吳圣川， 喻 程， 張衛(wèi)華， 薛弼一

(西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031)

氣孔和裂紋是鋁合金熔焊接頭中常見的、難以消除的缺陷，嚴重影響著鋁合金焊接結構的服役性能. 研究發(fā)現，氣孔引起的應力集中易成為疲勞裂紋的萌生源，而且氣孔與裂紋之間的交互作用，將顯著改變裂紋尖端的應力場［1］.

文獻［2］在研究鑄造鋁合金的疲勞長裂紋擴展行為時，指出主裂紋優(yōu)先沿鑄造孔洞擴展. 文獻［3］在考察氣孔對短裂紋擴展的影響時發(fā)現，孔洞的存在易使周圍基體產生塑性變形，形成局部應力集中，加速小裂紋擴展;當裂紋穿越孔洞后，裂紋擴展速度又會下降. 此外，當孔洞相互連接時對裂紋的影響較大.以上研究均基于斷口觀測.

文獻［4］采用疊加原理給出了半無限裂紋與單橢圓孔洞交互作用的級數解. 文獻［5］用解析的方法研究了無限大平板中內部裂紋與孔洞相互作用的問題. 但解析法推導過程過于復雜，只能適用于簡單的平面問題.

為了研究氣孔與裂紋的交互作用，傳統(tǒng)有限元法需在氣孔周圍和裂紋尖端采用致密的網格，其建模復雜度及計算成本巨大，并且由于氣孔分布的隨機性，使模擬氣孔與裂紋的相互作用變得更為困難. 文獻［6］采用雜交多邊形有限元(hybrid polygonal element，HPE［7-9］)將氣孔等包含在一個任意凸多邊形單元內，在遠離氣孔的區(qū)域仍然采用傳統(tǒng)的單元網格，以此估計點焊接頭氣孔致疲勞損傷的影響. 結論如下:在拉伸和剪切應力下，氣孔對Ⅰ型應力強度因子KⅠ有顯著影響;邊緣氣孔比內部氣孔的影響更大;隨著裂紋的擴展，氣孔的屏蔽效應減弱.

以上使用的雜交單元具有以下特征:

(1)將缺陷包含在1 個凸多邊形單元內;

(2)利用Hellinger-Reissner 原理來建立剛度矩陣;

(3)用復勢函數描述單元的應力和位移分布;

(4)保角映射方便形函數、應力和位移邊界處理.

本文建立了含橢圓缺陷HPE 法及含裂尖HPE的多邊形單元格式，驗證了其有效性和精度. 在此基礎上，把HPE 法用于鋁合金熔焊氣孔與裂紋交互作用機理的研究，分析氣孔對由焊根萌生的主裂紋應力強度因子的影響，為定量表征氣孔致疲勞損傷行為及壽命演變規(guī)律提供理論基礎.

1 含橢圓缺陷和含裂尖的HPE

1.1 含橢圓洞及含裂尖的HPE

圖1 所示為內部包含1 個橢圓形洞或邊界裂紋的多邊形單元.

圖1 中:xOy 為全局坐標系;x1Oy1為單元局部坐標系;n1、n2分別為外邊界Γ1和內邊界Γ2的法向量;Ω 為基體區(qū)域. 由于該類單元常與其他單元鄰接，并且在焊接接頭或者其他復合材料內部，氣孔或者裂紋面往往不受外力，故Γ1存在確定的未知位移，Γ2為自由邊界. 因此，構造特殊單元的問題，實際上就是求解混合邊值問題.

圖1 含洞HPE 和含裂尖HPE Fig.1 HPEs with a hole or a crack tip

根據Hellinger-Reissner 原理，若滿足

則圖1 問題的泛函為

若還滿足

則該問題的泛函可進一步簡寫為

式中:

σij、uij分別為Ω 內的應力分量和位移分量;

ti為邊界力分量;

Sijkl為柔度分量;

udi為Γ1上確定的未知位移分量;

tdi為Γ2上確定的未知邊界力分量;

i，j，k，l=1，2.

通過復勢函數的方法［10-11］，可以構造出區(qū)域Ω上具有如下形式的應力和位移場

式中:

P、U 分別為應力場和位移場的特殊形函數;

β 為復勢函數作有限項Laurent 級數展開后的未知系數向量.

另外，在Γ1上，通過插值函數矩陣L 可以把指定的邊界位移

表示為

式中:

qe為Γ1上的節(jié)點位移.

根據式(6)，只要在相鄰單元的邊界上位移插值形式相同，HPE 就與其周圍的其他單元滿足位移協調條件.

對于式(2)所示泛函，可得單元剛度矩陣

式中:

G 為P 與L 在Γ1上的積分;

Hα(α=1，2)為P 與U 在Γα上的積分;

S 為單元局部坐標x1Oy1轉變?yōu)槿肿鴺藊Oy的轉換矩陣.

對于式(4)所示泛函，可得單元剛度矩陣

本文用式(7)構造含橢圓洞的HPE，用式(8)構造含裂尖的HPE.

1.2 含橢圓夾雜HPE

考慮一個包含橢圓形夾雜的特殊多邊形單元，為了使用疊加原理求解，需要把該問題分解為兩個子問題，如圖2 所示，圖中:下標ou 和in 分別代表基體區(qū)和夾雜區(qū).

圖2 含夾雜HPE 及其單元構造問題分解Fig.2 An HPE with an inclusion and its decomposition

圖2 中，子問題A 的泛函為

子問題B 的泛函為

為了使這兩個子問題的解復合后得到原問題的解，需要滿足的連續(xù)性條件為

利用式(5)、式(9)～(11)，可得含橢圓夾雜HPE 的單元剛度矩陣為

式中:

Gou為Pou與L 在Γ2上的積分;

Hα為Pou與Uou在Γα上的積分;

HΓ為Pou與Uin在Γ2上的積分.

式(7)、(8)和(12)中各變量的定義可見相關文獻［9］.

2 HPE 法的有效性和精度

2.1 含橢圓洞無限大板

受單向拉伸作用的中心處包含1 個橢圓洞大平板(用于模擬無限大板)以及網格剖分形式如圖3 所示，圖中陰影部分表示1 個含橢圓洞的雜交四邊形單元.

圖3 含橢圓洞的無限大板計算模型Fig.3 A large plate with a central elliptical hole

圖3 中，當a/b=1，0.5 時，上述問題分別變?yōu)? 個中心包含圓洞和包含橢圓洞的無限大平板問題.表1 給出了空洞邊緣θ=0°，90°處，標準化的環(huán)向應力σθ/σ0(σθ、σ0分別為環(huán)向和外加應力)的HPE 法數值解和理論解結果.

從表1 可以看出，使用HPE 法計算得到的數值解的誤差均小于0.6%，當洞的尺寸相對于單元尺寸縮小時，精確度會進一步提高，這是由于洞的尺寸縮小時，HPE 與相鄰單元的應力梯度變小，在邊界上結點數目不變的情況下，其精度會進一步提高.

以上結果表明，含橢圓洞的HPE 是有效的，可以用于模擬熔焊接頭內的氣孔行為.

表1 含橢圓洞的數值解與理論解比較Tab.1 Comparison of the numerical and theoretical results for a large plate with an elliptical hole

2.2 含橢圓夾雜的無限大板

受單向拉伸作用的中心處含1 個橢圓形夾雜的大平板(模擬無限大板)，如圖3 所示，圖中陰影部分視為含1 個橢圓洞的雜交四邊形單元. 當a/b=0.5 時，問題變成1 個中心含橢圓夾雜的無限大平板問題.對于不同的Ein/Eou(Ein和Eou分別為基體和夾雜的彈性模量)，本文給出了橢圓形夾雜邊緣在θ =0°，90°時，標準化環(huán)向應力σθ/σ0的數值解，并與參考解［12］進行對比，如圖4 所示.

圖4 標準化環(huán)向應力的數值解與參考解對比Fig.4 Comparison of the numerical and referential normalized hoop stresses for various Ein/Eou

從圖4 可以看出，HPE 法求得的數值解與參考解誤差不超過0.5%，表明含橢圓夾雜HPE 也是有效的.在后續(xù)研究中，含橢圓夾雜HPE 將用于研究單個氣孔(或多個氣孔)對裂紋的影響.

2.3 含邊裂紋的有限板條

考慮寬度為W 的大板條(用于模擬有限寬的無限長板條)，中部含有一個長度為l 的邊界裂紋，在板條的兩端作用有垂直于裂紋方向均勻的拉應力σ0，如圖5 所示，圖中陰影部分是含裂尖的雜交四邊形單元. 文獻［13］給出了裂尖處標準化Ⅰ型應力強度因子的經驗公式.

圖5 受單向拉伸含邊裂紋有限寬板的計算模型Fig.5 A large plate with a limited width and an edge crack

當l/W=0.5 時，裂尖處標準化的Ⅰ型應力強度因子理論值和HPE 法數值解分別為2.826 4、2.814 8，誤差為0.41%.

分析顯示，裂尖處使用1 個單元即可準確描述尖端應力場，誤差小于0.5%.因此，含裂尖HPE 可用于模擬熔焊接頭中的疲勞裂紋擴展行為.

2.4 邊界裂紋與1 個氣孔的相互作用

考慮帶有邊界裂紋的大平板(用于模仿無限大板)，裂紋前端與裂尖距離為d 處，有一半徑為r的圓洞，平板遠端垂直于裂紋方向受到均勻的拉應力，如圖6 所示，其中陰影部分分別為含裂尖的雜交四邊形單元(左)和含圓洞的雜交四邊形單元(右).裂紋尖端標準化Ⅰ型應力強度因子的無限形式理論解的前3 項［4］為

式中:

KⅠE為裂紋前端包含圓洞時裂尖附近的Ⅰ型應力強度因子;

KⅠ0為裂紋前端沒有圓洞時裂尖附近的Ⅰ型應力強度因子.

使用HPE 法來求解這一問題，其網格劃分如圖6 所示.

KⅠE/KⅠ0的數值結果與使用式(13)計算結果對比如圖7 所示.從圖7 可以看出，使用HPE 法求得數值解較理論解偏大，這是因為式(13)只包含有限項，其計算結果較實際情況偏小. 在r/d ＜0.25 時，HPE 法具有較高的精度，誤差小于0.05%.隨著r/d 增大，即裂紋尖端與氣孔的距離越來越近時，HPE 法的精度變差.這是因為隨著裂尖越來越靠近氣孔，裂尖與氣孔作用強烈，相應區(qū)域的應力梯度變大，式(13)的精度會越來越差［4］，并且在網格不變的情況下，HPE 法的計算精度也會變差.

圖7 KⅠE/KⅠ0的理論解與數值解對比Fig.7 Comparison of the theoretical and numerical normalized SIF of modeⅠKⅠE/KⅠ0

3 熔焊氣孔與裂紋相互作用

文獻［14］表明，鋁合金激光-電弧熔焊接頭中氣孔的分布特征為焊縫上部尺寸較大，而下部尺寸較小，大小約0.001 ～0.2 mm.仔細辨識和統(tǒng)計發(fā)現，氣孔皆為規(guī)則的近圓形，內部光滑，枝晶端頭排列整齊，為典型的氫氣孔特征.

圖8(a)為長6 mm、厚2 mm 的熔焊接頭.取含3 個典型氣孔的接頭橫截面，自下而上半徑為0.05、0.10、0.20 mm，依次記為A、B、C，如圖8(b)所示.

圖8 熔焊接頭試樣及分析模型Fig.8 A sample of fusion weld and its computational model

主裂紋自右側焊根的一個矩形缺口處萌生，并沿橫向往接頭內部擴展，裂紋初始長度為0.107 4 mm.母材的彈性模量約為69 GPa，接頭的彈性模量約為71 GPa，泊松比均為0.3. 本文采用HPE 法分析由焊根處萌生的邊界裂紋與接頭內氣孔的交互作用.

3.1 模型建立

使用HPE 法得到的熔焊接頭試樣HPE 網格模型如圖8(b)所示，其中有4 個HPE，分別包含主裂紋裂尖和3 個氣孔.該模型共包含657 個節(jié)點.而要達到類似的精度，使用傳統(tǒng)有限元法建立的網格模型(圖8(c))，共包含3 522 個節(jié)點，其在缺陷周圍所使用的網格數和節(jié)點數遠多于HPE 法.

為了考察單個氣孔(或多個氣孔)對焊根處裂紋的影響，本文探究了4 種情況:

情況1 接頭內沒有氣孔;

情況2 接頭內僅包含氣孔A;

情況3 接頭內僅包含氣孔A 和B;

情況4 接頭內包含全部3 個氣孔A、B 和C.

以上情況，試樣兩端均施以相同的均勻拉力302 MPa，在平面應力狀態(tài)下，計算主裂紋裂尖處的KⅠE和KⅡE(Ⅱ型)，并分別對情況1 所得結果KⅠ0和KⅡ0作標準化處理.

3.2 裂紋與氣孔相互作用計算與分析

上述4 種情況的計算均不需要重新劃分網格，只需對4 個HPE 作不同的單元設置來實現. 具體方法是，將需要消除影響的氣孔用相同的材料填充，即將含圓洞的單元變成1 個包含彈性夾雜的HPE.計算中，為了保持位移的協調性，在HPE 與傳統(tǒng)四邊形單元交界的邊上要采用與傳統(tǒng)四邊形單元一致的插值階次.

基于HPE 計算模型，使用FORTRAN 語言編程計算，對于情況1，可得KⅠ0=299.11 MPa·m1/2，KⅡ0=3.048 3 MPa·m1/2，與情況1 的計算方法相同，其他標準化應力強度因子的計算結果見圖9.

圖9 使用HPE 法的計算結果Fig.9 Numerical results obtained by HPE method

由圖9 可知，氣孔A 對Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子均有增強作用，Ⅰ型和Ⅱ型應力強度因子分別增大2.15%和324%，氣孔A 與氣孔B 的組合對Ⅰ型應力強度因子的增強作用加強，對Ⅱ型應力強度因子的增強作用減弱.

這說明氣孔B 同樣引起裂尖處Ⅰ型應力強度因子增大，但引起Ⅱ形應力強度因子減小.氣孔A、B 和C 的組合，明顯降低了裂紋尖端Ⅰ型應力強度因子，也使得對Ⅱ型應力強度因子的增強作用大大減弱.

這說明遠離裂尖的大氣孔C 具有明顯降低裂尖Ⅰ型應力強度因子的作用.

以上結果表明，不同位置和大小的氣孔的耦合作用對裂尖應力場影響較大.

4 結 論

基于HPE 法，對鋁合金熔焊氣孔與裂紋的相互作用進行了模擬分析，考察了不同位置的氣孔對裂尖處應力強度因子的影響.

(1)與傳統(tǒng)有限元法相比，HPE 法可用更少的單元數和節(jié)點數取得較高的計算精度，并且可在不重分網格的情況下，單獨研究某個(些)氣孔對主裂紋的影響，較適于考察氣孔與裂紋的相互作用.

(2)氣孔尺寸不是決定裂紋萌生的主要因素，本文分析結果表明，位于接頭下部的小氣孔傾向于增強裂尖處的應力強度因子，位于接頭上部邊緣處的大氣孔傾向于減弱裂尖處的應力強度因子. 因此，裂紋尖端應力場的變化是不同位置和大小的氣孔與裂紋相互耦合作用的結果.

(3)氣孔距離裂紋越近，兩者作用愈強烈.

致謝:牽引動力國家重點實驗室自主課題(2013TPL_T05)項目資助.

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