小波高頻系數(shù)信號殘差向量相關(guān)性最大的列來構(gòu)建高頻系數(shù)信號中一個向量點的稀疏逼近，并且在每次迭代更新中通過對已選擇的Φ的列進行正交化進而保證迭代結(jié)果的最優(yōu)化，求出新的殘差并更新Φ，然后在已更新的Φ中選擇與新的殘差向量相關(guān)性最大的列向量。其中，迭代次數(shù)由小波高頻系數(shù)的稀疏度K確定。OMP算法的輸入?yún)?shù):測量矩陣Φ、觀測值u和高頻系數(shù)稀疏度K;輸出參數(shù):系數(shù)ρ的稀疏逼近，殘差e;其中，迭代次數(shù)k，索引λ，索引集Λ。算法的具體流程如下:

Step1初始化殘差:e0=u，Λ0= Φ，k=1;

Step2當k≤K時，重復執(zhí)行

Step 2.2 更新索引集 Λk= Λk－1∪ {λk};

Step 2.3 更新 φΛk= φΛk－1∪ {φλk};

Step 2.5 計算殘差 ek=u－φΛkρk;

Step 2.6如殘差ek小于閾值，或達到最大迭代次數(shù)，進入Step 3;

Step 3輸出ρ^= ρk，e=ek。

經(jīng)正交匹配追蹤后，即可得到氣象雷達回波信號的小波高頻系數(shù)的近似表示，最后，將重建后的小波高頻系數(shù)結(jié)合低頻系數(shù)經(jīng)過離散小波逆變換恢復出氣象雷達的原始回波信號。

3 仿真結(jié)果及分析

基于CINRAD SA雷達在龍卷風和臺風中實測的回波數(shù)據(jù)，對圖1所示的過程進行仿真及驗證。圖4～5所示的是原始反射率回波和不同采樣頻率下的重建回波的對比圖。

圖4 CINRAD SA雷達在龍卷風天氣中的原始反射率回波與基于不同采樣率重建結(jié)果的對比圖

圖4(a)和圖5(a)是原始反射率回波，圖4(b)和圖5(b)是當采樣率M=0.3N時的重建回波，圖4(c)和圖5(c)是當采樣率M=0.5N時的重建回波，圖4(d)和圖5(d)是當采樣率M=0.7N時的重建回波。從對比圖中可以看出:0.3倍采樣率時，重建回波與原始回波存在較大誤差;0.5倍采樣率時，誤差明顯降低;0.7倍采樣率時，則已高概率重建出原始回波。因此，采樣率的大小決定重建效果的好壞。圖6表明不同采樣率下的重建回波圖與原始回波圖的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)。

圖5 CINRAD SA雷達在臺風天氣中的原始反射率回波與基于不同采樣率重建結(jié)果的對比圖

圖6說明實測的原始回波與重建回波的PSNR隨采樣率的增加而提高。圖7說明0.5倍采樣率時原始回波與重建回波的每個徑向的PSNR。

圖6 不同采樣率下的原始回波與重建回波的PSNR

圖7 0.5倍采樣率時原始回波與重建回波的每個徑向的PSNR

從圖7可以看出每個徑向的PSNR≥27dB，即可說明兩組回波信號已被高概率重建。

4 結(jié)束語

闡述壓縮感知理論，明確將壓縮感知應用于對氣象雷達回波信號壓縮采樣與重建的過程:首先采用離散小波變換對CINRAD SA雷達實測的反射率回波信號進行稀疏分解，得到信號的小波高頻系數(shù)和小波低頻系數(shù);其次，使用高斯隨機矩陣對具有極高稀疏度的小波高頻系數(shù)進行非相干測量，并運用正交匹配追蹤算法重建小波高頻系數(shù);最后使用離散小波逆變換高概率重建出原始的回波信號。經(jīng)仿真分析得出，壓縮感知理論的應用將有助于氣象雷達突破傳統(tǒng)采樣定理限制，以較低的采樣率高概率重建出原始回波信號。

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