基于DFT變換的彩色圖像平滑濾波

湯全武，史崇升，吳 佳

（寧夏大學(xué)物理電氣信息學(xué)院，寧夏銀川750021）

0 引 言

常見(jiàn)的圖像平滑的方法可以歸納為以下幾類(lèi)方法:鄰域平均法、多圖平均法、中值濾波法和頻域低通濾波法等［1，2］，而這些方法主要是針對(duì)二維的灰度圖像進(jìn)行處理，即使涉及到彩色圖像的平滑，通常也是將彩色圖像轉(zhuǎn)化成灰度圖像，再利用上述方法實(shí)現(xiàn)平滑濾波，或者利用imfilter函數(shù)，采用線性空間濾波器對(duì)RGB圖像或HSI圖像的亮度分量進(jìn)行平滑濾波，專(zhuān)門(mén)用于彩色圖像的平滑濾波方法研究的比較少。文獻(xiàn)［3］根據(jù)人眼視覺(jué)系統(tǒng)的空間模糊特性、人眼視覺(jué)感知中的彩色細(xì)節(jié)失明及同時(shí)對(duì)比特性出發(fā)，確定初始高斯模板和高斯權(quán)值矩陣，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的平滑；文獻(xiàn)［4－7］等通過(guò)選擇不同的全局固定帶寬或者局部自適應(yīng)帶寬，將Mean Shift算法運(yùn)用于圖像的平滑與分割中，文獻(xiàn)［8］在此工作基礎(chǔ)上之上，又根據(jù)圖像顏色分布的豐富程度定義了自適應(yīng)空域帶寬，并利用最小化局部方差函數(shù)和最大化頻域結(jié)構(gòu)相似度函數(shù)獲得自適應(yīng)值域帶寬，通過(guò)定義采樣點(diǎn)權(quán)重，克服了圖像過(guò)平滑問(wèn)題，取得了較好的結(jié)果；文獻(xiàn)［9］基于HSI彩色空間對(duì)圖像進(jìn)行平滑，能夠有效消除圖像噪聲影響和改進(jìn)圖像質(zhì)量。在上述彩色圖像平滑方法中，有采用空間濾波，將Mean Shift算法應(yīng)用于彩色圖像平滑，將RGB圖像轉(zhuǎn)換到其他彩色空間并對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，但并未涉及到利用頻域?yàn)V波方法對(duì)圖像進(jìn)行平滑。因此，本文提出了一種新的彩色圖像平滑濾波的方法，即DFT平滑濾波算法。

1 彩色圖像的離散傅里葉變換

一幅彩色圖像就是彩色像素的一個(gè)M×N×3數(shù)組，其中每一個(gè)彩色像素點(diǎn)都是在特定空間位置的彩色圖像相對(duì)應(yīng)的3個(gè)分量，可以看成是一個(gè)由3幅灰度圖像形成的“堆”。頻域?yàn)V波方法只能對(duì)二維圖像進(jìn)行濾波，不能直接對(duì)彩色圖像進(jìn)行處理，但若將彩色圖像的各分量進(jìn)行提取，其分量圖像均為M×N的數(shù)組，則可對(duì)彩色圖像進(jìn)行頻域?yàn)V波［10］。

令f（x，y）表示一幅M×N×3彩色圖像的分量，其中x＝0，1，2，…，M－1和y＝0，1，2，…，N－1。f（x，y）的二維離散傅里葉變換可表示為

其中，μ＝0，1，2，…，M－1和ν＝0，1，2，…，N－1。

設(shè)給定h（h，y）表示一個(gè)M×N的函數(shù)，其中h＝0，1，2，…，M－1和y＝0，1，2，…，N－1。h（h，y）的二維離散傅里葉變換可表示為

其中，μ＝0，1，2，…，M－1和ν＝0，1，2，…，N－1。這里，我們通常將H（μ，ν）稱(chēng)為濾波傳遞函數(shù)。

空間域和頻域線性濾波的基礎(chǔ)都是卷積定理，該定理可以寫(xiě)為

其中，符號(hào)“＊”表示兩個(gè)函數(shù)的卷積，雙箭頭兩邊的表達(dá)式組成了傅里葉變換對(duì)。在濾波的問(wèn)題上，通常采用式（3），則f（x，y）濾波圖像f1（x，y）可表示為

其f1（x，y）對(duì)應(yīng)的二維傅里葉變換為

將式（6）帶入到式（5）中，并結(jié)合式（1）和式（2）可得濾波圖像f1（x，y）的表達(dá)式為

至此，完成了對(duì)彩色圖像分量f（x，y）的頻域?yàn)V波，將彩色圖像的其他分量分別進(jìn)行頻域?yàn)V波，再將分量濾波圖像用cat函數(shù)級(jí)聯(lián)，即可實(shí)現(xiàn)彩色圖像的平滑濾波。

2 DFT平滑濾波算法的設(shè)計(jì)

2.1 基本思想

令Sxy表示彩色圖像中以（x，y）為中心的鄰域的一組坐標(biāo)。在該鄰域中，彩色圖像向量的平均值為

其中，k是鄰域中像素的數(shù)量。同時(shí)，它也遵從

其中，X、Y、Z分別表示Sxy在（x，y）的3個(gè)分量。對(duì)比式（8）和式（9），我們可以得到這樣的結(jié)論:用鄰域平均的平滑可以在每個(gè)圖像平面的基礎(chǔ)上執(zhí)行。如果鄰域平均直接在彩色向量空間執(zhí)行，那么結(jié)果是相同的。彩色圖像是三維空間圖像，不能直接進(jìn)行頻域?yàn)V波，但根據(jù)以上結(jié)論，我們可以對(duì)彩色圖像的各分量分別進(jìn)行頻域?yàn)V波。因?yàn)槠浞至繄D像是二維圖像，對(duì)分量圖像進(jìn)行DFT離散傅里葉變換，并利用卷積定理，即式（3）可實(shí)現(xiàn)分量圖像在頻域的濾波，將濾波的分量圖像進(jìn)行離散傅里葉逆變換，可轉(zhuǎn)換至對(duì)應(yīng)分量圖像的平面。再將各分量的濾波圖像利用cat函數(shù)進(jìn)行合成，則可實(shí)現(xiàn)使用頻域?yàn)V波器平滑彩色圖像的方法。

2.2 算法的實(shí)現(xiàn)

該算法首先提取彩色圖像的各分量，若待平滑的圖像為RGB圖像，提取的分量分別為紅、綠、藍(lán)分量圖像；若要從非RGB彩色空間對(duì)圖像進(jìn)行平滑，就使用相應(yīng)的轉(zhuǎn)換函數(shù)將RGB圖像轉(zhuǎn)為其他空間的彩色圖像，再提取圖像的分量圖像。然后分別對(duì)每幅分量圖像進(jìn)行DFT頻域?yàn)V波，其中濾波器是利用fspecial函數(shù)產(chǎn)生的大小為16×16像素的‘a(chǎn)verage’濾波器。最后將各分量的濾波圖像進(jìn)行合成。具體實(shí)現(xiàn)算法的流程框圖如圖1所示。

圖1 DFT平滑濾波流程

DFT平滑濾波算法的核心功能編程如下:

clear all

clc

fc＝imread（′bld.tif′）；%讀入RGB圖像

w＝fspecial（′average′，16）；%產(chǎn)生尺寸大小為16×16像素的‘a(chǎn)verage’濾波器

%RGB圖像各分量的提取

fR＝fc（:，:，1）；

fG＝fc（:，:，2）；

f B＝fc（:，:，3）；

%將RGB各分量歸一化

f R＝mat2gray（f R）；

fG＝mat2gray（fG）；

fB＝mat2gray（fB）；

%獲取各分量的填充參數(shù)

PQR＝paddedsize（size（f R））；

PQG＝paddedsize（size（f G））；

PQB＝paddedsize（size（fB））；

%生成對(duì)各分量進(jìn)行濾波的頻域?yàn)V波器

HR＝freqz2（w，PQR（1），PQR（2））；

HG＝freqz2（w，PQG（1），PQG（2））；

HB＝freqz2（w，PQB（1），PQB（2））；

%將各分量的頻域?yàn)V波器中心頻率移到四個(gè)角

WR＝ifftshift（HR）；

WG＝ifftshift（HG）；

WB＝ifftshift（HB）；

%對(duì)RGB各分量圖像進(jìn)行頻域?yàn)V波

ffR＿filtered＝dftfilt（f R，WR）；%對(duì)R分量

ffG＿filtered＝dftfilt（fG，WG）；%對(duì)G分量

ffB＿filtered＝dftfilt（fB，WB）；%對(duì)B分量

%RGB各分量濾波圖像的合成；

f RGB＿filtered＝cat（3，ffR＿filtered，ffG＿filtered，ffB＿filtered）

其中，paddedsize和dftfilt函數(shù)是自定義函數(shù)。paddedsize函數(shù)的功能為:假設(shè)函數(shù)f（x，y）和g（x，y）的大小分別為A×B和C×D，通過(guò)對(duì)f和g補(bǔ)零，用于計(jì)算滿足等式P≥A＋C－1和Q≥B＋D－1的最小偶數(shù)值；dftfilt函數(shù)實(shí)現(xiàn)頻域?yàn)V波。

2.3 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

本文采用均方誤差（MSE）、峰值信噪比（PSNR）值和相關(guān)測(cè)度K［11］作為平滑彩色圖像結(jié)果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

均方誤差MSE用來(lái)表示濾波圖像與原始圖像之差平方的期望值，其離散形式為

式中，f（x，y）、g（x，y）分別為原始圖像的分量、濾波的分量圖像在點(diǎn)（x，y）上的灰度值，M、N分別是x方向、y方向圖像像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

峰值信噪比PSNR反映濾波圖像的失真程度，一般它的值越大就表示濾波圖像的質(zhì)量越好，其定義為

式中，L是濾波圖像分量的灰度取值范圍。

相關(guān)測(cè)度K值即表示濾波的分量圖像和原始圖像分量的相似程度，其定義為

整幅圖像的均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR值和相關(guān)測(cè)度K值取R、G、B三通道的均值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)安排

實(shí)驗(yàn)選用的彩色圖像來(lái)源于參考文獻(xiàn)［10］，其特征為8位無(wú)符號(hào)整形RGB彩色圖像，TIFF格式，尺寸1197x1197，如圖3（a）所示。實(shí)驗(yàn)分成兩步:對(duì)輸入的RGB圖像加入不同的噪聲類(lèi)型，高斯噪聲和椒鹽噪聲，比較采用DFT平滑濾波算法對(duì)兩種常用噪聲的濾波效果；將輸入的RGB圖像轉(zhuǎn)化為不同的彩色空間，包括NTSC、HSV、HSI、YCbCr、CMY模型，采用DFT平滑濾波，比較對(duì)不同彩色空間圖像的濾波效果。其流程如圖2所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)圖3（a）加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲，效果如圖3（b）所示，并采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖3（c）所示；對(duì)該圖加入噪聲密度為0.05的椒鹽噪聲，效果如圖3（d）所示，同樣也采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖3（e）所示。

圖3 DFT平滑濾波對(duì)加躁彩色圖像的濾波效果

從圖3可看出:DFT平滑濾波算法很好的消除了給RGB圖像加入的高斯噪聲和椒鹽噪聲，其結(jié)果均能較為清晰的看到圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，獲得了較好的平滑濾波效果，表1和表2的數(shù)據(jù)更加精確地表明了這一直觀判斷。

從表1和表2可看出:使用DFT平滑濾波算法對(duì)圖3（a）平滑之后，圖像及其分量的峰值信噪比PSNR值和相關(guān)測(cè)度K值均明顯的增大，說(shuō)明該算法對(duì)高斯噪聲和椒鹽噪聲均具有良好的抑制作用；使用該算法對(duì)圖3（a）平滑之后，圖像的均方誤差MSE值略高于加躁圖像的MSE值，說(shuō)明采用DFT平滑濾波算法對(duì)圖像進(jìn)行平滑，其過(guò)程付出了一定的細(xì)節(jié)模糊代價(jià)。

表1 對(duì)高斯噪聲平滑結(jié)果的評(píng)價(jià)參數(shù)比較

表2 對(duì)椒鹽噪聲平滑結(jié)果的評(píng)價(jià)參數(shù)比較

將圖3（a）轉(zhuǎn)化成NTSC、HSV、HSI、YCbCr、CMY模型，分別采用DFT平滑濾波，平滑結(jié)果如圖4所示。

圖4 DFT平滑濾波算法對(duì)不同彩色空間模型的濾波效果

對(duì)比圖3（a）和圖4（a）－（f），可看出:DFT平滑濾波算法適用于對(duì)RGB、NTSC、HSV、HSI彩色圖像的平滑，而對(duì)YCbCr、CMY圖像的平滑效果很差；DFT平滑濾波算法對(duì)HSV、HSI、YCbCr和CMY彩色圖像進(jìn)行平滑濾波，會(huì)產(chǎn)生無(wú)意義的顏色，比如圖4（c）和（d）中花雜的頂部出現(xiàn)了綠色邊緣，而圖4（e）和（f）表現(xiàn)的更為明顯，這是由于對(duì)HSV、HSI、YCbCr和CMY圖像的所有分量進(jìn)行DFT頻域?yàn)V波，改變了相關(guān)分量間的相對(duì)關(guān)系，從而使平滑圖像產(chǎn)生了無(wú)意義的顏色。對(duì)HSV和HSI彩色圖像使用DFT平滑濾波算法，局部雖會(huì)產(chǎn)生無(wú)意義的顏色，但根據(jù)人眼視覺(jué)特性，對(duì)彩色圖像的細(xì)節(jié)分辯能力不強(qiáng)，遠(yuǎn)低于對(duì)亮度細(xì)節(jié)的分辯能力，即所謂的彩色細(xì)節(jié)失明［12］，DFT平滑濾波算法也可作為平滑HSV和HSI圖像的一種方法。

圖4（c）－（f）在排版中轉(zhuǎn)為灰度圖像，不能反映采用文中濾波算法對(duì)HSV、HSI、YCbCr和CMY圖像進(jìn)行平滑濾波之后的顏色變化，讀者可自行運(yùn)行程序進(jìn)行驗(yàn)證。

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)實(shí)驗(yàn)可知，采用DFT平滑濾波算法對(duì)加入高斯噪聲和椒鹽噪聲的彩色圖像均具有良好的濾波效果，其適用于RGB、NTSC、HSV、HSI彩色空間模型圖像的平滑濾波。

本文針對(duì)彩色圖像的平滑濾波問(wèn)題，提出了一種新的平滑濾波算法。傳統(tǒng)的濾波算法基本上都是針對(duì)灰度圖像的，而對(duì)彩色圖像平滑濾波的方法通常限于采用線性空間濾波器或轉(zhuǎn)換至其他的彩色空間模型進(jìn)行平滑處理，本文利用DFT變換實(shí)現(xiàn)了基于頻域?yàn)V波方法對(duì)彩色圖像的平滑濾波，并且對(duì)該算法的去噪效果進(jìn)行了分析，明確了其對(duì)彩色空間模型的適用范圍，對(duì)豐富彩色圖像平滑濾波的方法具有重要的促進(jìn)作用。

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