宗 真，袁林旺，2，羅 文，俞肇元，2，胡 勇，3

1.南京師范大學(xué) 虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京210023；2.南京師范大學(xué) 江蘇省大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210023；3.南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇南京210023

1 引 言

三角網(wǎng)表達(dá)及求交是三維表面模型建模的基礎(chǔ)，也是地質(zhì)工程、科學(xué)可視化以及模型分析的關(guān)鍵算法之一［1，2］。GIS研究對(duì)象向三維以及時(shí)空維的擴(kuò)展，不僅導(dǎo)致了數(shù)據(jù)量的激增［3］，也導(dǎo)致了對(duì)象表達(dá)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。GIS對(duì)象表達(dá)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不僅使得在空間關(guān)系計(jì)算過(guò)程中對(duì)象類型及求交條件判斷模式的復(fù)雜，也增加了對(duì)諸如空間、邊界等復(fù)雜的空間約束［4］判斷的難度，因而極大地影響了現(xiàn)有矢量GIS的效率。伴隨著GIS研究對(duì)象向三維以及時(shí)空維的擴(kuò)展，三角網(wǎng)求交的復(fù)雜度也隨之增加。在三維動(dòng)態(tài)場(chǎng)景中，三角網(wǎng)中對(duì)象的維度、形態(tài)和結(jié)構(gòu)均存在顯著的變化［5］?；跉W氏幾何或計(jì)算幾何發(fā)展而來(lái)的三角網(wǎng)求交算法需要對(duì)其相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行預(yù)判斷，且在處理不同維度三角網(wǎng)時(shí)，需要對(duì)線、面進(jìn)行分別處理，導(dǎo)致了其對(duì)動(dòng)態(tài)變化的三角網(wǎng)求交支撐不足［6－7］。以文獻(xiàn)［8］算法為代表的標(biāo)量法在平面距離計(jì)算及交線位置判斷上的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，在大規(guī)模環(huán)境中時(shí)間耗費(fèi)較多。文獻(xiàn)［9］的矢量法利用行列式符號(hào)的幾何意義來(lái)判斷三角形的關(guān)系而后求交，計(jì)算過(guò)程中必須根據(jù)相關(guān)情況進(jìn)行復(fù)雜的判斷，導(dǎo)致程序結(jié)構(gòu)復(fù)雜，適應(yīng)性不強(qiáng)。

幾何代數(shù)是以代數(shù)語(yǔ)言進(jìn)行幾何對(duì)象表達(dá)、構(gòu)造與運(yùn)算的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，被認(rèn)為是有效連接幾何與代數(shù)，實(shí)現(xiàn)幾何計(jì)算的數(shù)學(xué)語(yǔ)言［10］。共形幾何代數(shù)（conformal geometric algebra，CGA）基于協(xié)變視角引入了基準(zhǔn)原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，使得分別基于外積和內(nèi)積的形體表達(dá)和幾何度量都具有明確的幾何意義［11］。通過(guò)定義幾何代數(shù)運(yùn)算空間，可實(shí)現(xiàn)高維空間中不依賴于坐標(biāo)的幾何計(jì)算，前期研究表明幾何代數(shù)可用于多維空間對(duì)象的統(tǒng)一表達(dá)、建模與復(fù)雜對(duì)象間的空間關(guān)系分析［12－14］，且基于其設(shè)計(jì)的算法具有較強(qiáng)的高維拓展性［15］。本文針對(duì)三角網(wǎng)求交中三角形空間關(guān)系判定及點(diǎn)、線、面等不同幾何對(duì)象統(tǒng)一求交問(wèn)題，從代數(shù)表達(dá)與關(guān)系運(yùn)算相結(jié)合的角度，基于幾何代數(shù)中交并關(guān)系運(yùn)算的meet算子構(gòu)建空間關(guān)系判斷算子，為三角網(wǎng)表達(dá)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)構(gòu)建及各維度組分的統(tǒng)一求解提供基礎(chǔ)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)多維統(tǒng)一三角網(wǎng)求交的幾何代數(shù)算法。

2 三角網(wǎng)的CGA表達(dá)與求交流程

2.1 三角網(wǎng)的CGA表達(dá)

基于內(nèi)積和外積進(jìn)行代數(shù)空間構(gòu)造及幾何對(duì)象表達(dá)，基于幾何代數(shù)多重向量（multivector）可實(shí)現(xiàn)多維幾何對(duì)象的整合表達(dá)。在幾何代數(shù)中，基于外積表達(dá)的幾何對(duì)象維度與Grassmann維度具有一致性，可以實(shí)現(xiàn)不同維度對(duì)象的構(gòu)造與相互轉(zhuǎn)化［10］。多重向量則為不同類型、不同維度幾何對(duì)象的描述和存儲(chǔ)提供了高維可拓展性。幾何代數(shù)自身的坐標(biāo)無(wú)關(guān)性與維度無(wú)關(guān)性使其所表達(dá)的幾何特征是幾何對(duì)象自身內(nèi)蘊(yùn)的幾何特征，計(jì)算獲得的幾何關(guān)系也是各幾何對(duì)象間不依賴坐標(biāo)的相對(duì)關(guān)系［11，16］。這為幾何對(duì)象的自適應(yīng)表達(dá)、關(guān)系判斷與關(guān)系計(jì)算提供了有利前提。CGA表達(dá)中包含有如方向、位置、值大小等幾何語(yǔ)義信息，可通過(guò)直觀的算子運(yùn)算直接判斷對(duì)象間相離、相交、包含等拓?fù)潢P(guān)系。表1給出了CGA中常用blade的分類及其所包含的幾何特征及其計(jì)算方法［15］。

表1 blade分類及其幾何特征Tab.1 Blades and their geometric characteristics

根據(jù)CGA中blade的表達(dá)，并結(jié)合前期研究中所構(gòu)造的基于CGA的三維空間數(shù)據(jù)模型［12］，可以構(gòu)造三角網(wǎng)的表達(dá)模式如圖1所示。首先構(gòu)建多重向量集合MVi。在MVi集合中任意一個(gè)對(duì)象均為構(gòu)成該三角網(wǎng)的特定三角形Ti，采用外積構(gòu)造點(diǎn)、線、面對(duì)象，并利用其邊界范圍將其約束為點(diǎn)、線段與三角形。利用CGA中幾何對(duì)象維度與Grassmann維度的一致性，實(shí)現(xiàn)點(diǎn)、線段與三角形的層次組織。在三角網(wǎng)的表達(dá)中，點(diǎn)、線段與三角形均用blade表達(dá)，且依據(jù)其層次關(guān)系組合形成最終的三角網(wǎng)多重向量表達(dá)。不僅在維度結(jié)構(gòu)上具有簡(jiǎn)明性，也為三角網(wǎng)的統(tǒng)一表達(dá)與空間關(guān)系計(jì)算提供了獨(dú)立、完備的數(shù)據(jù)組織與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。

2.2 三角網(wǎng)求交的幾何代數(shù)描述

幾何代數(shù)算子的多維統(tǒng)一性使其可以直接用于處理多維對(duì)象，而無(wú)需根據(jù)對(duì)象維度進(jìn)行分別處理［17］，從而可構(gòu)建簡(jiǎn)明、清晰、多維統(tǒng)一的三角網(wǎng)快速求交算法?；贑GA幾何對(duì)象表達(dá)的多維統(tǒng)一性和meet算子構(gòu)建三角網(wǎng)自適應(yīng)求交算法（圖1），通過(guò)對(duì)表征兩三角網(wǎng)的多重向量直接應(yīng)用meet算子實(shí)現(xiàn)對(duì)多重向量中所包含的各幾何對(duì)象的分別求交。對(duì)于基本幾何對(duì)象間交并關(guān)系的求解，如點(diǎn)、線、平面、圓環(huán)、球面等一般blade，可直接基于meet算子進(jìn)行運(yùn)算；對(duì)于求解含固定邊界幾何對(duì)象間交并關(guān)系，如多邊形、多面體對(duì)象，除了先基于meet算子進(jìn)行求交判斷外，還需借助對(duì)象表達(dá)中所蘊(yùn)含的豐富的幾何屬性特征，并定義一系列具有統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的關(guān)系判斷算子，去除無(wú)效結(jié)果。最后將meet求解結(jié)果重新投影回歐氏空間，可設(shè)計(jì)相應(yīng)的語(yǔ)法解析器對(duì)運(yùn)算結(jié)果加以解析，并轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)幾何對(duì)象，形成三角網(wǎng)求交的最終算法流程。

圖1 基于幾何代數(shù)三角網(wǎng)求交流程Fig.1 Calculation flow of triangulation intersection based on geometric algebra

3 基于meet算子空間對(duì)象求交

3.1 meet算子與空間對(duì)象自適應(yīng)求交

不同幾何對(duì)象的相交關(guān)系會(huì)隨著對(duì)象類型和位置關(guān)系的變化而變化。傳統(tǒng)歐氏幾何中需要對(duì)不同維度對(duì)象各種相交情況分別進(jìn)行處理，導(dǎo)致時(shí)變對(duì)象的求交計(jì)算較為復(fù)雜，對(duì)動(dòng)態(tài)空間關(guān)系計(jì)算的支撐不足。在幾何代數(shù)中，不同幾何對(duì)象間所共有的最大子空間可以通過(guò)meet算子獲得。由于meet運(yùn)算的多維統(tǒng)一性，使其可以同時(shí)處理點(diǎn)、線、面以及其他各類blade表達(dá)的幾何對(duì)象間的相交運(yùn)算［17］。meet運(yùn)算的結(jié)果為多重向量，且其運(yùn)算結(jié)果的幾何對(duì)象類型僅與參與meet運(yùn)算的幾何對(duì)象相關(guān)，而與維度和坐標(biāo)系統(tǒng)無(wú)關(guān)。meet算子計(jì)算結(jié)果所具有的自適應(yīng)性，有助于實(shí)現(xiàn)利用單一算子實(shí)現(xiàn)不同幾何對(duì)象相交關(guān)系的統(tǒng)一求解。

給定任意兩bladeA和B，兩者間的meet運(yùn)算M＝A∩B滿足下式

引入可容納A、B的最小子空間偽標(biāo)量IAB，則meet算子可利用A、B間的對(duì)偶運(yùn)算求解

其一般形式為

式中，β為標(biāo)量。對(duì)于blade對(duì)象間的求交，可通過(guò)meet算子M的符號(hào)和它的平方M2的符號(hào)來(lái)作初步的相交關(guān)系判斷。Eduardo等基于meet算子詳細(xì)推導(dǎo)了線－線，線－面，面－面之間相交關(guān)系的計(jì)算方法與判斷規(guī)則［18］：當(dāng)M2＞0時(shí)，A與B至少相交于兩點(diǎn)；當(dāng)M2＝0時(shí)，A與B至少相切于一點(diǎn)；當(dāng)M2＜0時(shí)，A與B不交。各類型幾何對(duì)象基于meet算子的相交關(guān)系的判斷如表2。meet算子表達(dá)形式上的統(tǒng)一性及其計(jì)算結(jié)果的自適應(yīng)性使其可適用于動(dòng)態(tài)場(chǎng)景中變化對(duì)象的自適應(yīng)求交，并能保證動(dòng)態(tài)對(duì)象條件下，不同維度對(duì)象間空間關(guān)系計(jì)算的統(tǒng)一性與一致性。

表2 基于meet算子的基本幾何對(duì)象相交關(guān)系求解Tab.2 The solutions of intersection relations among basic geometric objects based on meet operators

3.2 空間對(duì)象meet的計(jì)算方法

meet算子對(duì)于求解A＝a1∧a2∧…∧ak形式的blade之間的交集簡(jiǎn)單有效，但對(duì)于由多個(gè)blade的加和構(gòu)成的k－blade間的meet運(yùn)算，需要基于join（并）和meet的關(guān)系對(duì)其進(jìn)行拆分和變換［10，19］。鑒于 meet運(yùn)算的可拆分性，可以通過(guò)將blade對(duì)象分解成線性無(wú)關(guān)的幾個(gè)支撐向量以簡(jiǎn)化運(yùn)算。對(duì)于k－bladeB，其因子分解就是要找到k個(gè)線性不相關(guān)的支撐向量fi，使得B＝βf1∧f2∧…∧fk。使用投影算子qi＝（pi」B－1）」B搜尋B中k個(gè)相互獨(dú)立的分解因子。設(shè)計(jì)meet算子快速求解算法，其基本流程為：

（1）先將“測(cè)試向量”pi投影到二維平面B上；

（2）用pi」B－1計(jì)算出pi在B中投影的正交補(bǔ)余；

（3）據(jù)公式qi＝（pi」B－1）」B求解pi」B－1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的正交投影，qi即為所求支撐向量；

（4）循環(huán)直至找到k個(gè)支撐向量。

由于對(duì)象分解過(guò)程具有可加和性和可逆性，且分解得到的qi線性不相關(guān)，可用于對(duì)象間meet的快速運(yùn)算。為快速求得meet算子結(jié)果的維度，可引入delta積運(yùn)算，其幾何意義為兩對(duì)象間的并集減交集［19－20］，存在

給定初始交積M＝1、并積J＝In，對(duì)于kbladeA與B，計(jì)算其delta積在空間IAB中的補(bǔ)集S＝（AΔB）＊，并將S分解為線性無(wú)關(guān)的k個(gè)部分Si；對(duì)于每個(gè)Si計(jì)算其投影pi，如果pi非零，則通過(guò)M＝M∧pi擴(kuò)充meet，直到M的維度與所求得meet的維度相等。

4 三角形求交中對(duì)象空間關(guān)系判斷

在復(fù)雜三角網(wǎng)對(duì)象求交中，對(duì)象間空間關(guān)系判斷是進(jìn)行求交對(duì)象篩選和處理的基礎(chǔ)。在三角形求交過(guò)程中，主要需考慮不同線段、線段與三角形以及點(diǎn)與三角形之間的關(guān)系判斷。為此，基于三角形及其相關(guān)幾何對(duì)象的CGA表達(dá)，通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的判斷算子進(jìn)行上述對(duì)象的空間關(guān)系判斷。其計(jì)算過(guò)程如圖2所示。

圖2 線段、三角形、點(diǎn)的位置關(guān)系判斷Fig.2 Location relations judgment between segments，triangles and points

4.1 平面上的線段與線段的關(guān)系判斷算子

計(jì)算線段R1及其端點(diǎn)p1與線段R2兩端點(diǎn)所構(gòu)成向量間的外積2－bladeB1＝v3∧v1、B2＝v3∧v2，同理可求得由線段R2及R1端點(diǎn)所構(gòu)成向量間外積B3、B4。構(gòu)建平面上線段關(guān)系判斷算子：Oseg－seg＝（dir（B1）＝ ＝dir（B2））‖（dir（B3）＝＝dir（B4）），當(dāng)Oseg－seg為true時(shí)，線段不交，否則線段相交。

4.2 線段與三角形的關(guān)系判斷算子

構(gòu)建由線段R的頂點(diǎn)q1到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成向量的外積3－bladeTr1＝v1∧v2∧v3，同理可得到由頂點(diǎn)q2與三角形頂點(diǎn)所構(gòu)成向量的外積Tr2。構(gòu)建線段與三角形的關(guān)系判斷算子：Oseg－tri＝（dir（Tr1）＝＝dir（Tr2）），當(dāng)Oseg－tri為true時(shí)，二者不交，否則線段與三角形相交。

4.3 平面上點(diǎn)與三角形的關(guān)系判斷算子

構(gòu)建由三角形各頂點(diǎn)指向待求點(diǎn)的向量，按一定的方向計(jì)算三角形邊同各向量的外積：B1＝v12∧v10、B2＝v23∧v20、B3＝v31∧v30。構(gòu)建點(diǎn)與三角形的關(guān)系判斷算子：Opt－tri＝（dir（B1）≥0＆＆dir（B2）≥0＆＆dir（B3）≥0），當(dāng)Opt－tri為true時(shí)，點(diǎn)在三角形內(nèi)部或邊界，否則點(diǎn)在三角形外部。

5 算法實(shí)現(xiàn)與案例驗(yàn)證

5.1 三角形求交的形式化表達(dá)

不失一般性，據(jù)文獻(xiàn)［17］構(gòu)建的基于幾何代數(shù)的對(duì)象表達(dá)模型，給定兩三角形T1、T2，其共形幾何代數(shù)表達(dá)為

上述三角形的多重向量表達(dá)中，已同時(shí)包含有各三角形中線段和面對(duì)象的幾何代數(shù)表達(dá)，其meet的求解過(guò)程為

式中，S1∩l21＋S1∩l22＋S1∩l23由于與S2∩l11＋S2∩l12＋S2∩l13具有等同性，二者取一即可，并根據(jù)三角形與直線的構(gòu)建關(guān)系可將上式改寫(xiě)成如下形式

式中，“＊”僅為一種連接關(guān)系，不參與運(yùn)算，表示當(dāng)“＊”左側(cè)滿足一定要求時(shí)，才進(jìn)行其右側(cè)運(yùn)算，即在求解過(guò)程中，可利用面—面、線—面、線—線對(duì)象meet算子結(jié)果的符號(hào)對(duì)其相交關(guān)系進(jìn)行初步判定，從而降低算法的計(jì)算復(fù)雜度。

5.2 算法描述與流程

基于上述形式化表達(dá)，利用三角形求交的空間關(guān)系判定方法，構(gòu)造相應(yīng)的判定算子對(duì)其空間關(guān)系進(jìn)行判定，進(jìn)而獲得三角形在共面、異面等情況下，其中各要素的相交情況，然后將求交結(jié)果逆向回溯，由交點(diǎn)構(gòu)建線段，即為所求交線結(jié)果。

其算法流程如圖3所示。首先利用meet算子進(jìn)行三角形所在平面間相交關(guān)系的預(yù)判斷，即M＝（T1∩T2）。由于當(dāng)M2＜0時(shí)，T1與T2不交，因此，可篩選出所有M2＜0（即不滿足相交條件）的三角形，對(duì)所有可能滿足相交條件的三角形進(jìn)行空間關(guān)系的判斷。構(gòu)造由三角形T1任一頂點(diǎn)A1、B1、C1到三角形T2頂點(diǎn)A2、B2、C2所構(gòu)成向量的外積3－bladeVol＝A2∧B2∧C2值是否為零，篩選出共面相交的情況。對(duì)于異面相交的三角形，計(jì)算三角形各邊與另一三角形平面的meet。共面相交的三角形，則需要遍歷計(jì)算兩三角形邊與邊的meet，并通過(guò)交點(diǎn)、交線與三角形空間位置關(guān)系判斷算子篩選出落在三角形內(nèi)部或邊界上的對(duì)象。

圖3 三角形求交流程示意Fig.3 The triangle intersection process

對(duì)上述算法流程的求解步驟為：

輸入：待求交的兩三角網(wǎng)T1、T2。

輸出：兩三角網(wǎng)交線、交點(diǎn)等幾何對(duì)象Vout。

（1）對(duì)T1、T2進(jìn)行幾何代數(shù)編碼，形成多重向量表達(dá)MVT1、MVT2；

（2）順序提取MVT1、MVT2中三角形Π1、Π2，對(duì)其所在平面求meet，并進(jìn)行三角形相交與共面的判斷；

（3）對(duì)Π1、Π2中各邊求交，判斷其相交情況；

（4）對(duì)所求交點(diǎn)、交線與三角形關(guān)系進(jìn)行判斷，當(dāng)交點(diǎn)、交線在三角形內(nèi)時(shí)，保留結(jié)果；

（5）依次遍歷三角網(wǎng)中各三角形，直至所有三角形求交完成；

（6）解析計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)歐氏幾何對(duì)象輸出或可視化。

5.3 案例驗(yàn)證

以南極冰蓋時(shí)空演化［21］的三維表面模型求交為例進(jìn)行算法驗(yàn)證，選用33 800Ka BP、33 550Ka BP、33 400Ka BP、33 300Ka BP、33 200Ka BP 5個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的南極冰蓋三角網(wǎng)曲面模擬數(shù)據(jù)作為案例數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)及三角網(wǎng)個(gè)數(shù)信息見(jiàn)表3。利用幾何代數(shù)對(duì)三角形的統(tǒng)一表達(dá)與運(yùn)算，結(jié)合相關(guān)的運(yùn)算與判斷算子，設(shè)計(jì)三角網(wǎng)求交的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)和算法。首先對(duì)三角網(wǎng)格曲面數(shù)據(jù)進(jìn)行共形空間轉(zhuǎn)換與維度映射，實(shí)現(xiàn)三角格網(wǎng)的幾何代數(shù)表達(dá)與存儲(chǔ)；然后利用空間三角形的幾何代數(shù)求交方法，基于meet算子和關(guān)系判斷算子Oseg－seg、Oseg－tri、Opt－tri進(jìn)行相交結(jié)果的篩選與位置關(guān)系判斷，并獲取相應(yīng)的交點(diǎn)與交線段，最后求得兩個(gè)時(shí)期冰蓋表面的曲面交線。結(jié)果顯示本文算法提取出的交線能夠清晰反映某一時(shí)刻冰蓋曲面相對(duì)原始冰蓋變化的空間結(jié)構(gòu)與位置，可為地質(zhì)地形建模與分析提供可行的思路與方法（圖4）。

表3 三角網(wǎng)數(shù)據(jù)的基本信息Tab.3 General information of the triangulation data

圖4 本文算法求得的南極冰蓋表面三角網(wǎng)交線結(jié)果Fig.4 The triangulation intersection of Antarctic ice sheet based on CGA algorithm

對(duì)上述三角網(wǎng)交線結(jié)果進(jìn)行分析易知其中含有大量的重復(fù)交線，這些冗余交線會(huì)影響后期交線拓?fù)涞臉?gòu)造效率。冗余交線主要產(chǎn)生于如下3種情況：①退化交線（交點(diǎn)），例如當(dāng)一三角形頂點(diǎn)與另一三角形相切（接）時(shí)，交線段退化為交點(diǎn)，此交點(diǎn)必為其鄰接三角形交線的頂點(diǎn)；②切交線，例如當(dāng)三角形一邊切另一三角形面時(shí)，該三角形的鄰接三角形必求解出相同的切交線；③接交線，例如當(dāng)兩個(gè)三角形的邊部分或整體重合時(shí)，該求解結(jié)果將會(huì)在其鄰接三角形中重復(fù)出現(xiàn)。情況①中的點(diǎn)由于不參與拓?fù)錁?gòu)建可直接刪除，情況②與情況③中需要保留一條交線用于構(gòu)造交線拓?fù)?。基于上述考慮，可分別為線線關(guān)系判斷算子Oseg－seg和線面關(guān)系判斷算子Oseg－tri添加判斷條件Bi＝＝0，i＝1，…，4和Oseg－segi＝＝true，i＝1，2，3，標(biāo)記出線線相接和線面相接的情況，對(duì)退化交線加以篩除，式中Bi為線段端點(diǎn)構(gòu)成的2－blade，segi指代三角形tri的第i條邊。

分別運(yùn)用M?ller標(biāo)量法、Guigue＆Devillers矢量法和本文算法（CGA算法）按時(shí)間序?qū)ι鲜鋈蔷W(wǎng)數(shù)據(jù)兩兩求交，統(tǒng)計(jì)出交線數(shù)目及各算法運(yùn)行時(shí)間，對(duì)本文算法的準(zhǔn)確性和效率加以驗(yàn)證。最終交線的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表4所示。由于基于CGA的三角形求交算法去除了一定量的冗余交線，其求得的交線總數(shù)均小于另兩算法，減去冗余交線后，三算法求得的有效交線數(shù)目一致，表明了本算法求解結(jié)果的準(zhǔn)確性與有效性。從計(jì)算效率上看（圖5），本方法較 M?ller算法略快，但慢于Guigue＆Devillers算法。其主要原因在于，本文實(shí)現(xiàn)的CGA算法是將幾何對(duì)象由三維歐氏空間投影到五維空間后，使用數(shù)值運(yùn)算而非邏輯位運(yùn)算進(jìn)行幾何代數(shù)計(jì)算的求解，導(dǎo)致了內(nèi)積、外積以及meet算子等基本幾何代數(shù)運(yùn)算仍然依賴于加、減、乘、除等數(shù)值運(yùn)算。通過(guò)基于邏輯位運(yùn)算優(yōu)化的幾何代數(shù)引擎的利用［22］，可進(jìn)一步大幅提升運(yùn)算效率。而幾何代數(shù)對(duì)象表達(dá)與運(yùn)算的統(tǒng)一性，及其算法的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)明性與自適應(yīng)性，也為基于幾何代數(shù)的并行計(jì)算方法提供了便利［23］。

表4 三角網(wǎng)相交結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.4 The statistical results of the triangulation intersection

圖5 三角形求交算法效率對(duì)比Fig.5 Efficiency comparisons of the three triangulation intersection algorithms

6 結(jié)論與展望

三角形是三角網(wǎng)格曲面、四面體格網(wǎng)、單純形剖分等三維矢量模型構(gòu)建的基本單元，三角形求交運(yùn)算是上述模型空間拓?fù)潢P(guān)系運(yùn)算的基礎(chǔ)。空間對(duì)象的相交、距離關(guān)系的判斷是空間拓?fù)浞治龅幕A(chǔ)，幾何代數(shù)通過(guò)定義相應(yīng)的運(yùn)算空間實(shí)現(xiàn)多維對(duì)象的統(tǒng)一表達(dá)與計(jì)算。本文利用幾何代數(shù)多維統(tǒng)一表達(dá)與運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)了三角形等基本對(duì)象的統(tǒng)一表達(dá)；基于meet算子維度統(tǒng)一與對(duì)象無(wú)關(guān)特性，構(gòu)建統(tǒng)一的三角形求交運(yùn)算流程；并設(shè)計(jì)相應(yīng)的關(guān)系判斷算子實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程中對(duì)象的篩選與判斷。

在三角形的求交過(guò)程中存在三角形退化為線段、三角形相接、三角形相切等多種臨界與奇異情況，在所選的兩類傳統(tǒng)對(duì)比算法中，均存在人為設(shè)定的相交準(zhǔn)則，使得計(jì)算流程存在一定的定制化，而對(duì)不同維度、不同對(duì)象缺乏自適應(yīng)性。本文算法基于統(tǒng)一的多重向量表達(dá)及靈活的關(guān)系判斷算子可根據(jù)應(yīng)用需要合理配制相交準(zhǔn)則，對(duì)動(dòng)態(tài)場(chǎng)景下的時(shí)變對(duì)象間相交關(guān)系的計(jì)算具有更強(qiáng)的自適應(yīng)性?；谀蠘O冰蓋曲面網(wǎng)格數(shù)據(jù)的案例表明，本文提出的基于幾何代數(shù)的三角形快速求交方法，可有效支撐三角網(wǎng)的求交運(yùn)算，且邏輯結(jié)構(gòu)清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔高效，可為其他復(fù)雜幾何對(duì)象間建模表達(dá)與空間分析統(tǒng)一求解提供借鑒。

支持復(fù)雜對(duì)象與現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)化表達(dá)、建模與模擬是GIS發(fā)展的必然趨勢(shì)［24］。建立幾何—拓?fù)洹Z(yǔ)義一致的且可有效支撐地學(xué)分析的地理格網(wǎng)與空間分析模型是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的重要途徑［25］?；趲缀未鷶?shù)的三角網(wǎng)參數(shù)化表達(dá)在融入對(duì)象的幾何、拓?fù)涮卣鞯耐瑫r(shí)可直接支撐幾何運(yùn)算，并具有對(duì)象和維度的自適應(yīng)性。除meet算子外，大部分的幾何代數(shù)算子均具有類似的多維統(tǒng)一和自適應(yīng)特性，因此，基于幾何代數(shù)算子設(shè)計(jì)對(duì)象和維度無(wú)關(guān)的空間關(guān)系計(jì)算算法，將可為多維統(tǒng)一分析與計(jì)算提供了新的理論與方法參考。未來(lái)主要的研究拓展包括：①研究可支撐復(fù)雜對(duì)象的幾何代數(shù)表達(dá)方法，實(shí)現(xiàn)地理場(chǎng)景中不規(guī)則邊界形體數(shù)據(jù)的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)與拓?fù)涮匦苑治?；②基于幾何代?shù)算法流程的一致性與邏輯結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔性，構(gòu)建并行化分析算法以支撐大規(guī)模復(fù)雜場(chǎng)景及海量數(shù)據(jù)分析；③將算法向復(fù)雜、高維對(duì)象擴(kuò)展，設(shè)計(jì)幾何與語(yǔ)義統(tǒng)一的空間關(guān)系計(jì)算算法，建立具有以維度融合為特征的GIS空間分析體系。

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