劉轉(zhuǎn)玲

（蘭州商學(xué)院信息工程學(xué)院，甘肅蘭州 730020）

引言

非線性偏微分方程是數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的分支，常被用來(lái)描述過(guò)程控制、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、化學(xué)循環(huán)系統(tǒng)和流行病學(xué)等問(wèn)題.非線性偏微分方程描述上述問(wèn)題能充分考慮到時(shí)間、空間、時(shí)間延遲及其他因素，所以更準(zhǔn)確地反映了現(xiàn)實(shí)情況.

Benjamin －Bona－ Mahony 在水波研究中提出了 BBM 方程［1，2］，之后發(fā)展為 mBBM［3］方程，這個(gè)方程是弱非線性色散介質(zhì)中長(zhǎng)波單向傳播的重要模型，因而，對(duì)于mBBM方程的深入研究［4］，特別是對(duì)于有效地?cái)?shù)值計(jì)算方法的研究，具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義.

本文的目的是應(yīng)用Painlevé直接截?cái)喾▽?duì)mBBM方程的精確求解作深入的探討.

1 直接截?cái)喾椒ê?jiǎn)解

Painlevé直接截?cái)喾椒ǎ?，6］是將Painlevé檢驗(yàn)中的Laurent級(jí)數(shù)做有限截?cái)?，其中假定奇性流形函?shù)是具有某種特定的性質(zhì)，最后，偏微分方程的精確解是通過(guò)確定截?cái)嗉?jí)數(shù)的系數(shù)來(lái)確定.這一方法簡(jiǎn)潔直接，在一定范圍內(nèi)具有相當(dāng)?shù)钠者m性.Painlevé直接截?cái)喾椒ê?jiǎn)述如下.

對(duì)于給定的偏微分方程:

式中U（x，t）是一個(gè)關(guān)于x，t的多項(xiàng)式.假設(shè)方程（1）具有

2 橢圓函數(shù)的性質(zhì)

如果f（ξ）和g（ξ）滿足以下橢圓函數(shù)的條件:

3 mBBM方程的含橢圓函數(shù)形式的精確解

4 結(jié)論

運(yùn)用Painlevé直接截?cái)喾?，不僅可以求出mBBM方程的其他一些不同形式的精確解，也可求出其他一些偏微分方程的精確解.

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