湍流風(fēng)速譜有效模態(tài)的POD分析法

劉 哲

（汕頭大學(xué) 工學(xué)院，廣東 汕頭515063）

塔科馬窄橋（Tacoma Narrows Bridge）的事故引起了人們對橋梁氣動彈性失穩(wěn)現(xiàn)象的研究，特別是隨著材料和技術(shù)的進(jìn)步，大跨度橋梁的不斷出現(xiàn)使得其更容易受到強(qiáng)風(fēng)作用而產(chǎn)生如顫振、抖振等橋梁氣動彈性現(xiàn)象。研究人員對隨空間和時間變化的非穩(wěn)定風(fēng)荷載引起的抖振現(xiàn)象在理論方面進(jìn)行了較為廣泛的研究，其中在單模態(tài)的抖振響應(yīng)理論方面，Liepmann首先提出了對抖振現(xiàn)象研究；隨后Daveport［1］利用統(tǒng)計方法研究了線性結(jié)構(gòu)的顫振響應(yīng)；在多模態(tài)氣動彈性耦合模型方面Scanlan［2］提出了多模態(tài)考慮氣動彈性的耦合抖振分析理論方法；Jain等［3］則提出了考慮了顫振導(dǎo)數(shù)對抖振的影響；為了減少數(shù)值模擬過程中的計算量，Chen等［4］基于上述方從頻域和時域角度的提出了基于狀態(tài)空間的抖振簡化算法，并推導(dǎo)了氣動導(dǎo)納的特征函數(shù)及其對抖振的影響；Costa等［5］對湍流風(fēng)場與橋梁的相互作用進(jìn)行了時域分析；Caracoglia［6］對抖振分析中的結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣動參數(shù)的不確定性進(jìn)行了討論；Seo等［7］探討了由氣動彈性荷載引起的誤差等因素影響抖振分析的原因；Karmakar等［8］則探討了非高斯風(fēng)速場引起的橋梁抖振響應(yīng)；Hu等［9］研究了由臺風(fēng)引起的大跨度橋梁非穩(wěn)定抖振響應(yīng)。劉婷婷等［10－11］采用計算流體力學(xué)方法改進(jìn)了大跨度橋梁抖振力計算方法；馬存明等［12］以某大跨懸索橋流線形箱橋梁斷面為研究對象，通過風(fēng)洞試驗，用測壓法對流線形箱梁斷面在不同紊流場中的氣動力進(jìn)行了測量，得出適合流線形箱梁斷面的三維氣動導(dǎo)納公式和抖振力沿跨向的相干函數(shù)；郭增偉等［13］利用概率統(tǒng)計方法探討了風(fēng)致振動內(nèi)力和位移之間存在的可解耦的線性關(guān)系，建立了橋梁風(fēng)致振動內(nèi)力和位移之間的多元線性回歸模型；李利孝等［14］研究了目前被動湍流風(fēng)洞試驗中無法準(zhǔn)確模擬的湍流積分尺度對橋梁結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)的影響；黃東梅等［15］對高層建筑風(fēng)荷載采用雙模態(tài)轉(zhuǎn)換法即聯(lián)合運(yùn)用經(jīng)典模態(tài)分析法和本征正交分解法（POD）來進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)研究。

上述研究通常假定陣風(fēng)在所有頻率范圍內(nèi)對橋梁的抖振產(chǎn)生影響，然而隨著對陣風(fēng)特性了解的深入，是否有可能在所有頻率范圍內(nèi)激發(fā)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)是值得探討的；同時由于陣風(fēng)場具有時間、空間變化特點，如何在頻率和空間范圍內(nèi)表征此荷載場的特點也是值得關(guān)注的。本征正交分解方法能夠處理上述陣風(fēng)湍流場的頻率和空間變化特性，并通過對風(fēng)速譜密度函數(shù)的分解來考慮有效湍流對橋梁抖振的貢獻(xiàn)。因此本文建立了基于POD方法的陣風(fēng)場有效湍流強(qiáng)度及特征值的分解方法，通過某斜拉橋的算例分析驗證了該方法的有效性，研究發(fā)現(xiàn)該方法可以對引起橋梁抖振的陣風(fēng)場進(jìn)行敏感性分析，并確定激發(fā)橋梁抖振的主要陣風(fēng)模態(tài)及有效湍流。

1 理論模型

橋面板在湍流風(fēng)場的運(yùn)動可以用圖1所示的二維簡化圖表示，其中p為順風(fēng)向位移，h為豎直或垂直方向位移，α為風(fēng)速與橋梁斷面的攻角，U 為風(fēng)速，而U通常又可以分解成為圖2所示的順風(fēng)向（u）和豎直向（w）隨時間變化的分量。

根據(jù)準(zhǔn)定常氣動理論［2］，橋梁的抖振力通常可以表示為

其中：ρ為空氣密度；B為橋面寬度；CL、CD和CM分別是橋面板的升力、阻力和扭轉(zhuǎn)系數(shù)，而C′L、C′D和C′M是與攻角α有關(guān)的升力、阻力和扭力系數(shù)。

圖1 橋面位移方向分量

圖2 風(fēng)速分量方向

根據(jù)經(jīng)典結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論，橋梁系統(tǒng)可以假定為具有經(jīng)典阻尼且模態(tài)互不耦合的動力系統(tǒng)，因此其動力響應(yīng)方程可以表示成為具有k階模態(tài)響應(yīng)qk（t）的解耦方程［2］：

其中：ξk和nk分別是k階廣義阻尼比和頻率（k＝1，2，…，m，m 為 結(jié)構(gòu)模態(tài)總數(shù)）；為模態(tài)響應(yīng)矩陣，Q（t）為外力矩陣，這里僅代表由湍流風(fēng)引起的抖振力（Fb），聯(lián)立式（1）～（4）可得

在頻域內(nèi)對上式進(jìn)行傅里葉變換，式（5）可以表示為

其中：Cu和Cw分別表示順風(fēng)向和垂直向的氣動系數(shù)矩陣；Hk（n）復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)，可以寫成

2 模型參數(shù)

1）基本參數(shù)

采用圖3所示的斜拉橋有限元模型為計算實例，該橋全長936m，其中與橋面相關(guān)的升力、阻力和扭轉(zhuǎn)系數(shù)在攻角為零的情況下分別為CD＝0.099，CL＝－0.045，CM＝0.016，C′D＝－0.173，C′L＝0.335，C′M＝0.159，結(jié)構(gòu)自振周期如表1所示，結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)的主要振動模態(tài)如圖4所示，從圖4可以看出隨著頻率的增加結(jié)構(gòu)的振型更加復(fù)雜。

圖3 某斜拉橋有限元模型

表1 橋梁前30階頻率

2）風(fēng)速密度譜函數(shù)

為了反映橋面的湍流風(fēng)場，本算例中用117個獨立的隨機(jī)過程模擬沿橋面中心線變化的水平和豎直湍流風(fēng)場，而風(fēng)速分量的功率譜密度函數(shù)（Power Spectrum Density Function，PSDF）可用式（10）表示，其變化情況見圖5，式（17）描述各隨機(jī)過程的相關(guān)性。

圖4 結(jié)構(gòu)前10階模態(tài)主要振型

圖5 風(fēng)速譜

其中：σε和Lε（M）分別為湍流分量ε（t）＝u（t）和w（t）的標(biāo)準(zhǔn)差和積分尺度r＝y(tǒng)，z和r＝y(tǒng)′，z′分別是位于橋面中軸線兩點M 和M′的坐標(biāo)；Crε為ε（t）沿著r的指數(shù)衰減系數(shù)，地面的粗超長度取z0＝0.015，平均風(fēng)速符合對數(shù)分布，其中的摩擦速度為u＊＝1.9m／s，其中σu＝5.13m／s，σw＝2.57m／s，Cyu＝Czu＝10和Czw＝3。

由于相關(guān)函數(shù)對風(fēng)速分量的模擬很重要，對于大跨度橋梁來說為了模擬主梁軸線各點的風(fēng)速需要較多的參考點，因此矩陣Sε（M，M′，n）通常呈現(xiàn)稀疏矩陣的特點，圖6表示了不同頻率下Svv（M，M′，n）的變化情況，可以很明顯的看出非對角線元素數(shù)值隨著頻率的增加下降的很快，因此可以表明在高頻狀態(tài)下這些值可以忽略以提高計算效率。

圖6 不同頻率下的PSD矩陣Svv（M，M′，n）

3 結(jié)果分析

1）基于POD方法的有效湍流研究

POD分解方法對風(fēng)速譜密度函數(shù)的進(jìn)行分解，圖7表示了順風(fēng)向和橫風(fēng)向湍流分量的功率譜密度函數(shù)矩陣的前4階特征值和特征向量，可以看出在低頻部分第1階特征值要大于高階特征值，隨著頻率的增加特征值趨于一致。

圖7 湍流分量的風(fēng)速譜特征值及特征向量

圖7（c）、（d）顯示了順風(fēng)向和橫風(fēng)向湍流分量的前4階特征向量的變化情況，可以發(fā)現(xiàn)在頻率f＞0.3Hz范圍內(nèi)模態(tài)并沒有對相關(guān)的頻率產(chǎn)生影響，當(dāng)頻率超過0.3Hz后形狀趨于一致。

圖8表示了位于橋梁跨中的根據(jù)式（8）～（9）進(jìn)行重構(gòu)的順風(fēng)向和橫風(fēng)向湍流分量的PSDF，可以看出在低頻范圍內(nèi)，只需要少部分模態(tài)就可以表示湍流分量，而在高頻部分需要較多的POD模態(tài)才能較好的模擬湍流中的簡諧部分，同時還可看出豎向湍流分量的構(gòu)成要比順風(fēng)向的分量慢，其原因在于豎向分量含有的簡諧成分要多于水平分量。

圖8 位于橋面軸線中點處的湍流分量PSDF的模態(tài)截斷值

2）交叉模態(tài)參與系數(shù)

圖9顯示了根據(jù)式（13）～（14）得到的結(jié)構(gòu)前20階自振模態(tài)和前10階湍流分量模態(tài)之間的交叉模態(tài)參與系數(shù)，可以看出由于結(jié)構(gòu)模態(tài)與湍流模態(tài)的相似性，這種變化也可以在圖7、圖8中看出，使得所選取的結(jié)構(gòu)模態(tài)與湍流模態(tài)發(fā)生正交關(guān)系，因此矩陣Au（圖9（a））和Aw（圖9（b））的數(shù)值變得很小，僅有少量的湍流模態(tài)激勵了結(jié)構(gòu)的模態(tài)，特別是矩陣Aw的數(shù)值中很多都消失了，只有第1、2、3、5、8階垂直風(fēng)向的湍流分量模態(tài)激勵了結(jié)構(gòu)的振動，第8階和第10階激勵了結(jié)構(gòu)的第13階模態(tài)，但是對于矩陣Au，順風(fēng)向湍流模態(tài)激勵了結(jié)構(gòu)的不同自振模態(tài)，因此順風(fēng)向的湍流分量對結(jié)構(gòu)抖振作用是明顯的，通過分析還可以看出結(jié)構(gòu)的模態(tài)（即自振頻率和周期）與湍流風(fēng)場的模態(tài)是相關(guān)的，并非所有湍流模態(tài)對會激勵結(jié)構(gòu)模態(tài)。

圖9 湍流分量的交叉模態(tài)參與系數(shù)

3）有效湍流

如前所述湍流場可以利用有效的POD模態(tài)來進(jìn)行重構(gòu)，根據(jù)公式（7）本文取M＝10。圖10（a）、（b）分別表示了沿著橋梁長度方向的順風(fēng)向和橫風(fēng)向的湍流分量的PSDF，從圖中可以看出有效湍流的簡諧部分主要集中頻率較低的范圍內(nèi)，其中順風(fēng)向分量集中在n＜0.3Hz的范圍內(nèi)，而橫風(fēng)向分量集中在n＜0.5Hz的范圍內(nèi)，通過圖10還可以看出由湍流引起的橋梁抖振響應(yīng)主要發(fā)生在結(jié)構(gòu)自振頻率較小的范圍內(nèi)，同時在低頻范圍內(nèi)，有效湍流譜并不包含高頻簡諧量。

圖11表示了順風(fēng)向湍流風(fēng)量的有效值和實際值之間的三維相關(guān)函數(shù)，圖12則表示了平面的二維變化情況，發(fā)現(xiàn)實際湍流的相關(guān)函數(shù)隨著y－y′距離的增加減少的很快，在距離接近0（y＝y(tǒng)′）時，其值接近了接近對角線，而有效湍流的相關(guān)函數(shù)在y＝y(tǒng)′周圍的較寬的范圍內(nèi)相關(guān)函數(shù)為1，而在遠(yuǎn)離主對角線的范圍后為0，對于橫風(fēng)向的湍流強(qiáng)度有同樣的變化情況。

圖13顯示了隨主梁軸線位置變化和頻率變化的順風(fēng)和橫風(fēng)向有效湍流分量的相關(guān)函數(shù)變化情況，在跨中位置處，可以明顯的看出在很廣的頻域范圍內(nèi)有效湍流高度相關(guān)，其相關(guān)函數(shù)大于0.8。由于有效湍流是由大尺度渦產(chǎn)生和控制，因此其計算尺度即反映相關(guān)性的距離可以采用的更大的數(shù)值，并不會高估抖振的響應(yīng)。

圖10 有效湍流譜值

圖11 順風(fēng)向及垂直風(fēng)向湍流風(fēng)量的相關(guān)函數(shù)三維顯示（結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)）

4 結(jié)論

利用POD方法對橋梁湍流風(fēng)場的風(fēng)速譜密度函數(shù)進(jìn)行了分解，并結(jié)合某斜拉橋驗證了該方法的有效性。通過上述討論發(fā)現(xiàn)POD方法可以用來研究湍流風(fēng)速場的空間分布特性，風(fēng)速場的POD分解對有效湍流模態(tài)對橋梁結(jié)構(gòu)抖振響應(yīng)具有貢獻(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)只有少量湍流模態(tài)能夠激勵由非穩(wěn)定風(fēng)場引起的橋梁結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)，而對于高階湍流模態(tài)由于與結(jié)構(gòu)高階模態(tài)的正交性其影響降低，因此少量的POD模態(tài)足夠反映橋梁抖振現(xiàn)象。

圖12 順風(fēng)向及垂直風(fēng)向湍流風(fēng)量的相關(guān)函數(shù)二維顯示（結(jié)構(gòu)第1階模態(tài)）

圖13 沿橋面軸線方向有效湍流分量的相關(guān)函數(shù)

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