肖斗玉, 顏 駿, 李寶霖, 田紅金

(四川師范大學 物理與電子工程學院, 四川 成都 610066)

20世紀30年代,天文學家F. Zwicky發(fā)現,在星系團中可能存在著大部分看不見的物質,這一發(fā)現首先預言了暗物質的存在[1-10].文獻[11-14]測量了圍繞某個極高溫恒星的氣體云所發(fā)出的光的紅移,由于譜線的紅移正比于發(fā)光物體的速度,所以通過紅移能得出星體圍繞星系旋轉的速度,結果發(fā)現隨著星云到星系中心距離的增加,星云的旋轉速度變得越來越平緩,并且趨于一個與距離幾乎無關的定值,這一結果與牛頓引力理論相矛盾,因為從牛頓引力理論中可知物體的旋轉速度是與旋轉半徑成反比的.文獻[11-14]的觀測結果說明,在星系中可見物質的引力不能產生這么大的旋轉速度.為了解釋這一現象,人們認為星系團中可能存在暗物質,而且暗物質的質量必須比可見物質大很多才能解釋實際觀測的結果.目前暗物質存在的證據都是通過引力效應而得到的,例如星系轉動曲線、引力透鏡效應、宇宙微波背景輻射、宇宙大尺度的結構等.根據這些觀測證據,可以推測出暗物質粒子的主要特點是：不發(fā)光也不會反射光、電中性、長壽命、相互作用較弱.暗物質的主要候選者有：原初黑洞、鏡物質、軸子、WIMP等.觀測證據還表明：宇宙中可見物質的質量約占宇宙總質量的4%,暗物質約占宇宙總質量的23%,而其余73%的物質稱為暗能量.

本文以軸子暗物質作為研究對象[15-17].首先,找出描寫軸子的宏觀波函數,從而計算出星系暈中軸子的質量,再根據牛頓引力理論得出星系的旋轉速度和距離的關系,并作出速度距離關系圖,然后將其與實際觀測的結果和其它理論比較.

量子色動力學雖然能很好地解釋強相互作用中的一些實驗現象,但也存在一些疑難問題,為了解釋QCD中的CP破缺問題,R. Peccei和H. Quinn等假設存在一種輕的長壽命的中性玻色子,這種粒子稱為軸子.

1 Robertson-Walker度規(guī)下的Gross-Pitaevski方程

設彎曲時空下軸子的拉氏量為

(1)

彎曲時空下的歐拉方程為

(2)

將(1)式代入(2)式得彎曲時空下的Gross-Pitaevski(GP)方程為

(3)

均勻各向同性膨脹宇宙可以由Robertson-Walker(RW)度規(guī)描寫

gμv=

(4)

其中,R(t)是標度因子,k是空間曲率常數,目前天文觀測表明宇宙整體趨于平坦,即k≈0.將(4)式代入(3)式得到膨脹宇宙背景下的GP方程為[19]

(5)

(6)

對GP方程(6)中波函數ψ進行分離變量,即

ψ(t,r,θ,φ)=ψ(t)ψ(r,θ,φ),

(7)

這時方程(6)化為如下2個方程

(8)

(9)

式中,λ是常數,ψ(t)是時間波函數,ψ(r,θ,φ)是空間波函數,對方程(9)中空間波函數進一步分離變量

ψ(r,θ,φ)=ψ(r)Y(θ,φ),

(10)

于是方程(9)化成2個方程

(11)

式中,β是常數,ψ(r)是徑向波函數,方程(11)中Y(θ,φ)為球諧函數,當β=l(l+1)時,存在有限解

l=0,±1,±2,…;m=0,±1,±2…

2 軸子波函數與星系中的暗物質分布

2.1 膨脹宇宙中的軸子密度 根據徑向方程(12)式有

(13)

(14)

方程(14)為標準的球貝塞爾方程,所以徑向方程(14)的解可表示為

(15)

因此軸子總波函數應為

(16)

(17)

經計算后得到含時波函數的解為

(18)

于是軸子的總波函數為

ψ=ψ(t)ψ(r,θ,φ)=Ct-3α/2×

而軸子暗物質密度為

ρ(r,t)～ψψ*=|ψ|2.

(20)

根據(19)和(20)式可得軸子密度表達式為

(21)

這時背景宇宙呈現冪律膨脹,比暴脹狀態(tài)的膨脹速度慢,此時軸子密度隨時間t按t-3α衰減

(22)

2.2 無作用軸子暗物質的分布 在軸子凝聚中可形成量子化環(huán)流[20],這種環(huán)流可用如下表達式描述

(23)

C代表環(huán)繞一個漩渦的任一環(huán),u代表環(huán)流速度,l=0,對應無漩渦狀態(tài),環(huán)流為零,在轉動環(huán)境下凝聚物中漩渦將形成.在凝聚中l(wèi)>1的漩渦不穩(wěn)定,將衰變?yōu)榱孔訑祃=1的漩渦,因此本文僅研究基態(tài)l=0和穩(wěn)定激發(fā)態(tài)l=1的情況.

對于l=0,m=0的基態(tài)情況,無漩渦形成,在(21)式中

所以軸子密度變?yōu)?/p>

(24)

(25)

其中,R(t)為宇宙標度因子,某一固定時刻的軸子密度為

(26)

(27)

所以星體速度為

(28)

這時星系中軸子暗物質的質量為

(29)

(30)

將(30)式代入(28)式得到

(31)

對于l=1,m=0的是激發(fā)態(tài),可形成穩(wěn)定漩渦態(tài).這時軸子密度為

(32)

所以球坐標系中軸子的暗物質質量為

2cos(2aR)+aRsin(2aR)),

(33)

v(R)={(-2+2a2R2+2cos(2aR)+

(34)

這時星云約化速度v和到星系中心的距離R的關系如圖2所示.

由圖1和圖2比較后可以看出,星系的旋轉速度隨著距離的增大而增大,并振蕩趨于一個定值.當軸子暗物質處于基態(tài)時,星系的旋轉速度較大,軸子處于激發(fā)態(tài)時,星系的旋轉速度較小,這定性解釋了天文觀測中的暗物質分布規(guī)律.

2.3 化學勢μ≠0時,軸子暗物質的分布 當即軸子的相互作用很弱,可忽略,當V(r)=0,即軸子與其它物質無相互作用.如果μ≠0,那么軸子與外界有能量交換.這時方程(6)變?yōu)?/h3>

(35)

如果μ=μ0/R(t)為隨時間變化的化學勢,那么(35)式將無法分離變量,而標度因子取R=1的特殊情況,即宇宙標度因子不隨時間變化時,則GP方程(35)變?yōu)?/p>

(36)

其中,α=8π2mμ0/h2(μ0>0或μ0<0).

對于l=0的基態(tài)無漩渦情況,當α>0,則方程(36)的解為

(37)

其中,C1和C2為積分常數.當α<0,則方程(36)的解為

(38)

令

則軸子密度有如下可能的組合形式

(39)

(40)

當軸子密度取ρ1時,軸子暗物質的質量為

(41)

此時v(R)和R的關系為

(42)

當軸子密度取ρ2時,軸子暗物質的質量為

(43)

此時v(R)和R的關系為

(44)

當軸子密度取ρ3時,軸子暗物質的質量為

(45)

此時v(R)和R的關系為

(46)

當軸子密度取ρ4時,軸子暗物質的質量為

(47)

此時v(R)和R的關系為

(48)

所以,μ≠0,l=0時,上述4種情況得出的星云速度和到星系中心的距離的關系與實際觀測不相符,因此基態(tài)情況下得不到與觀測相吻合的軸子分布規(guī)律.

對于l=1的激發(fā)態(tài)有漩渦形成的情況,方程(36)變?yōu)?/p>

(49)

這時方程(49)的解為

(50)

所以軸子密度為

(51)

此時軸子暗物質的質量應為

(52)

將(52)式代入(28)式,得到星云約化速度v和到星系中心的距離R的關系如圖3所示.

當μ≠0時,這時軸子暗物質與外界有能量交換,從圖3可看出,星云速度v和到星系中心的距

離R的關系也比較符合實際觀測結果.

在銀河系中暗物質的質量大約為太陽質量的12.2×1011倍,而太陽質量M⊙=1.989×1030kg,因此暗物質的質量不超過Md=2.426 58×1042kg,由牛頓萬有引力定律得星云旋轉速度為

(53)

其中,牛頓引力常數G=6.67×10-20km3/(kg·s2),取星體離星系中心的距離約為10 kpc,由(53)式得星云旋轉速度的上限為vd≈734 km/s.由于地球到太陽的距離為Re≈1.496×108km,根據(53)式可得出地球繞太陽的旋轉速度為ve≈29.8 km/s,所以vd?ve,由此可知引入暗物質才能解釋星云較大的旋轉速度.

在本文計算作圖時,橫坐標表示星體離星系中心的距離,縱坐標表示約化速度v,其定義為

(54)

3 結論與討論

在本文中研究了4種情況,即:l=0,μ=0;l=1,μ=0;l=0,μ≠0;l=1,μ≠0.前面2種情況沒有考慮化學勢,是比較理想的物理狀況,結果表明無論是基態(tài)還是激發(fā)態(tài),所得到的v(R)～R關系圖與實際觀測的都比較吻合.后2種情況中化學勢不為零,對應于比較真實的物理狀況,這時l=0,μ≠0的情況下所得到的v(R)～R關系圖與實際觀測的不相符,而l=1,μ≠0的情況下所得到的v(R)～R關系圖與實際觀測比較符合,這說明基態(tài)并不描述真實的物理狀況,當化學勢存在時,也就是軸子暗物質與外界有能量交換的時候,處于激發(fā)態(tài)的軸子暗物質的分布更符合真實的物理觀測結果.

T. D. Lee等[21-22]提出在弱相互作用情況下宇稱不守恒的觀點,在此基礎上,L. B. Okun等[23-25]提出鏡子粒子的概念,隨后文獻[26-33]將鏡子粒子跟暗物質聯系起來.Z. Berezhiani等[34]同時考慮鏡子暗物質和修改牛頓引力定律的情況,由此擬合出了星云旋轉速度和到星系中心距離的關系曲線.

首先,本文不需要修改引力理論,目前在大尺度上修改引力理論的物理根源并不清楚；其次,本文中擬合出來的曲線有一定的波動性,與文獻[11-14]的觀測結果比較符合.而N. Rossi等[34]擬合出來的曲線并沒有波動性；另外,本文考慮了物質與外界交換的情況,對應于比較真實的物理狀況.

在前面的工作中,曾經研究了Q泡和Q球暗物質的能量穩(wěn)定性和激發(fā)性質[35-36],本文進一步研究了軸子暗物質的分布規(guī)律,這些研究為暗物質的實驗觀測提供了理論依據和可能的物理解釋.

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