謝 勇

（大理學(xué)院工程學(xué)院，云南大理 671003）

量子力學(xué)研究的主要對(duì)象是波函數(shù)，而波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性使得量子力學(xué)不能像經(jīng)典物理學(xué)那樣，體系的測(cè)量不會(huì)改變它的狀態(tài)，它只有一種變化并按運(yùn)動(dòng)方程演進(jìn)，運(yùn)動(dòng)方程對(duì)決定體系狀態(tài)的力學(xué)量做出確定的預(yù)言〔1〕。量子力學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用、符號(hào)運(yùn)算和矩陣運(yùn)算都十分抽象，所以量子力學(xué)的教學(xué)一直是我們不斷總結(jié)和探討的問(wèn)題。為了能有效提高量子力學(xué)的教學(xué)效率，有的學(xué)校采用了一些現(xiàn)代化的輔助教學(xué)措施〔2-3〕，部分學(xué)校做了一些教學(xué)模式、教學(xué)方法改革的嘗試〔4-6〕，均取得一定的效果。我們也采用過(guò)一些輔助措施來(lái)改進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué)〔7-8〕，但學(xué)生除了參與有限的課堂教學(xué)互動(dòng)以外，就只能被動(dòng)地去學(xué)習(xí)，不利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。近兩年，我們利用Mathematica和Matlab兩個(gè)平臺(tái)，為我校物理本科專業(yè)的學(xué)生開(kāi)設(shè)了量子力學(xué)的虛擬實(shí)驗(yàn)課，取得了一定的收效。本文將從量子力學(xué)的虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)和量子力學(xué)虛擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方面介紹我們的教改思路和教改實(shí)踐，以期能對(duì)同行的教學(xué)提供一個(gè)參考。

1 量子力學(xué)的虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

能夠?qū)崿F(xiàn)虛擬實(shí)驗(yàn)的平臺(tái)比較多，如遠(yuǎn)程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，局域網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和單機(jī)系統(tǒng)等等。由于我們的虛擬實(shí)驗(yàn)是在單機(jī)上完成的，所以我們重點(diǎn)對(duì)單機(jī)虛擬實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)平臺(tái)進(jìn)行了比較研究。針對(duì)我校物理專業(yè)本科學(xué)生的實(shí)際，我們選擇了Matlab 和Mathematica兩個(gè)平臺(tái)。

1.1 Matlab 平臺(tái)經(jīng)過(guò)不斷的系統(tǒng)更新，Matlab 已經(jīng)從最初的實(shí)現(xiàn)程序庫(kù)接口功能發(fā)展成為現(xiàn)在的將高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化集成在一起的大型數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，已被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、控制系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計(jì)工作〔9〕。Matlab的語(yǔ)法簡(jiǎn)單，編寫(xiě)容易，而且我校物理本科專業(yè)的學(xué)生在二年級(jí)就選修過(guò)Matlab，對(duì)軟件有一定的了解，所以我們選擇了部分量子力學(xué)的虛擬實(shí)驗(yàn)在Matlab上完成。

1.2 Mathematica 平臺(tái)Mathematica 是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)，以及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，它也是迄今為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。

Mathematica擁有大量的內(nèi)置函數(shù)，編程也很簡(jiǎn)單，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)沒(méi)有太大困難。在Wolfram Research 公司的網(wǎng)站上有專門的Wolfram Demonstrations Project 和 Wolfram Library Archive 欄目，其中有大量的量子力學(xué)（Quantum Mechanics）模擬實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)計(jì)算，以及相關(guān)的論文資料等，是很好的可利用資源。在教學(xué)中我們使用的是Mathematica 8.0的版本。

2 量子力學(xué)虛擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)

我們的學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)Mathematica，所以實(shí)驗(yàn)之前，教師先對(duì)程序中用到的主要函數(shù)、語(yǔ)句和語(yǔ)法規(guī)則進(jìn)行講解，然后讓學(xué)生自己將教師預(yù)編好的程序錄入計(jì)算機(jī)，并進(jìn)行調(diào)試和運(yùn)行。在程序能正確運(yùn)行的情況下，按照實(shí)驗(yàn)要求修改部分參數(shù)，完成實(shí)驗(yàn)并記錄試驗(yàn)結(jié)果。而對(duì)于Matlab 平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)，學(xué)生有一定的基礎(chǔ)，我們會(huì)要求學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中的部分程序小段，然后調(diào)試和運(yùn)行，修改實(shí)驗(yàn)參數(shù)，完成實(shí)驗(yàn)并記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果。我校物理本科專業(yè)的《量子力學(xué)》開(kāi)設(shè)64學(xué)時(shí)，其中我們安排了4個(gè)實(shí)驗(yàn)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)2學(xué)時(shí)。下面我們挑選出2個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行介紹和討論。

2.1 氫原子的電子云圖（Matlab）根據(jù)量子力學(xué)的不確定性原理，電子在空間所處的位置和動(dòng)量是不能同時(shí)被準(zhǔn)確測(cè)定的，所以，在量子力學(xué)中，電子并無(wú)嚴(yán)格的軌道概念，而只能研究其位置的分布概率。因此，我們只能利用某個(gè)點(diǎn)附近電子分布的概率密度來(lái)描述電子的運(yùn)動(dòng)，并把這種概率分布形象地稱為電子云。本實(shí)驗(yàn)的主旨就是用Matlab 來(lái)模擬不同電子數(shù)、不同電子能態(tài)的電子云圖和氫原子核外電子的徑向概率分布。

實(shí)驗(yàn)原理：氫原子最低的3 條能級(jí)的徑向波函數(shù)為〔10〕:

式中r為電子到原子核之間的距離，a為波爾半徑。以上波函數(shù)都應(yīng)滿足歸一化條件，而且概率密度是無(wú)量綱的，所以上面3 個(gè)波函數(shù)對(duì)應(yīng)的概率密度可表示為〔11〕：

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模孩俜謩e觀察電子數(shù)為20 000和2 000情況下1s，2s，3s能態(tài)對(duì)應(yīng)的電子云圖和徑向概率密度分布；②選擇更少的電子數(shù)，觀察3個(gè)能態(tài)電子云圖的變化，直觀感受波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性。

實(shí)驗(yàn)步驟：①在Matlab 的編輯器中錄入編制好的模擬實(shí)驗(yàn)程序，并在程序預(yù)留的“自行設(shè)計(jì)”區(qū)域，設(shè)計(jì)計(jì)算1s，2s，3s的徑向概率密度的程序，并繪制概率分布曲線；②調(diào)試程序；③運(yùn)行程序，并復(fù)制在電子數(shù)為20 000 和2 000 情況下3 個(gè)能態(tài)的電子云圖和徑向概率密度分布圖；④自由選擇電子數(shù)（少于2 000），觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果；⑤完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1～3 所示。由圖1 和圖3 可明顯看出電子云圖的差異，這充分顯示了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)電子云圖也有了更好的理解。

在實(shí)驗(yàn)的最后，我們要求同學(xué)選擇更少的電子數(shù)（2 000 以下）來(lái)查看電子云圖的分布，加深學(xué)生對(duì)波函數(shù)統(tǒng)計(jì)詮釋的理解。

圖1 電子數(shù)為20 000時(shí)的電子云圖

圖2 1s，2s，3s態(tài)的電子徑向概率分布

圖3 電子數(shù)為2 000時(shí)的電子云圖

2.2 估測(cè)一維諧振子的能量本征值（Mathematica）粒子處在勢(shì)場(chǎng)中的能量本征方程是量子力學(xué)的基本方程之一。求解能量本征方程的目的就是要找出能量本征值和能量本征函數(shù)。通常，一維諧振子的能量本征值是通過(guò)解Hermite 方程或者使用升降算符的代數(shù)解法得到的〔12-14〕。解Hermite 方程的過(guò)程很復(fù)雜，學(xué)生接受起來(lái)很吃力。代數(shù)解法雖然相對(duì)容易些，但我們教學(xué)中使用的是曾謹(jǐn)言編著的《量子力學(xué)教程》第二版，代數(shù)解法安排在第九章，而一維諧振子是第二章的內(nèi)容〔15〕。為了幫助學(xué)生更好地理解能量本征方程的意義，我們?cè)贛athematica 平臺(tái)上為學(xué)生設(shè)計(jì)了一個(gè)用打靶法（shooting method）〔16〕解一維諧振子能量本征值的虛擬實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)原理：一維諧振子的能量本征方程為

式中μ為經(jīng)典諧振子的質(zhì)量，w0是其自然頻率。為了便于求數(shù)值解，我們將方程（1）標(biāo)度化，可得

式中ε為標(biāo)度方程（2）的本征值。

束縛態(tài)的波函數(shù)是有界的，所以解方程（2）的邊界條件是ψ(±∞)→0 。按照shooting method 的思路，我們可以在ε=1，3等點(diǎn)的左右附近求出ψ～z的分布圖，根據(jù)圖形的變化情況以及曲線的交叉點(diǎn)數(shù)來(lái)確定ε=1，3是否是標(biāo)度方程（2）的本征值。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模孩偈煜だ肗DSolve 函數(shù)求解標(biāo)度方程的數(shù)值積分；②進(jìn)一步熟悉Mathematica 的使用；③熟悉shooting method的解題方法。

實(shí)驗(yàn)步驟：①將教師編制好的程序錄入計(jì)算機(jī)，并調(diào)試至正常運(yùn)行；②估算基態(tài)的本征值：首先猜解ε=0.99，繪出ψ～z曲線，然后再猜解ε=1.01，繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)。最后驗(yàn)證ε=1 是否就是標(biāo)度方程的本征值；③求ε=3 的數(shù)值解并繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否有而且僅有一個(gè)交叉點(diǎn)（node）；④將ε=1、3的波函數(shù)歸一化。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如預(yù)期的一樣，在ε=0.99和ε=1.01兩個(gè)點(diǎn)的ψ～z曲線出現(xiàn)了翻轉(zhuǎn)；ε=3 時(shí)，ψ～z曲線上有且僅有一個(gè)交叉點(diǎn)。結(jié)果如圖4～9所示。

圖4 ε=0.99

圖5 ε=1.01

圖6 ε=1.0

圖7 ε=3.0

圖8 ε=1.0歸一化波函數(shù)

圖9 ε=3.0歸一化波函數(shù)

3 總結(jié)

在本校物理本科專業(yè)的量子力學(xué)教學(xué)中，我們進(jìn)行了虛擬實(shí)驗(yàn)的教學(xué)嘗試，共設(shè)計(jì)了電子雙縫衍射、估測(cè)一維諧振子的能量本征值、隧道效應(yīng)，以及氫原子的電子云圖等4個(gè)實(shí)驗(yàn)。為了鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力，我們并沒(méi)有使用Matlab 的GUI 模塊對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行封裝，而是采用完全開(kāi)放的實(shí)驗(yàn)方式。教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)虛擬實(shí)驗(yàn)的熱情很高。為了做好實(shí)驗(yàn)，不少學(xué)生還在網(wǎng)絡(luò)上查閱相關(guān)的文獻(xiàn)資料，在實(shí)驗(yàn)中也能提出一些平時(shí)不關(guān)心的專業(yè)問(wèn)題。在期末考試我們發(fā)現(xiàn)，與虛擬實(shí)驗(yàn)相關(guān)的內(nèi)容，學(xué)生的正答率很高。

量子力學(xué)是一門與經(jīng)典物理學(xué)大相徑庭、抽象、數(shù)學(xué)依賴性很強(qiáng)的課程，其教學(xué)一直是個(gè)難點(diǎn)。虛擬實(shí)驗(yàn)教學(xué)的引入，可以幫助調(diào)整學(xué)生學(xué)習(xí)的心理和學(xué)習(xí)態(tài)度，開(kāi)闊學(xué)生的視野，對(duì)量子力學(xué)的教學(xué)起到了較好的促進(jìn)作用。

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