周萬(wàn)勇 陳五一

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

劉華東

(北京航空制造工程研究所，北京 100024)

1 問(wèn)題提出

在少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的家族中，最有應(yīng)用前景的是空間3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu).其中，3RPS機(jī)構(gòu)(圖1)最早是由 K.H.Hunt于 1983 年提出［1］，由于它能實(shí)現(xiàn)2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)移動(dòng)而得到廣泛應(yīng)用.很多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了研究:J.Kim等用Sylvester代數(shù)消元法建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解［2］;孫永生等用牛頓迭代數(shù)值法求解正解［3］;C.C.Kao等用粒子群算法求解正解［4］;黃俊杰等使用遺傳算法求3RPS的正解［5］.由于球鉸的工作空間很小，且制造沒(méi)有間隙的球鉸很困難，所以工程上常用復(fù)合球鉸代替球鉸.由于上述算法都是基于球鉸的，直接用于復(fù)合球鉸的3RPS機(jī)構(gòu)，必然帶來(lái)系統(tǒng)誤差.李新友等基于正交設(shè)計(jì)分析了3RPS機(jī)構(gòu)的精度［6］，但僅考慮了21項(xiàng)誤差參數(shù).

圖1 3RPS機(jī)構(gòu)原理圖

此外，黃真教授等提出了3_5R和3_RPUR機(jī)構(gòu)的構(gòu)型［7］.李仕華等研究了 3_RPRRR機(jī)構(gòu)［8］.這些并聯(lián)機(jī)構(gòu)有一個(gè)共同特點(diǎn)——具有3個(gè)支鏈，每個(gè)支鏈5個(gè)自由度，其中只有1個(gè)自由度是主動(dòng)自由度，其他4個(gè)是被動(dòng)自由度.

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈結(jié)構(gòu)可以用DH法來(lái)描述，J.Wang 等用 DH 法建立了 Stewart模型［9］.

本文用DH參數(shù)表達(dá)支鏈，建立了一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型.一般的意思是指所有DH參數(shù)是任意的.

本文中帶復(fù)合球鉸3RPS機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)算法運(yùn)用了基于對(duì)偶四元數(shù)的DH法.甘東明、廖啟征等曾在解決一般6R機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的過(guò)程中應(yīng)用了此方法［10－11］.

2 DH方法的對(duì)偶四元數(shù)表達(dá)

表示剛體位置和姿態(tài)的最常用的方法有4×4齊次坐標(biāo)矩陣、李群SE(3)和對(duì)偶四元數(shù)3種方法［12］.

本文中用對(duì)偶四元數(shù)表示剛體的位置和姿態(tài)，它用8個(gè)數(shù)表達(dá)了齊次變換矩陣用16個(gè)數(shù)表達(dá)的信息，使表達(dá)方法更緊湊.用這種方法進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，降低了問(wèn)題的復(fù)雜度.

對(duì)偶四元數(shù)是W.K.Clifford于1878年為研究剛體運(yùn)動(dòng)群引入［13］，表示為

由于剛體僅6個(gè)自由度，因此對(duì)偶四元數(shù)需滿足2個(gè)約束條件:

四元數(shù)部h=b0+b1i+b2j+b3k可以表達(dá)剛體的姿態(tài).用對(duì)偶四元數(shù)表示剛體的位置為

根據(jù)對(duì)偶四元數(shù)乘法:

姿態(tài)為h=h1h2，位置為

為了描述空間機(jī)構(gòu)中各個(gè)構(gòu)件之間的相對(duì)位置和姿態(tài)，J.Denavit等于1955年提出了一種四參數(shù)方法［14］，即DH方法，被廣泛應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)構(gòu).連桿i相對(duì)連桿i－1的相對(duì)關(guān)系，用對(duì)偶四元數(shù)法表達(dá)DH方法如下:

式中，Zi=cos(θi/2)+k sin(θi/2)為繞z軸轉(zhuǎn)角;Si=sik為沿 z軸平移;Xi=cos(αi/2)+i sin(αi/2)為繞x軸轉(zhuǎn)角;Ai=aii為沿x軸平移.

在下文中為了表達(dá)簡(jiǎn)潔，式(1)表示對(duì)偶四元數(shù)用 {(b0，b1，b2，b3)，(e0，e1，e2，e3)}.

3 一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

3RPS，3_5R，3_RPUR 和3_RPRRR 等并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型表達(dá).它們的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)共包括:3個(gè)主動(dòng)驅(qū)動(dòng)參數(shù)，75項(xiàng)幾何結(jié)構(gòu)常參數(shù)，20項(xiàng)未知量，共98個(gè)參數(shù).

3RPS，3_5R，3_RPUR 和3_RPRRR 這4種構(gòu)型主動(dòng)驅(qū)動(dòng)都在上，在主動(dòng)驅(qū)動(dòng)鎖定的情況下，它們僅僅是DH參數(shù)值不同，數(shù)學(xué)模型和求解方法完全一樣.

4 一般三支鏈并聯(lián)平臺(tái)的正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可表達(dá)為:已知 sj2(j=1，2，3)，求^N.動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)用對(duì)偶四元數(shù)表示，包括8個(gè)變量:

每個(gè)支鏈包括被動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角有4個(gè)未知變量θj1，θj3，θj4，θj5，總共有3 個(gè)支鏈，加上動(dòng)平臺(tái) 8 個(gè)未知變量，正解問(wèn)題需要求解20個(gè)未知變量.

4.1 代數(shù)消元處理

支鏈方程式的左邊包括 3 個(gè)變量 θj1，θj3，θj4，右邊包括 9 個(gè)變量 b0，b1，b2，b3，e0，e1，e2，e3θj5.將式(8)左邊j支鏈按對(duì)偶四元數(shù)乘積展開(kāi)可得

式中，z(*)的功能是把對(duì)偶四元數(shù)轉(zhuǎn)換成8維向量;Bj8×8是與支鏈結(jié)構(gòu)常參數(shù)和已知條件sj2有關(guān)的8階可逆矩陣.將式(8)右邊j支鏈按對(duì)偶四元數(shù)乘積展開(kāi)可得8維向量函數(shù):

式中 mjk(k=1，2，…，8)是 b0，b1，b2，b3，e0，e1，e2，e3，θj5變量的2次多項(xiàng)式函數(shù).

由式(8)～式(10)可得

可得 yjk(k=1，2，…，8)是以 b0，b1，b2，b3，e0，e1，e2，e3，θj5為變量的2次代數(shù)多元多項(xiàng)式函數(shù).

由式(9)可知

三角恒等式:

由式(12)和式(13)計(jì)算Groebner基，略去高階恒等式，可以得到

將式(11)中yjk的2次多元多項(xiàng)式函數(shù)代入式(14)～式(22)的9個(gè)等式，可得

每個(gè)恒等式是9個(gè)變量4次的108項(xiàng)代數(shù)多項(xiàng)式.每個(gè)支鏈9個(gè)等式，3個(gè)支鏈共27個(gè)恒等式.通過(guò)本節(jié)的消元，每個(gè)支鏈消去3個(gè)未知量，共消去9個(gè)未知量，現(xiàn)在方程組還有11個(gè)未知量.

4.2 用高斯牛頓迭代法解多元多項(xiàng)式方程組

一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的解需要同時(shí)滿足式(23)的27個(gè)方程和動(dòng)平臺(tái)對(duì)偶四元數(shù)的2個(gè)約束條件式(2)和式(3)，共29個(gè)11元多項(xiàng)式方程組.將其表達(dá)為29維列向量函數(shù)形式:

其中的變量為11維行向量形式:

29個(gè)方程多于11元，但從推導(dǎo)過(guò)程可知，并不構(gòu)成矛盾方程組.求解此非線性方程組是非線性最小二乘求解問(wèn)題，而高斯牛頓迭代法是解此問(wèn)題的常用方法.

另外，多元多項(xiàng)式方程組一般是多解的，但工程上不需要多解，僅需要一個(gè)可行解.故從可行解空間選擇一個(gè)初始值出發(fā)，用高斯牛頓迭代法通過(guò)迭代若干次，一定收斂于一個(gè)可行解上.

求解過(guò)程首先需計(jì)算雅可比矩陣J=?F/?X.它是29行11列的多項(xiàng)式矩陣.代入初值X0按下式進(jìn)行迭代:

需指出，變化式(25)可改成LM(Levenberg-Marquard)算法，LM算法比高斯牛頓迭代魯棒性好，但慢許多.經(jīng)反復(fù)計(jì)算驗(yàn)證，本算法可在0.5 s以內(nèi)完成運(yùn)算，并且很穩(wěn)定.

5 算法驗(yàn)證

本文驗(yàn)證對(duì)象采用北京航空航天大學(xué)和北京航空制造工程研究所聯(lián)合研制的3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)(圖2).該機(jī)構(gòu)支鏈與靜平臺(tái)鏈接使用R副，與動(dòng)平臺(tái)鏈接使用復(fù)合球鉸鏈.由于復(fù)合球鉸鏈名義結(jié)構(gòu)參數(shù)要求軸與軸垂直相交.但工程實(shí)際中做不到0誤差.從精度角度看，該機(jī)構(gòu)屬于一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)(圖3).本文提出的算法可以解決實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)中，距離不為0、角度參數(shù)不為90°情況下的正解.

5.1 確定結(jié)構(gòu)參數(shù)

首先建立支鏈坐標(biāo)系，從靜平臺(tái)到動(dòng)平臺(tái)，依次將支鏈上的構(gòu)件編號(hào)為 1，2，3，4，5，固定在各構(gòu)件上的局部坐標(biāo)系分別命名為Oi-xiyizi，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)系i(i=0，1，…，5).另外分別在動(dòng)靜平臺(tái)的中心建立坐標(biāo)系B-xyz和P-uvw，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)系B和P.按DH方法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈的坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)系得到支鏈上各構(gòu)件參數(shù)見(jiàn)表1.3個(gè)支鏈的名義參數(shù)是相同的，實(shí)際參數(shù)是不同的，限于篇幅這里僅以一個(gè)支鏈為例說(shuō)明.

圖2 一般3RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)

圖3 一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理圖

表1 支鏈上各個(gè)構(gòu)件的名義參數(shù)

根據(jù)支鏈中各個(gè)坐標(biāo)系的定義，用對(duì)偶四元數(shù)做出支鏈j從坐標(biāo)系i－1到坐標(biāo)系i的變換，即為

靜平臺(tái)鉸鏈位置和方向見(jiàn)表2.動(dòng)平臺(tái)鉸鏈位置和方向見(jiàn)表3.

表2 靜平臺(tái)鉸鏈在靜平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置和方向

表3 動(dòng)平臺(tái)鉸鏈位置在動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系中的位置和方向

5.2 名義結(jié)構(gòu)參數(shù)的算法驗(yàn)證

經(jīng)典的3RPS反解算法［7］中，認(rèn)為動(dòng)平臺(tái)位姿6個(gè)參數(shù)中只有3個(gè)獨(dú)立的變量，如γ，β，z.表示動(dòng)平臺(tái)位姿的其余3個(gè)量α，x，y分別由下面3個(gè)公式來(lái)確定.動(dòng)平臺(tái)位姿確定后，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式易求得驅(qū)動(dòng) l1，l2，l3.

應(yīng)用經(jīng)典的3RPS反解算法，對(duì)本文提出的正解算法進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證.驗(yàn)證的方法如圖4所示.

圖4 名義結(jié)構(gòu)參數(shù)算法驗(yàn)證圖

用經(jīng)典的3RPS反解算法的結(jié)果，代入本文用名義參數(shù)建立的3RPS正解算法.比較2個(gè)算法的動(dòng)平臺(tái)位姿，位姿一致即可驗(yàn)證.

經(jīng)反復(fù)驗(yàn)證，本文正解在計(jì)算名義參數(shù)時(shí)的結(jié)果時(shí)總是與經(jīng)典3RPS反解算法的動(dòng)平臺(tái)位姿一致.

經(jīng)典的3RPS反解算法事實(shí)上只有2個(gè)可標(biāo)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)，即動(dòng)平臺(tái)半徑r和定平臺(tái)半徑R.在工程實(shí)踐中幾乎無(wú)法應(yīng)用.

5.3 一般性結(jié)構(gòu)參數(shù)的算法驗(yàn)證

下面驗(yàn)證本文擁有78項(xiàng)可標(biāo)定結(jié)構(gòu)參數(shù)的一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解算法.

一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)每個(gè)支鏈都可以看成是一個(gè)5自由度串聯(lián)機(jī)器人.串聯(lián)機(jī)器人的正解是成熟算法，是一串矩陣的乘積，可以借助串聯(lián)正解進(jìn)行算法驗(yàn)證.驗(yàn)證算法對(duì)一般性結(jié)構(gòu)參數(shù)有效.以支鏈1為例，驗(yàn)證方法如圖5所示.將3個(gè)支鏈的桿長(zhǎng)驅(qū)動(dòng)代入到本文的一般3支鏈正解算法，可得到動(dòng)平臺(tái)位姿和所有的被動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角.這樣每個(gè)支鏈的所有DH參數(shù)中的變量都確定了，代入到串聯(lián)機(jī)器人正解算法，計(jì)算出由各支鏈得到的動(dòng)平臺(tái)位姿.比對(duì)本文算法計(jì)算的動(dòng)平臺(tái)位姿和支鏈串聯(lián)正解算法計(jì)算的動(dòng)平臺(tái)位姿即可驗(yàn)證.

圖5 一般性結(jié)構(gòu)參數(shù)算法驗(yàn)證圖

用串聯(lián)機(jī)器人正解算法建立3個(gè)支鏈的正解算法，如下式:

根據(jù)本文第5.1節(jié)的參數(shù)可以得到3個(gè)支鏈共6個(gè)鉸鏈座的位姿.

工程實(shí)際中由于加工和裝配的誤差，每個(gè)支鏈都是不同的.3個(gè)支鏈具體DH參數(shù)見(jiàn)表1～表3.為了表現(xiàn)軸與軸的不相交和3個(gè)支鏈DH參數(shù)的獨(dú)立性，3個(gè)支鏈DH參數(shù)故意設(shè)置得不一樣.支鏈1上各個(gè)構(gòu)件的DH參數(shù)見(jiàn)表4.

表4 支鏈1上各個(gè)構(gòu)件的DH參數(shù)

下面進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證.

將桿長(zhǎng)作為算法輸入:L1=1 202.79mm;L2=1283.31mm;L3=1223.29mm.

算法得到動(dòng)平臺(tái)位姿:

同時(shí)可得支鏈的DH變量:

將DH變量參數(shù)代入到串聯(lián)機(jī)器人正解，可得動(dòng)平臺(tái)位姿矩陣:

本文算法計(jì)算的動(dòng)平臺(tái)位姿與3個(gè)支鏈串聯(lián)機(jī)器人算法計(jì)算的位姿一致，由于串聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)角的輸入也為本文算法求得，假如本文算法不正確，不可能3個(gè)支鏈用串聯(lián)機(jī)器人正解算法分別計(jì)算的動(dòng)平臺(tái)位姿是一致的，并且還與本文算法計(jì)算的動(dòng)平臺(tái)位姿完全一致.因此可以斷定本文算法是正確無(wú)誤的.

6 結(jié)論

1)針對(duì)一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)，本文采用對(duì)偶四元數(shù)方法和DH方法，建立了考慮鉸鏈安裝位姿參數(shù)及所有支鏈DH參數(shù)的一般三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解算法.算法為考慮了并聯(lián)機(jī)構(gòu)總共78項(xiàng)幾何參數(shù)及全部DH參數(shù)的精確的數(shù)學(xué)模型.分析這些幾何參數(shù)對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿的影響，可用于對(duì)一般3支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度分析、精度綜合、運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定和精確的運(yùn)動(dòng)仿真.

2)該算法適用于3條支鏈共同支撐1個(gè)平臺(tái)，每個(gè)支鏈結(jié)構(gòu)為一般5自由度串聯(lián)機(jī)器人，其中只有1個(gè)主動(dòng)運(yùn)動(dòng)副驅(qū)動(dòng)的三支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu).文中使用的方法可以把 3RPS，3_5R，3RPUR，3RPRRR等原來(lái)認(rèn)為不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)歸為一類，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型描述，區(qū)別僅在于具體一個(gè)支鏈的DH參數(shù)主動(dòng)變量是轉(zhuǎn)動(dòng)或是移動(dòng);其他的DH結(jié)構(gòu)常量或?yàn)榱慊虿粸榱?

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