段 旭，唐 斌，周 昕，陳憲鋒，蔣美萍，王 帥

(1．常州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州213164;2．湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，湖南株洲412008)

其中，a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫(xiě)為:

1 引言

近年來(lái)，隨著激光應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展，科學(xué)家對(duì)新型激光束理論和實(shí)驗(yàn)的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣。其中，中心強(qiáng)度為零的暗中空光束由于在原子光學(xué)、量子光學(xué)、二元光學(xué)、微觀粒子的操控等方面的廣泛應(yīng)用越來(lái)越受到人們的關(guān)注。在實(shí)驗(yàn)上，有多種方法可以用來(lái)產(chǎn)生空心光束，如橫模選擇法、光學(xué)全息法、空心光纖法等［1－3］。在理論上，人們提出了多種模型來(lái)描述空心光束，典型的有TEM*01光束、貝賽爾－高斯光束和空心高斯光束［4－6］。最近，Kotlyar提出了合流超幾何模式的激光束［7］，該光束復(fù)振幅分布正比于合流超幾何函數(shù)，其橫截面光強(qiáng)分布與貝賽爾光束類似，是一系列明暗交替的同心圓環(huán)等，隨后，Chen等在實(shí)驗(yàn)室提出了一種產(chǎn)生超幾何激光束的新方法，并研究了其在自由空間近軸光學(xué)系統(tǒng)中的傳播規(guī)律［8］。

在實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)中，光束的傳輸總是要受到光闌的限制或約束作用，因此對(duì)有光闌約束條件下的光束傳輸研究是非常有意義的。據(jù)我們所知，目前人們已研究了多種光束通過(guò)不同光學(xué)系統(tǒng)的傳輸規(guī)律［9－10］，但對(duì)超幾何激光束通過(guò)有光闌約束條件下的傳輸特性，尚未發(fā)現(xiàn)有人研究?；诖?，本文對(duì)合流超幾何高斯光束通過(guò)具有圓孔形狀的硬邊光闌的傳輸特性進(jìn)行分析，通過(guò)把圓孔硬邊光闌函數(shù)展開(kāi)為復(fù)高斯函數(shù)的方法，推導(dǎo)出了超幾何激光束通過(guò)圓孔光闌的近似解析傳輸公式，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬研究該光束的傳輸特性。

2 超幾何激光束在有光闌約束的ABCD光學(xué)系統(tǒng)中的傳播

在柱坐標(biāo)下，超幾何激光束在入射面(z=0)的場(chǎng)分布為［7］:

式中，r，()表示柱坐標(biāo)系統(tǒng);E0是一個(gè)常量;σ代表高斯光束束腰寬度;m是光束參數(shù)(可以取任意實(shí)數(shù));n是光學(xué)拓?fù)浜?取整數(shù));ω和γ均為實(shí)參數(shù)。超幾何激光束通過(guò)近軸有光闌限制ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳播可以用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分的形式表示為:

式(2)中，k是波數(shù)，A、B、C和D是近軸光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣元。將式(1)代入式(2)，并利用積分公式［11］:

可以得到:

式(3)～式(5)中的J(·)為第一類貝賽爾函數(shù)。引入圓孔硬邊光闌函數(shù):

其中，a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫(xiě)為:

考慮到硬邊圓孔光闌函數(shù)可拓展為一組復(fù)高斯函數(shù)之和［12］:

式中，Ah和Bh分別為拓展的復(fù)高斯系數(shù)。這些系數(shù)可以從計(jì)算機(jī)優(yōu)化得到。需要指出的是展開(kāi)項(xiàng)數(shù)N越大，擬合精度越高。

將式(8)代入式(7)，并利用積分公式［11］:

式中，1F1(a，b，x)是合流超幾何函數(shù)或者Kummer函數(shù);Γ(x)是伽馬函數(shù)。

式(10)即為我們最終得到的超幾何激光束通過(guò)有圓孔光闌約束條件下的近似解析傳輸公式，其強(qiáng)度分布可以根據(jù)公式 I=來(lái)計(jì)算。

3 數(shù)值計(jì)算和分析

由矩陣光學(xué)可知，當(dāng)光束在自由空間傳播時(shí)，其傳輸矩陣可表示為:，z為傳輸距離，在MATLAB環(huán)境下，我們利用解析公式(10)，對(duì)超幾何激光束通過(guò)有光闌約束條件下的傳輸特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析，式(10)中的復(fù)高斯系數(shù)Ah和Bh取自文獻(xiàn)［12］中的表1，這里N取值為10項(xiàng)。

3．1 光闌孔徑對(duì)光強(qiáng)分布的影響

圖1計(jì)算了圓孔光闌半徑a不斷變化的條件下超幾何激光束的衍射情況，相關(guān)計(jì)算參數(shù)取值為:z=1000 mm，n=3，m= －1，γ =3，ω =150 mm。為比較近似解析方法和直接數(shù)值積分方法的效率，我們給出了兩種計(jì)算方法的結(jié)果，虛線為近似解析方法得到的結(jié)果，實(shí)線為直接數(shù)值積分所得到的結(jié)果，除了一些微小差別外，兩者結(jié)果吻合較好。顯然，采用近似解析方法可以大大提高計(jì)算效率。此外，從圖1不難看出，衍射光強(qiáng)主要集中在主極大附近，光闌半徑越小，光強(qiáng)分布范圍越寬，即衍射效應(yīng)越強(qiáng)。當(dāng)a→∞ 時(shí)，光闌效應(yīng)消失，此時(shí)，光強(qiáng)分布形狀和無(wú)光闌情況一樣，這與文獻(xiàn)［8］結(jié)果基本一致。

圖1 超幾何激光束通過(guò)不同光闌的衍射強(qiáng)度變化Fig．1 The intensity distribution of hypergeometric beams through different apertures

3．2 不同傳輸距離對(duì)光強(qiáng)分布的影響

基于圖1中的數(shù)值積分計(jì)算和近似解析公式給出的結(jié)果，接下來(lái)，我們采用近似解析方法來(lái)研究超幾何激光束在不同傳輸距離條件下的傳輸規(guī)律。圖2描述了傳輸距離對(duì)該光束光強(qiáng)分布特性的影響，考慮到不同光闌的約束作用。圖2(a)～(d)同時(shí)給出了不同光闌半徑情況的光強(qiáng)分布，其中點(diǎn)劃線表示光闌半徑為0．2 mm，虛線和實(shí)線分別表示光闌半徑為0．5 mm、1．2 mm。其他參數(shù)取值與圖1完全相同。從圖2不難發(fā)現(xiàn)，隨著距離的增加，光斑尺寸越來(lái)越大，衍射旁瓣減少，主極大和次級(jí)衍射條紋光強(qiáng)逐漸變小。

圖2 光強(qiáng)分布隨傳輸距離的變化Fig．2 The intensity distribution of hypergeometric beams at the different propagation distances

3．3 不同光束參數(shù)對(duì)超幾何激光束的光強(qiáng)分布影響

圖3 描繪了不同光束參數(shù)(m，n)對(duì)超幾何激光束通過(guò)圓孔光闌的光強(qiáng)分布影響。在圖3(a)中，光束參數(shù)m取為定值－1，光學(xué)的拓?fù)潆姾蓴?shù)n不斷改變，其中實(shí)線為 n=3，虛線為 n=2，點(diǎn)線為n=1。從中可以看出，在m固定，n不斷減小的時(shí)候，衍射光的主極大強(qiáng)度會(huì)隨著n的減小而減小。同時(shí)，各個(gè)極大值的位置會(huì)逐漸偏離光闌中心位置，極大值的數(shù)目不會(huì)發(fā)生改變。在圖3(b)中，光學(xué)的拓?fù)潆姾蓴?shù)n取為定值3，光束參數(shù)m不斷改變，其中實(shí)線為m=－1，虛線為m=－1．1，點(diǎn)線為m=－1．2。從中可以看出，在n為定值得時(shí)候，隨著m不斷減小，衍射光束的強(qiáng)度逐漸減小，但是其極大值的位置基本保持不變。

圖3 不同光束參數(shù)對(duì)超幾何激光束的光強(qiáng)分布影響計(jì)算參數(shù)選取為:z=1000 mm，a=1 mm，γ=3，ω=150 mm Fig．3 Effect of the different optical parameters on the intensity distribution of hypergeometric beams．The computation parameters are chosen as follows:z=1000 mm，a=1 mm，γ =3，ω =150 mm

4 結(jié)論

采用將圓孔光闌展開(kāi)為有限個(gè)復(fù)高斯函數(shù)疊加的方法，以及使用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分公式，推導(dǎo)出了超幾何激光束通過(guò)圓形孔硬邊光闌約束的ABCD光學(xué)系統(tǒng)光強(qiáng)分布的近似解析解，并對(duì)其傳輸特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析。并比較了兩種方法得出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)果極其相似。從而研究結(jié)果表明，超幾何激光束的光強(qiáng)分布以及衍射效應(yīng)與光闌的孔徑大小、傳輸?shù)木嚯x以及光束參數(shù)等因素密切相關(guān)。事實(shí)上，采用本文的研究方法，可以進(jìn)一步推廣到其他光束在其他不同光闌(如環(huán)孔、光屏等)約束條件下的傳輸，并分析和說(shuō)明光束通過(guò)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的衍射特性，這在實(shí)際應(yīng)用中有一定的意義。

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