帶有通信噪聲的隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡的H∞控制

韋慶陽， 樊春霞， 顧 瑜

南京郵電大學自動化學院，南京210003

近年來，復雜動態(tài)網(wǎng)絡成為各個領(lǐng)域的研究熱點[1-6]，其控制與同步問題也得到了很多關(guān)注.由于網(wǎng)絡本身的很多元素，如網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)變化、時間延遲、通信噪聲等，復雜網(wǎng)絡的同步控制面臨諸多具體問題[7-8].

復雜動態(tài)網(wǎng)絡節(jié)點之間進行信息傳輸，不可避免地受到信道噪聲干擾，且隨機發(fā)生傳輸時延.文獻[9]考慮存在依賴于系統(tǒng)狀態(tài)且滿足伯努利分布的白噪聲干擾情況下，時滯離散復雜動態(tài)網(wǎng)絡的同步控制問題.文獻[10]針對傳感器存在隨機時延和隨機飽和的情況，研究了復雜網(wǎng)絡的狀態(tài)估計問題.文獻[11]針對非線性節(jié)點和有隨機干擾的延遲復雜網(wǎng)絡，采用混合自適應方法和脈沖控制方法實現(xiàn)了隨機同步.文獻[12]實現(xiàn)了針對帶有隨機耦合強度變化和不確定性節(jié)點延遲的馬爾科夫耦合神經(jīng)網(wǎng)絡的同步控制.文獻[13]研究了隨機切換耦合結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡的同步問題.文獻[14]提出了一種節(jié)點狀態(tài)信息通信時隨機發(fā)生延遲的復雜動態(tài)網(wǎng)絡模型，并給出了同步控制器存在準則，由此可見，隨機因素作為復雜網(wǎng)絡研究中不可忽略的因素，逐步成為該領(lǐng)域的熱點問題.

文獻[14]不但提出了隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡的模型，而且給出了該網(wǎng)絡模型同步控制器的存在準則，但沒有考慮節(jié)點間在傳輸狀態(tài)信息時存在的信道噪聲.文獻[5]利用牽制控制的方法，以最少數(shù)量的控制器獲得了節(jié)點受到噪聲干擾的線性耦合隨機神經(jīng)網(wǎng)絡的同步.該網(wǎng)絡中的噪聲由布朗運動描述，且依賴于系統(tǒng)狀態(tài).每個節(jié)點噪聲的強度與該節(jié)點狀態(tài)量呈現(xiàn)出某種函數(shù)關(guān)系.對于這種噪聲，文獻[5]采用伊藤積分的方法來處理.

本文研究具有隨機時延和信道噪聲的復雜動態(tài)網(wǎng)絡，所考慮的信道噪聲不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)，采用H∞控制方法來抑制噪聲對網(wǎng)絡穩(wěn)定性的影響.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、隨機分析方法與H∞控制方法，實現(xiàn)了一個帶有信道噪聲的隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡的控制.將復雜動態(tài)網(wǎng)絡的節(jié)點信息在傳輸過程中的時延描述成Markov鏈形式，建立了隨機時延耦合的復雜動態(tài)網(wǎng)絡H∞控制器設計準則.最后，以Lorenz混沌系統(tǒng)作為節(jié)點動力學，構(gòu)造了復雜動態(tài)網(wǎng)絡并進行數(shù)值仿真.仿真結(jié)果表明，本文所提出的控制器能夠?qū)⒕哂须S機時延的復雜動態(tài)網(wǎng)絡漸近穩(wěn)定在平衡點，且滿足一定的H∞性能指標.

1 建立網(wǎng)絡模型和設計控制器

考慮包含N個節(jié)點的隨機時延耦合的復雜動態(tài)網(wǎng)絡

式中，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),···,xin(t))T∈Rn是節(jié)點i的狀態(tài)向量；f:Rn→Rn為非線性平滑向量值函數(shù)，˙xi(t)=f(xi(t))為節(jié)點動態(tài)方程，A為任意兩個節(jié)點之間的內(nèi)部耦合矩陣，ui(t)為控制輸入，τ(t)為網(wǎng)絡耦合的延遲時間，C=(cij)N×N為復雜網(wǎng)絡的耦合拓撲矩陣，wj(t)∈L2[t0,∞)是節(jié)點j的狀態(tài)xj傳輸?shù)焦?jié)點i時受到的信道噪聲干擾，B∈Rn×n為一個常數(shù)矩陣，決定了通信噪聲wj(t)的強度，δ(t)∈[0,1]表示是否發(fā)生時延的隨機變量.如果第i個節(jié)點與第j(i/=j)個節(jié)點有連接，則cij＞0；否則，cij=0(i/=j)，且cii=0(i=1,2,···,N).若復雜網(wǎng)絡中沒有孤立的簇，則C對稱不可約[17].δ(t)=1表示一個節(jié)點的鄰居節(jié)點狀態(tài)向量xj(t)在傳輸?shù)皆摴?jié)點的過程中沒有發(fā)生時間延遲，δ(t)=0表示一個節(jié)點的鄰居節(jié)點狀態(tài)向量xj(t)傳輸?shù)皆摴?jié)點的過程中會發(fā)生時間延遲.δ(t)是一個Markov鏈，且滿足如下的指數(shù)分布變換[18-19]：

注1 在復雜網(wǎng)絡(1)中，節(jié)點i的信息不通過網(wǎng)絡傳遞到該節(jié)點，因此不用考慮信息傳輸時延以及信道噪聲；在文獻[14]提出的隨機時延耦合復雜動態(tài)網(wǎng)絡模型中，節(jié)點i的信息通過網(wǎng)絡傳遞到該節(jié)點，因而節(jié)點自身信息耦合時也發(fā)生了時延.從工程實現(xiàn)角度來講，節(jié)點i的信息可以直接傳遞該節(jié)點，而沒有必要通過網(wǎng)絡傳遞，故不增加網(wǎng)絡的通信負載.從這個意義上來說，復雜網(wǎng)絡(1)比文獻[14]中提出的網(wǎng)絡模型更符合工程實際.

注2 復雜網(wǎng)絡(1)考慮的是信息在節(jié)點之間的傳輸時延以及信道噪聲對網(wǎng)絡穩(wěn)定性的影響，文獻[5,10-12]中的節(jié)點動力學是時延系統(tǒng)，而對于信息在網(wǎng)絡上的傳輸過程沒有給予更多的關(guān)注.

假設1 復雜網(wǎng)絡(1)中的時延τ(t)滿足

式中，τ1、τ2、h均為正數(shù)，h為延遲時間變化率的界.假設2 非線性函數(shù)f(·)滿足Lipschitz條件

式中，x和y表示任意時變n維向量，Li是一個正數(shù)，且i=1,2,···,n，記作L=diag{L1,L2,···,Ln}.

采用反饋控制的原理設計控制器

式中，控制器增益ki是待確定的.將式(6)代入式(1)，則得到被控網(wǎng)絡為

由假設2可得

定義1 若wi(t)=0，且滿足E(˙V(t))≤0，則被控復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)在均方意義下漸進穩(wěn)定.

本文旨在給出控制器(5)的設計準則，使得復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)滿足以下2個條件：

1)當wi(t)=0時，復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)是均方意義下的漸近穩(wěn)定.

2)當wi(t)/=0(i=1,2,···,N)時，在零初始條件下，被控動態(tài)網(wǎng)絡(6)的狀態(tài)滿足

式中，r為給定的標量，且r＞0.本文需要引入引理1和2.

引理1[20]對于任意兩個向量x,y∈Rn和標量ε＞0，不等式2xTy≤εxTx+ε-1yTy成立.

引理2[21]矩陣Schur補引理.線性矩陣不等式

式中，Q(x)=QT(x)、R(x)=RT(x)和S(x)映射于x，等價于

2 復雜動態(tài)網(wǎng)絡的H∞控制

下面研究復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)的H∞控制問題.

定理1 如果存在標量ε＞0，對稱正定矩陣P和Q，滿足矩陣不等式

證明 取Lyapunov-Krasovskii泛函為

式中，P和Q均為對稱正定矩陣.對V(t)求導，可得

根據(jù)引理1和假設2可得

令Z(t)=(x1(t)T,···,xN(t)T)T，可得式(16)～(24)

因此可得

式中，U=I3N+(˙τ(t)-1)(IN?Q)對式(25)的兩邊求期望值，因為

所以

式中，U1=I3N+(H-1)(IN?Q)

利用引理2對式(27)進行變換，可得式(11)和(12).當且僅當M1＜0，式(12)成立.

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，當wi(t)=0時，在控制器(5)作用下，被控網(wǎng)絡(6)是均方意義下的漸近穩(wěn)定.

定理2 給定H∞性能指標r＞0.如果存在標量ε＞0和對稱正定矩陣P、Q，滿足矩陣不等式

式中，M2=(C?(PAB))

則帶有通信噪聲的隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡(6)是均方漸近穩(wěn)定的，且對于所有非零點，wi(t)(i=1,2,···,N)能滿足H∞性能指標(8).

那么，考慮式(16)～(24)和式(29)可得

考慮時間t服從時間[t0,∞)，將式(30)兩邊積分可得

在零初始條件下，可得V(t0)=0和V(∞)≤0，

注3可以用MATLAB軟件的YALMIP工具箱求解控制器設計的準則線性矩陣不等式(11)和(12).

3 數(shù)值仿真

在仿真中，建立一個包含10個節(jié)點的隨機時延耦合復雜網(wǎng)絡，其中每個節(jié)點采用Lorenz系統(tǒng).Lorenz系統(tǒng)的表達式為

式中，a、b、c均為參數(shù).當a=10，b=8/3，c=28時，該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌特性.在被控網(wǎng)絡式(6)中，選定性能指標r=0.5，δ(t)是滿足式(2)的馬爾科夫鏈

外部耦合矩陣為

在仿真中，耦合延遲時間設定為函數(shù)τ(t)=0.3+0.1sin t，且延遲時間函數(shù)導數(shù)的界h=0.1.本文選擇高斯噪聲作為通信噪聲，則網(wǎng)絡節(jié)點的初始狀態(tài)為

當控制器的增益ki=50,i=1,···,10,=0.5時，求解線性矩陣不等式=0.5可得

仿真結(jié)果如圖1所示.由圖1可以看出，復雜網(wǎng)絡(1)在控制器(5)的作用下所有節(jié)點的狀態(tài)漸近穩(wěn)定，滿足r=0.5的性能指標.

圖1 當=0.5時，受控復雜動態(tài)網(wǎng)絡節(jié)點的狀態(tài)xi1、x i2、x i3Figure 1 State x i1、x i2、x i3 of controlled complex networks whenδ=0.5

4 結(jié)語

本文研究了信道噪聲環(huán)境下隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡的控制問題.考慮到節(jié)點之間信息傳輸時不可避免地受到信道噪聲的干擾以及傳輸時延的隨機發(fā)生，設計了狀態(tài)反饋控制器.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論、隨機分析方法和H∞控制方法，得到了信道噪聲環(huán)境下的隨機時延耦合復雜動態(tài)網(wǎng)絡控制器設計準則.最后，以Lorenz混沌系統(tǒng)作為節(jié)點，構(gòu)建了復雜動態(tài)網(wǎng)絡進行數(shù)值仿真.仿真結(jié)果表明，本文所設計的狀態(tài)反饋控制器能夠使帶有信道噪聲的隨機時延復雜動態(tài)網(wǎng)絡漸近穩(wěn)定，并且滿足給定的H∞性能指標.

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