劉　蕊

(必能信超聲(上海)有限公司，上海 201613)

0　引言

在很多工程應(yīng)用中，金屬材料的楊氏彈性模量對于結(jié)構(gòu)的設(shè)計都是關(guān)鍵而敏感的參數(shù)。特別是對于各項同性材料而言，由于描述其彈性性質(zhì)的獨立常數(shù)很少，因此其楊氏模量能夠很好地反映該材料的力學(xué)特性。在功率超聲領(lǐng)域，由于超聲換能器、調(diào)幅器以及工具頭都主要使用金屬材料，所以楊氏彈性模量對設(shè)計的影響非常大，特別是對諧振頻率的估算，其準確度會直接影響設(shè)計精度和加工的難易[1]。

常規(guī)的測試楊氏彈性模量的方法有很多，超聲技術(shù)作為無損檢測的代表技術(shù)，已經(jīng)相當成熟[1，2]。由于材料中的聲速并不隨著試件外形的變化而變化，所以只要測得材料中的縱、橫波速度，就可以求得材料的彈性模量。但是，采集和分辨回波信號并不容易，往往需要信號發(fā)射、采集和處理系統(tǒng)來得到測試樣品的材料參數(shù)，對測試環(huán)境要求較高，投入成本也很大。本文提出一種利用超聲焊接換能器測量諧振頻率的方法，利用金屬圓棒的簡諧振動，可以較準確地測定材料的楊氏彈性模量。同時，用有限元法對測量結(jié)果進行驗證。

1　測量原理

1.1　彈性體虎克定律

以鋁棒為例，根據(jù)彈性體的虎克定律，其楊氏模量和泊松比可以直接由樣件尺寸、質(zhì)量和諧振頻率得到。由超聲波在圓棒中傳播的頻率方程可知[3]：

E=C·ρ·f2

(1)

式中：E為楊氏彈性模量；ρ為材料密度；f為指定振動模式下所對應(yīng)的諧振頻率；C為修正系數(shù)，同測試樣品的形狀尺寸、泊松比以及振動模式有關(guān)。對于縱向振動模式來說，楊氏模量還可以表示為：

(2)

(3)

式中：n為振動階數(shù)；fn為縱向諧振頻率；L為諧振長度；μ為材料的泊松比;De為鋁棒直徑。

如果僅考慮一階振動模態(tài)即n=1，那么只要得到鋁棒在某一長度時的諧振頻率，就可以根據(jù)方程(2)求得楊氏彈性模量E。

1.2　超聲波諧振原理

為了準確測得長度為L的鋁棒對應(yīng)的一階諧振頻率f，需要建立一套諧振系統(tǒng)使測試樣件能發(fā)生諧振，并測試諧振頻率。本文利用功率超聲中常用的超聲波焊接換能器，通過調(diào)整鋁棒長度讓二者發(fā)生共振。理論上只要換能器的頻率f已知，那么發(fā)生共振時，鋁棒的諧振頻率也應(yīng)該是f，當時的長度L即諧振長度，然后應(yīng)用方程(2)得到鋁棒的楊氏彈性模量E。但在實際操作中，存在以下幾個問題會給測試結(jié)果帶來誤差：

1)連接問題。在測試鋁棒的諧振頻率時，為了使測試鋁棒和換能器能夠剛性連接，兩者之間需要用螺絲擰緊。連接螺絲由于材料和螺紋的影響，會給諧振頻率帶來很大誤差。

2)換能器的頻率誤差。當換能器和鋁棒連接后所測得的諧振頻率實際上是二者的組合頻率，如果換能器本身的諧振頻率并不十分精確，那么由此測得的組合頻率值會同鋁棒的諧振頻率值存在很大誤差。

因此，采用焊接換能器測試鋁棒諧振頻率時需要消除以上影響。根據(jù)聲波在圓棒中的傳播特性和圓棒作縱向振動時的頻率方程[4，5]，得到波速、頻率和長度的關(guān)系如下：

v=lnfn

(4)

(5)

式中：v為超聲波在圓棒中的傳播波速；n為振動階數(shù)；ln為波長。

圖1　鋁棒同換能器連接示意圖

2　物理模型

按照該方法，利用40kHz的焊接換能器測試直徑為25.1mm的鋁棒。未加工前樣件的原始長度為141.4mm，質(zhì)量為0.196 kg，計算得到材料密度為2801kg/m3。如果將鋁棒視為均勻材料，那么其縱向振動的諧振頻率受泊松比的影響很小，因此值采用經(jīng)驗值0.33。從原始尺寸開始逐漸減小鋁棒的長度，并用換能器測出相應(yīng)的頻率值，得到頻率長度曲線如圖2所示。由插值法得到諧振頻率40000Hz時對應(yīng)的全波長和半波長分別為123.8mm和60.9mm，二者差值62.9mm即為40000Hz對應(yīng)的準確的半波長度。通過方程(2)，計算得到鋁棒的楊氏模量為72.44GPa。

圖2　鋁棒長度與諧振頻率的關(guān)系曲線圖

3　有限元模型驗證

3.1　有限元理論

為了驗證測試的準確性，利用有限元軟件ANSYS對實驗結(jié)果進行仿真計算。有限元方法是以變分原理和剖分插值為基礎(chǔ)，對實際模型進行離散化、構(gòu)造插值函數(shù)，通過物理上的近似，認為實際點的行為由相鄰節(jié)點行為的插值關(guān)系來描述，于是把實際的物理問題離散化成求解節(jié)點未知量的代數(shù)方程組求解問題。ANSYS在處理結(jié)構(gòu)力學(xué)線性問題所依賴的有限元方程如下：

(6)

式中：[M]、[C]、[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，在結(jié)構(gòu)參數(shù)(包括幾何參數(shù)和材料參數(shù))給定，及有限元網(wǎng)格生成后，[M]、[C]、[K]已經(jīng)完全唯一確定了；{F}是載荷力向量。如果對模型進行模態(tài)分析，則{F}={0}，根據(jù)方程(6)，即為方程(7) 有非零解的本征值問題。

(7)

3.2　仿真結(jié)果

ANSYS模型尺寸直徑為25.1mm，長度62.9mm，網(wǎng)格劃分如圖3所示。設(shè)定參數(shù)如下：材料密度2801kg/m3，泊松比0.33，楊氏彈性模量72.44GPa，得到的半波長諧振頻率為39992Hz，振型如圖4，與理論值的誤差僅為8Hz。

圖3　ANSYS中的鋁棒模型及網(wǎng)格劃分圖

圖4　鋁棒的半波長簡諧振動振型圖

4　結(jié)論

通過有限元法證明，用超聲焊接換能器激發(fā)鋁棒的簡諧振動，根據(jù)長度及振動頻率的對應(yīng)關(guān)系求得鋁棒楊氏彈性模量的方法非常有效，為功率超聲設(shè)計提供了一種簡單方便而且成本較低的測試方法。

[1]馮若.超聲手冊.南京大學(xué)出版社，1999

[2]何存富，周辛庚，戴福隆.一種非接觸式測定材料彈性常數(shù)的新方法.力學(xué)學(xué)報，1997，29(6)

[3]ASTM標準E1786，C1259

[4]杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學(xué)基礎(chǔ).南京大學(xué)出版社，2001

[5]Rose,J L .固體中的超聲波.何存富，吳斌，王秀彥譯.科學(xué)出版社，2004

[6]花世群.利用洛埃鏡測鋼絲的楊氏彈性模量.計量技術(shù)，2002(5)

[7]阮小霞，花世群.用改進的邁克耳孫干涉儀測量楊氏模量.計量技術(shù)，2006(8)