萬詩敏

(天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

基礎(chǔ)學(xué)科

L-fuzzy拓?fù)淇臻g的可數(shù)強(qiáng)F緊性理論研究

萬詩敏

(天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384)

利用α?遠(yuǎn)域族的工具，在L?fuzzy拓?fù)淇臻g中引進(jìn)可數(shù)強(qiáng)F緊性，研究了可數(shù)強(qiáng)F緊性的刻劃問題．證明了可數(shù)強(qiáng)F緊性是“L?好的推廣”、對(duì)閉子集遺傳以及是F完備映射的逆不變量，同時(shí)，系統(tǒng)地研究了可數(shù)強(qiáng)F緊性的一些特征性質(zhì)．

L?fuzzy拓?fù)淇臻g；α?遠(yuǎn)域族；可數(shù)強(qiáng)F緊性；γ?復(fù)蓋；L?好的推廣；α?ω聚點(diǎn)

緊性是拓?fù)淇臻g中最重要的一種拓?fù)湫再|(zhì)，1968年，C.L.Chang 以L.A.Zadeh的模糊集理論為基礎(chǔ)，在文獻(xiàn)[1]中首先引入了L?fuzzy拓?fù)淇臻g的緊性概念以來，許多學(xué)者就對(duì)模糊緊性理論進(jìn)行了一系列的研究．由于L?fuzzy拓?fù)淇臻g理論多了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)，其緊性遠(yuǎn)比一般拓?fù)鋵W(xué)中緊性復(fù)雜，而且表現(xiàn)形式也是多種多樣、彼此各異的．如：良緊性、可數(shù)緊性、仿緊性、實(shí)緊性和配緊性等[2-9]．

經(jīng)過40多年的不斷發(fā)展，L?fuzzy拓?fù)淇臻g模糊集理論已經(jīng)得到了非常充分的發(fā)展與完善，模糊緊性理論研究也取得了許多創(chuàng)新的結(jié)果[10-14]．例如，艾為鴻在文獻(xiàn)[15]中，基于強(qiáng)F緊集提出了六種局部強(qiáng)F緊性，在文獻(xiàn)[16]中引入了可數(shù)強(qiáng)F緊空間及可數(shù)F緊空間．

基于上述的研究成果，本文從層次結(jié)構(gòu)出發(fā)，以α?遠(yuǎn)域族、α?聚點(diǎn)、α?ω聚點(diǎn)為工具，在L?fuzzy拓?fù)淇臻g中(以下簡稱為LF拓?fù)淇臻g)引進(jìn)可數(shù)強(qiáng)F緊性的概念，同時(shí)研究解決了可數(shù)強(qiáng)F緊性的刻劃與性質(zhì)問題．證明了它是“L?好的推廣”、對(duì)閉子集遺傳以及是F完備映射的逆不變量，同時(shí)，系統(tǒng)地研究討論了可數(shù)強(qiáng)F緊性的一些特征性質(zhì)．

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，L表示Fuzzy格，即具有逆序?qū)蠈?duì)應(yīng)“′”的完全分配格[17]．(L,∨,∧,′)是完全分配的De Morgan代數(shù)．X是非空分明集合，X到L的映射就是L?fuzzy集，其全體記作LX．LX中最小元和最大元分別記為0X和1X．

L中元素a稱為素元，如果a≥b∧c蘊(yùn)含a≥b或a≥c．L中元素a稱為余素元，如果a′是素元[18]．中非零余素元之集記為M(L)．LX中非零余素元之集記為M(LX)，當(dāng)L為Fuzzy格時(shí)，非零余素元也稱為分子，M(LX)中每個(gè)元素稱為點(diǎn)[19-20]．本文中所討論的不分明映射f∶LX→LY均為由某個(gè)分明映射f∶X→Y所誘導(dǎo)的L值Zadeh型函數(shù)．若無其它特殊說明，本文中其他所使用的概念和符號(hào)均取自文獻(xiàn)[3]．

定義1設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，Φ?δ′，α∈M(L)．則

(1) 稱Φ為A的α?遠(yuǎn)域族，記作∧Φ＜A(α)，如果對(duì)A中的每個(gè)高度為α的分子xα(xα≤A)，有P∈Φ，使得P∈η(xα)(η(xα)表示分子xα的全體閉遠(yuǎn)域之集)；

(2) 稱Φ為A的α??遠(yuǎn)域族，記作∧Φ?A(α)，如果存在γ∈β?(α)，使得∧Φ＜A(γ)，(其中β?(α)=M(L)∩β (α)，β(α)是α的極小集)．

當(dāng)A中確有高度等于α的點(diǎn)時(shí)，A的α?遠(yuǎn)域族和α??遠(yuǎn)域族都是非空閉集族．

定義2[21]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，μ?δ，γ是L的素元，且γ＜1．則

(1) 稱μ為(LX,)δ的γ?復(fù)蓋，或簡稱μ為γ?復(fù)蓋，如果對(duì)任意x∈X，有U∈μ，使

(2) 設(shè)α?(γ)是γ的異于1的元素組成的極大集，稱μ為γ+?復(fù)蓋，如果存在s∈α?(γ)，使μ是s?復(fù)蓋．

定義3設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)．則

(1) 稱A為良緊集，如果對(duì)A的任意α?遠(yuǎn)域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ構(gòu)成A的α??遠(yuǎn)域族(這時(shí)也稱Ψ是Φ的關(guān)于A的有限子α??遠(yuǎn)域族)．稱(LX,δ)為良緊空間，如果當(dāng)最大的L?fuzzy集1X是良緊集．

(2) 稱A為強(qiáng)F緊集，如果對(duì)A的任意α?遠(yuǎn)域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ構(gòu)成A的α?遠(yuǎn)域族．稱(LX,δ)為強(qiáng)F緊空間，如果當(dāng)最大的L?fuzzy集1X是強(qiáng)F緊集．

(3) 稱A為F緊集，如果對(duì)A的任意α??遠(yuǎn)域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ構(gòu)成A的α??遠(yuǎn)域族．稱(LX,δ)為F緊空間，如果當(dāng)最大的L?fuzzy集1X是F緊集．

定義4[22]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)．則連續(xù)映射f∶(LX,δ)→(LX,μ)稱作L?不分明完備映射，簡稱F完備映射，如果f為閉映射，且對(duì)?e∈M?(LX)，f?1(e)為(LX,δ)中的良緊集．

2 可數(shù)強(qiáng)F緊性的刻劃與理論

定義5設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)．如果對(duì)A的任意可數(shù)α?遠(yuǎn)域族Φ，Φ都有有限子族Ψ，使得Ψ構(gòu)成A的α?遠(yuǎn)域族，則稱A為可數(shù)強(qiáng)F緊集．如果當(dāng)最大的L?fuzzy集1X是可數(shù)強(qiáng)F緊集時(shí)，則稱(LX,δ)為可數(shù)強(qiáng)F緊空間．

定義6[23]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)，xλ∈M(LX)．

(1) 稱xλ為A的α?ω聚點(diǎn)，如果對(duì)于xλ的任一閉遠(yuǎn)域P，存在A中高為α的無限個(gè)分子以P為遠(yuǎn)域．

(2) 稱xλ為A的α?聚點(diǎn)，如果對(duì)于xλ的任一閉遠(yuǎn)域P，存在A中高為α的承點(diǎn)異于x的分子以P為遠(yuǎn)域．

由上述定義以及文獻(xiàn)[3]，可以得到下面的結(jié)論．

定理 1 良緊性?強(qiáng)F緊性?F緊性．

定理2[24]設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)，則A是可數(shù)強(qiáng)F緊集的當(dāng)且僅當(dāng)?α∈M(L)，A中每個(gè)常值α?序列皆有高為α的屬于α的聚點(diǎn)．

定理2是一般拓?fù)鋵W(xué)中相應(yīng)定理的推廣，它的證明源于文獻(xiàn)[24]．

定理3設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)，則A是可數(shù)強(qiáng)F緊集的當(dāng)且僅當(dāng)?α∈M(L)，A中每個(gè)α?可數(shù)無限集皆有高為α的α?ω聚點(diǎn)．

證明：設(shè)A是可數(shù)強(qiáng)F緊集，α∈M(L)，B是A中的α?可數(shù)無限集，則可取出B中的一個(gè)常值α?序列{xαk}k∈N，使得{xk|k∈N}是一個(gè)無限集．由A是可數(shù)強(qiáng)F緊集及定理2知，其有高為α的屬于A的聚點(diǎn)xα，可見xα是B的α?ω聚點(diǎn)．

反之，設(shè)α∈M(L)且S={S(n)|n∈N}是A中的常值α?序列．若S的承點(diǎn)僅有有限個(gè)，則S中必有承點(diǎn)相同的一個(gè)子列，此時(shí)S顯然有高為α的屬于A的聚點(diǎn)．若S的承點(diǎn)有無限多個(gè)，令B=n∨∈NS(n)，則B是A中的α?可數(shù)無限集．設(shè)xα是B在A中的α?ω聚點(diǎn)，則可知xα是S的聚點(diǎn)．于是由定理2知A是可數(shù)強(qiáng)F緊集．

定理 4 設(shè)(LX,δ)是T1的LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)，xλ∈M(LX)，則xλ是A的α?聚點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)xλ是A的α?ω聚點(diǎn)．

證明：只需證明充分性．設(shè)xλ是A的α?聚點(diǎn)，則對(duì)于xλ的任一閉遠(yuǎn)域P，存在，使得以P為遠(yuǎn)域．由(LX,δ)的T1性知是xλ的閉遠(yuǎn)域．進(jìn)而存在，使得以為遠(yuǎn)域．顯然x1≠x2，…，如此下去，B中有無數(shù)個(gè)高為α的分子以P為遠(yuǎn)域．所以xλ是A的α?ω聚點(diǎn).

由定理3和定理4可得下面定理．

定理 5[24]設(shè)(LX,δ)是T1的LF拓?fù)淇臻g，A∈LX，α∈M(L)，則A是可數(shù)強(qiáng)F緊集當(dāng)且僅當(dāng)?α∈M(L)，A中每個(gè)α?可數(shù)無限集皆有高為α的α?聚點(diǎn)．

3 可數(shù)強(qiáng)F緊性的特征性質(zhì)研究

定理 6 設(shè)(LX,δ)是LF拓?fù)淇臻g，A，B∈LX，如果A是可數(shù)強(qiáng)F緊集，B∈δ′，則A∧B是可數(shù)強(qiáng)F緊集．

證明：因?yàn)锳是可數(shù)強(qiáng)F緊集，且B∈δ′，設(shè)Φ為A∧B的任意可數(shù)α?遠(yuǎn)域族，則對(duì)于A中的任一分子xα，當(dāng)xα≤B 時(shí)，xα是A∧B中的分子．由定義1知，Φ中有xα的閉遠(yuǎn)域；當(dāng)時(shí)，則Φ∪{B}中的B就是xα的閉遠(yuǎn)域，所以則Φ∪{B}是A的α?遠(yuǎn)域族．注意到Φ可數(shù)，顯然Φ∪{B}也可數(shù)，則Φ∪{B}是A的可數(shù)α?遠(yuǎn)域族．又因?yàn)锳是可數(shù)強(qiáng)F緊集，則Φ∪{B}有有限子族Ψ構(gòu)成A的α?遠(yuǎn)域族．這時(shí)Ψ?{B}就是Φ的有限子族，并且是A∧B的α?遠(yuǎn)域族，所以由定義5知，A∧B是可數(shù)強(qiáng)F緊集．

推論1 LF拓?fù)淇臻g中的可數(shù)強(qiáng)F緊空間的任一閉子集可數(shù)強(qiáng)F緊性的，即LF拓?fù)淇臻g中的可數(shù)強(qiáng)F緊性具有對(duì)閉子集的遺傳性．

定理 7 LF拓?fù)淇臻g中的可數(shù)強(qiáng)F緊空間是F完備映射的逆不變量．即，設(shè)(LX,δ)與(LY,μ)是LF拓?fù)淇臻g，f∶(LX,δ)→(LY,μ)是閉的L值Zadeh型函數(shù)且為F完備映射(即?yα∈M(LX)，f?1(yα)是良緊集)，若B是(LY,μ)中的任一可數(shù)強(qiáng)F緊集，則f?1(B)是(LX,δ)中的可數(shù)強(qiáng)F緊集．

證明：?α∈M(L)，設(shè)Φ是f?1(B)中的任意可數(shù)α?遠(yuǎn)域族，?yα≤B，因?yàn)閒是F完備映射，則f?1(yα)≤f?1(B)，所以f?1(yα)是(LX,δ)中的良緊集，從而是可數(shù)強(qiáng)F緊集．因此，Φ是f?1(yα)的可數(shù)α?遠(yuǎn)域族，由定義5知，存在Φ的有限子族Φy，使得Φy成為f?1(yα)的α?遠(yuǎn)域族．因此，?P∈Φy，存在Q∈ηY(yα)使得P≤f?1(Q)，從而存在Qy∈ηY(yα)，使得∧Φy≤f?1(Qy)．

定理 8 LF拓?fù)淇臻g(LX,δ)是可數(shù)強(qiáng)F緊空間當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)可數(shù)γ?復(fù)蓋μ都有有限子族Ψ，使得Ψ是γ?復(fù)蓋(γ是異于1的素元)．

證明：(1)必要性．設(shè)LF拓?fù)淇臻g(LX,δ)是可數(shù)強(qiáng)F緊空間，μ是可數(shù)γ?復(fù)蓋，其中γ＜1且為素元．令Φ= μ′，則Φ是可數(shù)γ′?遠(yuǎn)域族，事實(shí)上，Φ是閉集族，且對(duì)?x∈X，有P=U′∈Φ使得即．因?yàn)棣檬钱愑?的素元，故γ′∈M(L)．由知，P∈η(xγ′)，這表明Φ是可數(shù)γ′?遠(yuǎn)域族，由極大集與極小集的關(guān)系知，因?yàn)長F拓?fù)淇臻g(LX,δ)是可數(shù)強(qiáng)F緊空間，μ有有限子族Ψ，使得Ψ′=Φ構(gòu)成γ′?遠(yuǎn)域族．這等價(jià)于Ψ構(gòu)成γ?復(fù)蓋．故μ有有限子族Ψ，使得Ψ是γ?復(fù)蓋．

(2) 充分性．設(shè)每個(gè)可數(shù)γ?復(fù)蓋都有有限子族構(gòu)成γ?復(fù)蓋，且Φ是任意可數(shù)α?遠(yuǎn)域族(α∈M(L))．令μ=Φ′且γ=α′，則μ是可數(shù)γ?復(fù)蓋．事實(shí)上，，存在P∈Φ使得，即，亦即，其中U=P′∈μ．由α是分子知，則γ是異于1的素元．這表明?x∈X，存在U∈μ，使得可見μ是 γ?復(fù)蓋，又由Φ可數(shù)知μ也可數(shù)．以Ψ記由μ的有限子族組成的γ?復(fù)蓋，令Ψ=μ′，則Ψ是Φ的有限子族．所以，Ψ是α?遠(yuǎn)域族，故LF拓?fù)淇臻g(LX,δ)是可數(shù)強(qiáng)F緊空間．

上述定理表明，LF拓?fù)淇臻g中的可數(shù)強(qiáng)F緊空間可以進(jìn)行復(fù)蓋式刻劃．下面定理指出，可數(shù)強(qiáng)F緊性是“L?好的推廣”．

定理 9 設(shè)(LX,ωL(τ))是由分明拓?fù)淇臻g(X,τ)拓?fù)渖傻腖F拓?fù)淇臻g，則(LX,ωL(τ))是可數(shù)強(qiáng)F緊空間當(dāng)且僅當(dāng)(X,τ)是可數(shù)緊空間．

證明：(1) 必要性．設(shè)μ是(X,τ)的任意可數(shù)開復(fù)蓋，?U∈μ，令PU=χU′則Φ={PU|U∈μ}是(LX,ωL(τ))的可數(shù)α?遠(yuǎn)域族(α∈M(L))．因?yàn)?LX,ωL(τ))是可數(shù)強(qiáng)F緊空間，所以Φ有有限子族Ψ={PU1,PU2,…,PUn}構(gòu)成α?遠(yuǎn)域族．這時(shí){U1, U2,…,Un}就是μ的有限子復(fù)蓋，所以(X,τ)是可數(shù)緊空間．

(2) 充分性．設(shè)Φ={P1, P2,…}是(LX,ωL(τ))的任意可數(shù)α?遠(yuǎn)域族設(shè)(α∈M(L))，?t∈{1,2,…}，令，則μ={Ut|t ∈{1,2,…}}是 (X,τ)的可數(shù)開復(fù)蓋．事實(shí)上，由Φ可數(shù)顯然推出μ可數(shù)．因?yàn)棣潦欠肿?，則α′異于1的素元．所以?Pt∈Φ，Pt是(LX,ωL(τ))中的閉集，，即Pt′是X上的L值下半連續(xù)函數(shù)．由文獻(xiàn)[3]定理2.11.3知，即?t ∈{1,2,…}，Ut∈τ．又?x∈X，xα是(LX,ωL(τ))中的一分子，則有Pt∈Φ使得Pt∈η(xα)，即所以x∈Ut．這就證明了μ是(X,τ)的開復(fù)蓋．因?yàn)?X,τ)是可數(shù)緊空間，所以μ有有限子復(fù)蓋，這時(shí)是Φ的有限子族，同時(shí)是(LX,ωL(τ))的α?遠(yuǎn)域族，所以(LX,ωL(τ))是可數(shù)強(qiáng)F緊空間．

推論 2 LF拓?fù)淇臻g中的可數(shù)強(qiáng)F緊性是“L?好的推廣”．

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The Countable Strong F Compactness Theory Research of L-fuzzy Topological Space

WAN Shi-min
(School of Science，Tianjin Chengjian University，Tianjin 300384，China)

This paper utilizes α-remote neighborhood family of tools，introduces countable strong F compactness in L-fuzzy topological space，and researches the characterizations of countable strong F compactness. It is proved that countable strong F compactness is the “L-good extension”，hereditary with closed subsets and is an inverse invariant of L-fuzzy perfect mappings. Meanwhile，the author systematically studies some characteristic properties of countable strong F compactness.

L-fuzzy topological space；α-remote neighborhood；countable strong F compactness；γ-cove；L-good extension；α-ω accumulation point

0189

A

2095-719X(2014)03-0225-04

2014-03-24；

2014-04-28．

天津市教委重點(diǎn)課題(C04-0832)；天津城建大學(xué)教育教學(xué)改革與研究項(xiàng)目(13-JG-1227)

萬詩敏（1977—），男，安徽潛山人，天津城建大學(xué)副教授，碩士.