黃永紅，宋心雷

(江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，機(jī)械工業(yè)設(shè)施農(nóng)業(yè)測控技術(shù)與裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇鎮(zhèn)江　212013)

0　引言

海洋蛋白酶是海洋生物發(fā)酵所得的一種新型酶制劑，它菌種穩(wěn)定，產(chǎn)酶能力強(qiáng)，廣泛用于洗滌、紡織、制革、環(huán)保、食品、生物工程等領(lǐng)域。海洋蛋白酶以其獨(dú)有的耐壓、耐堿、耐鹽、耐冷等特性，成為近年來研究的熱點(diǎn)[1]。但是海洋蛋白酶發(fā)酵過程是一個(gè)復(fù)雜的非線性過程，對于其中的一些關(guān)鍵生物參數(shù)(如基質(zhì)濃度、菌體濃度等)目前還很難實(shí)時(shí)在線測量，采用軟測量技術(shù)是解決上述問題的有效途徑[2]。

軟測量建模是軟測量技術(shù)的核心問題。目前常用的軟測量建模方法主要包括：機(jī)理建模、回歸分析、模式識別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊數(shù)學(xué)、支持向量機(jī)等。

支持向量機(jī)(Support vector machine，SVM)是近幾年來應(yīng)用于建模的一種新方法。它是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理基礎(chǔ)上的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法[3-5]。最小二乘支持向量機(jī)(Least squares support vector machine，LS-SVM)是SVM的一種改進(jìn)，它將SVM解二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題，提高了求解問題的速度和收斂精度，解決了小樣本、非線性、高維數(shù)等問題[6]。但是，在LS-SVM建模中，正規(guī)化參數(shù)和核參數(shù)是必須優(yōu)化的參數(shù)，它們的取值將直接影響著模型的訓(xùn)練和泛化性能。常用的參數(shù)優(yōu)化方法有交叉驗(yàn)證法、遺傳算法等。其中交叉驗(yàn)證法和遺傳算法計(jì)算量大且可能陷入局部最優(yōu)[7-8]。因此，文中提出一種貝葉斯LS-SVM軟測量建模方法，即利用貝葉斯準(zhǔn)則(即貝葉斯證據(jù)框架準(zhǔn)則)對LS-SVM建模中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化選取。貝葉斯分析的出發(fā)點(diǎn)是假設(shè)集合上的先驗(yàn)分布，它描述了學(xué)習(xí)器對于數(shù)據(jù)特定假設(shè)的似然性的先驗(yàn)信念。它的基本思想是最大化參數(shù)分布的后驗(yàn)，而最佳參數(shù)值或模型是在參數(shù)分布后驗(yàn)最大化的情況下得到的。仿真結(jié)果表明：基于貝葉斯LS-SVM的軟測量建模比基于LS-SVM的軟測量建模精度高，泛化能力強(qiáng)。

1　最小二乘支持向量機(jī)

對于樣本集(xi，yi)，xi為輸入值，yi為輸出值，樣本為n維向量，首先用一非線性映射φ(·)把樣本從原空間RN映射到特征空間。在這個(gè)高維特征空間中構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)：

f(x)=ωTφ(xi)+b

(1)

式中：φ(xi)為代價(jià)函數(shù)；ω為模型的權(quán)值；b為分類超平面閾值。

這樣非線性函數(shù)轉(zhuǎn)化為高維特征空間中的線性估計(jì)函數(shù)。利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，尋找ω、b就是最小化式(2)。

(2)

s．t．yi=ωTφ(xi)+b+ei，i=1，2，…n

(3)

式中：γ為正規(guī)化參數(shù)；e為松弛變量；J為風(fēng)險(xiǎn)。

通過引入拉格朗日乘子，將式(2)的求解轉(zhuǎn)化為如下的對偶優(yōu)化問題：

(4)

式中ai(i=1，2，…n)為拉格朗日乘子。

(5)

(6)

ωφ(xi)+b+ei-yi=0

(7)

定義核函數(shù)：

K(xi，xj)=φ(xi)·φ(xj)

(8)

K(xi，xj)是滿足Mercer條件的對稱函數(shù)。經(jīng)過計(jì)算消去e和ω，最后得到的優(yōu)化模型為

(9)

選擇不同的核函數(shù)，可構(gòu)造不同的支持向量機(jī)，文中采用徑向基高斯核函數(shù)即：

K(x，xi)=exp(-(x-xi)2/(2σ2))

(10)

式中σ為核參數(shù)。

由此可知，在LS-SVM建模中，正規(guī)化參數(shù)γ和核參數(shù)σ是重要的參數(shù)，它們的優(yōu)化選取將對軟測量模型的預(yù)測結(jié)果起著重要的作用。

2　貝葉斯準(zhǔn)則下的參數(shù)優(yōu)化

Macky將貝葉斯推斷理論分為3個(gè)證據(jù)框架準(zhǔn)則。利用這3個(gè)準(zhǔn)則依次對LS-SVM算法中的權(quán)值ω、正規(guī)化參數(shù)γ以及核參數(shù)σ進(jìn)行推斷優(yōu)化。

2．1權(quán)值ω的優(yōu)化

首先用貝葉斯準(zhǔn)則1對權(quán)值ω進(jìn)行貝葉斯推斷，利用最大化參數(shù)ω的后驗(yàn)，就可以得出參數(shù)ω的最佳值。為了便于處理，將優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)除以γ，令λ=1/γ為模型的超參數(shù)。

由貝葉斯公式可得參數(shù)ω的后驗(yàn)：

(11)

式中：p(ω|λ)為權(quán)值的先驗(yàn)概率；p(D|λ)為一個(gè)歸一化常數(shù)；p(D|ω，λ)為似然函數(shù)；p(ω|D，λ)為后驗(yàn)概率。

取高斯分布為權(quán)值的先驗(yàn)概率，得：

(12)

(13)

由式(11)～式(13)可得權(quán)值的后驗(yàn)概率為

(14)

可以看出最小二乘支持向量機(jī)的權(quán)值可以用貝葉斯理論來優(yōu)化，從而可以得出ω的最優(yōu)值ωmp.

2．2正規(guī)化參數(shù)的優(yōu)化

將貝葉斯準(zhǔn)則2用于最小二乘支持向量機(jī)正規(guī)化參數(shù)的推斷和優(yōu)化。

(15)

(16)

對式(15)兩邊取對數(shù)得：

(17)

Const為常數(shù)，令λ的偏導(dǎo)數(shù)為0。

A=▽2(λEω+ED)=λI+B

(18)

(19)

由式(18)、式(19)可得：

式中δ為參數(shù)的有效數(shù)。

用pn表示B的特征值，則A的特征值：

(20)

(21)

l(l≤n)表示矩陣K非0特征值的個(gè)數(shù)，從而可以得到λ的最優(yōu)值λmp.進(jìn)而可以得到正規(guī)化參數(shù)γ的最優(yōu)值。

2．3核參數(shù)的優(yōu)化

用貝葉斯準(zhǔn)則3優(yōu)化高斯核參數(shù)。設(shè)一模型為H，通過最大化后驗(yàn)概率來進(jìn)行模型比較，最后選擇最優(yōu)核參數(shù)，假設(shè)所有模型的先驗(yàn)概率p(H)為平坦分布，則p(D|H)通過對參數(shù)λ的積分可得：

p(H|D)∝p(D|H)p(H)∝p(D/H)∝

(22)

(23)

(24)

2．4基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM建模過程

利用上述優(yōu)化好的參數(shù)來建立基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM的軟測量模型，建模過程具體步驟如下：

(1)確定模型的輸入輸出變量；

(2)對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理；

(3)初始化正規(guī)化參數(shù)γ和核參數(shù)σ；

(4)用貝葉斯證據(jù)框架準(zhǔn)則優(yōu)化模型的正規(guī)化參數(shù)γ和核參數(shù)σ；

(5)利用優(yōu)化后參數(shù)對最小二乘支持向量機(jī)進(jìn)行訓(xùn)練，建立基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM模型；

(6)用測試樣本集對模型仿真驗(yàn)證。

3　仿真與分析

以海洋蛋白酶發(fā)酵過程為例，其發(fā)酵過程中菌體濃度、基質(zhì)濃度以及酶活等參數(shù)的實(shí)時(shí)測量對了解發(fā)酵進(jìn)程、優(yōu)化控制后續(xù)發(fā)酵環(huán)境參量起著至關(guān)重要的作用。但是這些參數(shù)目前還不能實(shí)時(shí)在線測量，大多采用離線化驗(yàn)分析的方法，為此建立了基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM軟測量模型。在建模過程中，以菌體濃度X、基質(zhì)濃度S、相對酶活P(為了更好的顯示酶活的變化幅度，此處用相對酶活表示)作為軟測量模型的主導(dǎo)變量。通過對海洋蛋白酶發(fā)酵過程進(jìn)行機(jī)理分析，利用相關(guān)系數(shù)法確定軟測量模型的輔助變量為溶解氧濃度DO、pH值、CO2濃度、基質(zhì)進(jìn)給速率u.

為了驗(yàn)證模型的有效性，在海洋蛋白酶發(fā)酵過程中總共采集了15個(gè)發(fā)酵批次的數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)分成兩部分。一部分作為網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本(前10個(gè)批次，共含500個(gè)樣本)，另一部分作為測試樣本(后5個(gè)批次，含250個(gè)樣本)。用這些數(shù)據(jù)分別對LS-SVM模型和基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1　基質(zhì)濃度預(yù)估變化曲線

圖2　菌體濃度預(yù)估變化曲線

圖3　相對酶活預(yù)估變化曲線

為了更加直觀地說明基于貝葉斯準(zhǔn)則LS-SVM的軟測量建模具有優(yōu)越的預(yù)測性能，以菌體濃度為例，采用最大誤差(MAXE)和均方根誤差(RMSE)這2個(gè)預(yù)測性能指標(biāo)來反映這2種建模方式的預(yù)測效果，結(jié)果如表1所示。

(25)

(26)

表1　兩種建模方法的誤差比較

從圖1、圖2、圖3 和表1中可以看出，基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM比LS-SVM預(yù)測結(jié)果更加逼近于離線化驗(yàn)值。以基質(zhì)濃度為例，LS-SVM的基質(zhì)濃度的最大誤差為2.488，而Bayesian-LSSVM的最大誤差為1.530，兩者的均方根誤差分別為0.965和0.554，由此可以得出Bayesian-LSSVM的預(yù)測效果更好，逼近精度更高。

4　結(jié)論

為解決海洋微生物發(fā)酵過程中關(guān)鍵生物參數(shù)難以實(shí)時(shí)在線測量的問題，提出了一種基于貝葉斯準(zhǔn)則的LS-SVM軟測量建模方法。首先確定基質(zhì)濃度、菌體濃度、相對酶活作為海洋蛋白酶發(fā)酵過程軟測量模型的主導(dǎo)變量，采用相關(guān)系數(shù)法確定了軟測量模型的輔助變量。利用貝葉斯準(zhǔn)則優(yōu)化LS-SVM模型的正規(guī)化參數(shù)和核參數(shù)，用訓(xùn)練樣本集對優(yōu)化后的LS-SVM進(jìn)行了學(xué)習(xí)訓(xùn)練，建立了基于海洋蛋白酶發(fā)酵過程的軟測量模型，并利用測試樣本對模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明，該軟測量模型具有較高的測量精度和泛化效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉朝誼，郭凱，許峰，等．低溫海洋微生物產(chǎn)堿性蛋白酶菌株的篩選．淮海工學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，15(2)：59-62．

[2]閻威武，朱宏棟，邵惠鶴．基于最小二乘支持向量機(jī)的軟測量建模．系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2003，15(10)：1494-1496．

[3]顧燕萍，趙文杰，吳占松．最小二乘支持向量機(jī)的算法研究．清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，50 (7)：1063-1066；1071．

[4]李鵬．基于貝葉斯理論的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法研究．光機(jī)電信息，2011，28(1)：28-32．

[5]孫曉東，陳龍，楊澤斌，等．貝葉斯證據(jù)框架下LS-SVM 的BPMSM磁鏈建模．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，46(5)：873-877．

[6]CRITIANINI N，TAYLOR J S ．An Introduction to Support Vector Machine and Other Kernel-based Learning Methods．Cambridge University Press，2000：47-107．

[7]陳帥，朱建寧，潘俊．最小二乘支持向量機(jī)的參數(shù)優(yōu)化及其應(yīng)用．華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，34(2)：278-282．

[8]王振樹，李林川，牛麗．基于貝葉斯證據(jù)框架的支持向量機(jī)負(fù)荷建模．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，24(8)：127-134．