基于振幅方程組的行波對流的數(shù)值模擬

王卓運，寧利中，王娜，李開繼

(西安理工大學(xué) 陜西省西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點實驗室，陜西 西安 710048)

對流現(xiàn)象不僅在日常生活中很常見，同時也是自然界中很普遍的現(xiàn)象，比如：引起天氣、氣候變化的大氣環(huán)流、海洋環(huán)流，引起大陸板塊漂移的地幔對流，決定地磁場產(chǎn)生和變化的外地核對流等[1]。這些對流現(xiàn)象都涉及到了Rayleigh-Benard對流系統(tǒng)。Rayleigh-Benard對流則是研究熱對流現(xiàn)象的一個經(jīng)典模型，是指在一個封閉的腔體內(nèi)，其上表面溫度恒定，下表面加熱，從而形成溫度差導(dǎo)致腔體內(nèi)流體運動的流動現(xiàn)象。由于該系統(tǒng)試驗簡單且易于控制，以及描述該系統(tǒng)的精確方程已知，便于理論分析，故該模型已被普遍接受，是用來研究對流穩(wěn)定性、時空結(jié)構(gòu)和非線性特性的模型之一。

目前，對于Rayleigh-Benard對流問題研究手段主要有實驗研究、模型方程探討、流體力學(xué)方程數(shù)值模擬等方法[2-9]。王濤、葛永斌等人對腔體內(nèi)的對流進行了高精度數(shù)值模擬,對雙局部進行波的研究進一步進行了擴充，并研究了具有較弱Soret效應(yīng)下，附加一個微小的溫度擾動作為擾動源的中等長高比腔體內(nèi)混合流體對流系統(tǒng)中時空結(jié)構(gòu)的發(fā)展[10-12]。郝建武在長高比Γ=40、分離比ψ=-0.6的條件下，得到了一種新的現(xiàn)象，即單側(cè)缺陷擺動對傳行波，并對其形成機理與特性作了進一步探討[13]。在弱非線性的假定下，在分歧點附近通過級數(shù)展開等方法，人們已建立了各種模型方程或振幅方程。這些方程包括：Ginzbarg-Landau(GL)方程式、復(fù)數(shù)GL方程式、耦合的GL方程式、Kuramoto-Sivashinsky方程式、Swift-Hohenberg方程式等[14-21]。

目前，基于對流振幅來表征行波對流斑圖的研究報道還很少，本文利用Ginzbarg-Landau(GL)方程組，通過研究對流的振幅變化來探討行波對流的斑圖特性及非平衡體對流的非線性動力特性。

1 基本方程組

1.1 Ginzbarg-Landau(GL)方程組

本文研究行波對流的斑圖時選取如下GL方程組[15-16]：

(1)

(2)

式中A、B為行波對流的振幅，τ0、ξ0、s分別反映對流運動的特性時間、長度、行進波的群速度；g1、g2、k反映非線性系數(shù)。

定義參數(shù):

整理式(1)、(2),然后去掉方程(1)、(2)參數(shù)的“′”，則GL方程組可簡化為：

(3)

(4)

方程(3)、(4)中，v反映行波群速度，ε反映相對瑞利數(shù)，g代表非線性系數(shù)。

兩端采用反射邊界條件,方程形式為[16]：

(5)

(6)

其中 ，α、β為反射系數(shù)，計算中取α=-0.06,β=-0.06。

本文在計算時給出左行波振幅A和右行波振幅B的初值分別為:

式中L代表腔體長度。

1.2 振幅方程組的差分式

GL方程組簡化式經(jīng)過一階差分和二階差分，式子為：

(7)

(8)

左邊界方程的差分式為：

(9)

(10)

右邊界方程的差分式為：

(11)

(12)

2 結(jié)果與分析

通過對有限腔體長度L=20、L=40、L=60內(nèi)的對流進行模擬，分析了在不同腔體長度下，行波振幅隨相對瑞利數(shù)和群速度的變化，發(fā)現(xiàn)了行波振幅存在三種狀態(tài)：TI(Time independent),即行波的振幅不隨時間變化；TD(Time dependent),即行波的振幅對時間有依賴性，隨時間發(fā)生變化；Null,即行波的振幅為零。

將振幅狀態(tài)與實際流體斑圖狀態(tài)一一對應(yīng)，發(fā)現(xiàn)存在行波(Traveling wave(TW))、局部行波(Localized traveling wave (LTW))、對傳波(Counterpropagating waves (CPW)) 、Blinking traveling wave(BTW)斑圖。并在ε-v平面中根據(jù)行波對流振幅的變化情況進行了分區(qū)。

2.1 行波對流的斑圖

2.1.1 振幅狀態(tài)為TI的對傳波CPW

對于在腔體總長度為60個單位長度，群速度v=1.0，相對瑞利數(shù)ε=0.29的情況，得到了振幅狀態(tài)為TI的對傳波CPW，如圖1所示。通過對圖1的分析，得到以下特性。

經(jīng)過250個單位時間左右行波對流狀態(tài)都達到穩(wěn)定。在長度為60個單位長度的區(qū)間內(nèi)，左行波從腔體的最左端即L=0處到L=20處附近振幅為0.5，然后在L=20處振幅開始衰減，到L=35附近處開始衰減為零，一直延續(xù)到L=50附近振幅仍為零，而后一直到腔體的右邊壁L=60處行波振幅有小幅度的回升，其數(shù)量級是10-2級，大小可以忽略，在整個長度區(qū)間左行波保持這種狀態(tài)不隨時間變化而持續(xù)前進；右行波從腔體的最右端L=60處開始一直到L=45處附近行波振幅為0.5，隨后振幅開始出現(xiàn)連續(xù)性衰減，直到L=30個單位長度附近振幅為零，這種狀態(tài)一直延續(xù)發(fā)展到L=10處附近振幅仍為零，而后行波振幅出現(xiàn)“抬頭”并保持增長直到腔體的最左端L=0處，其數(shù)量級也是10-2級，大小可以忽略，右行波在整個腔體長度區(qū)間內(nèi)保持這種狀態(tài)且不隨時間發(fā)生變化而發(fā)展下去。

圖1 L=60, v=1.0, ε=0.29左右行波振幅

左右行波的振幅狀態(tài)達到穩(wěn)定后都不隨時間發(fā)生變化即振幅狀態(tài)為TI狀態(tài)，此種波在實際中對應(yīng)對傳波。

2.1.2 振幅狀態(tài)為TD的BTW

腔體長度L=60、群速度v=1.5、相對瑞利數(shù)ε=0.2的振幅情況如圖2所示。通過對圖2的分析，得到以下特性。

左右行波的對流狀態(tài)在達到穩(wěn)定后，其振幅均表現(xiàn)出了“雜亂”性，且振幅大小隨時間發(fā)生變化，即振幅狀態(tài)都為TD。

左行波振幅在腔體的左端開始發(fā)展，在L=10處附近振幅達到最大值0.4，而后出現(xiàn)連續(xù)性衰減直到腔體的最右端為零，隨著時間的發(fā)展，出現(xiàn)最大振幅區(qū)域的長度與整個腔體長度的比例時而變小，如250個單位時間到300個單位時間段；時而在整個腔體中振幅為零，如350個單位時間到390個單位時間段；時而變大，如425個單位時間到450個單位時間段。右行波也展現(xiàn)出了類似的特性。

此種波在實際中對應(yīng)Blinking traveling wave(BTW)。

圖2 L=60, v=1.5, ε=0.2左右行波振幅

2.1.3 振幅狀態(tài)為Null的行波

腔體長度L=60、群速度v=1.0、相對瑞利數(shù)ε=0.0的振幅情況如圖3所示。通過對圖3的分析，得到以下特性。

圖3 L=60, v=1.0, ε=0.0左右行波振幅

經(jīng)過300個單位時間對流達到穩(wěn)定。

達到穩(wěn)定狀態(tài)后左行波與右行波振幅都為零，且都不隨時間發(fā)生變化，即振幅狀態(tài)為Null。

左右行波振幅都為零，且不隨時間發(fā)生變化即振幅狀態(tài)為TI。

2.1.4 振幅狀態(tài)為TI的行波TW

腔體長度L=40、群速度v=0.2、相對瑞利數(shù)ε=0.6的振幅情況如圖4所示。通過對圖4的分析，得到以下特性。

圖4 L=40, v=0.2, ε=0.6左右行波振幅

經(jīng)過250個單位時間，左右行波對流狀態(tài)都達到穩(wěn)定。

在長度為40個單位長度的區(qū)間內(nèi)，左行波從腔體內(nèi)部L=5處到L=35處附近振幅為零，但在腔體的兩端L=0到L=5附近及L=35到L=40附近，振幅出現(xiàn)“抬頭”并保持增長，其數(shù)量級是10-2級，大小可以忽略。

右行波在整個腔體內(nèi)振幅大小恒為0.6，保持這種狀態(tài)且不隨時間發(fā)生變化地發(fā)展下去。

左右行波的振幅狀態(tài)達到穩(wěn)定后都不隨時間發(fā)生變化即振幅狀態(tài)為TI狀態(tài)，此種波在實際中對應(yīng)行波。

2.1.5 振幅狀態(tài)為TD且具有一定周期性的行波

腔體長度L=40、群速度v=1.5、相對瑞利數(shù)ε=0.3的振幅情況如圖5所示。通過對圖5的分析，得到以下特性。

圖5 L=40, v=1.5, ε=0.3左右行波振幅

左右行波振幅狀態(tài)表現(xiàn)為TD，但區(qū)別于BTW，即出現(xiàn)了一定的周期性和對稱性。左右行波的變化周期均為100個單位時間左右。

2.1.6 振幅狀態(tài)為TI的局部行波LTW

腔體長度L=20、群速度v=0.5、相對瑞利數(shù)ε=0.2的振幅情況如圖6所示。通過對圖6的分析，得到以下特性。

圖6 L=20, v=0.5, ε=0.2左右行波振幅

右行波在腔體兩端同時連續(xù)增長，最終在腔體中間L=4到L=12區(qū)域振幅保持最大值0.4;左行波振幅在整個腔體內(nèi)一直為零，但在腔體的左端有輕微“抬頭”，數(shù)值可以忽略。腔體中僅僅留下右行波。

左右行波振幅狀態(tài)表現(xiàn)為TI狀態(tài)，對應(yīng)局部行波。

2.2 振幅狀態(tài)分區(qū)圖

2.2.1L=60的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

在長度L=60的腔體內(nèi)，筆者研究了行波振幅隨群速度v在0.0～2.0、相對瑞利數(shù)ε在-0.20～0.60的范圍內(nèi)的分區(qū)情況，如圖7所示。

圖7 L=60的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

群速度v=0時: 臨界狀態(tài)出現(xiàn)在相對瑞利數(shù)ε=-0.01處，此時當(dāng)相對瑞利數(shù)ε再增大0.01即ε=0.00時行波振幅隨時間的變化情況就發(fā)生明顯變化：-0.20≤ε≤-0.01時，左右行波穩(wěn)定后,行波振幅都變?yōu)榱?，即處于Null區(qū)域；0.00≤ε≤0.60時，左右行波穩(wěn)定后, 左右行波振幅不隨時間變化，即處于TI區(qū)域。同理，在v=0.25時臨界點ε=0.00；在v=0.5時臨界點ε=0.02。

群速度v=0.75：-0.20≤ε≤0.03時，行波振幅處于Null區(qū)域；0.14≤ε≤0.15時，處于TD區(qū)域；0.16≤ε≤0.60時，行波振幅處于TI區(qū)域。同理，在v=1.0時有兩個臨界點ε=0.04和ε=0.28；在v=1.25時有臨界點ε=0.05和ε=0.42。

群速度v=1.5：-0.20≤ε≤0.05時，行波振幅處于Null區(qū)域；0.06≤ε≤0.60時，行波振幅處于TD區(qū)域。同理，在v=1.75時臨界點是ε=0.07；在v=2.0時臨界點是ε=0.07。

在群速度v=0.0到v=0.55，行波振幅狀態(tài)劃分為Null與TI兩個區(qū)域; 在群速度v=0.55到v=2.0，行波振幅狀態(tài)劃分為Null、TD及TI三個區(qū)域。

2.2.2L=40的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

L=40的行波振幅分區(qū)圖如圖8所示。v=0、 -0.20≤ε≤ -0.02時，行波振幅處于Null區(qū)域；v=0，-0.01≤ε≤0.60時，行波振幅處于TI區(qū)域。同理，在v=0.25時臨界點ε=0.01,在v=0.5時臨界點ε=0.03。

圖8 L=40的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

群速度v=0.75：-0.20≤ε≤ 0.06時，行波振幅處于Null區(qū)域；0.07≤ε≤ 0.13時，即處于TD區(qū)域；0.14≤ε≤ 0.60時，行波振幅處于TI區(qū)域。同理，在v=1.0時有兩個臨界點ε=0.06和ε=0.27；在v=1.25時有臨界點ε=0.06和ε=0.43。

群速度v=1.5：-0.20≤ε≤ 0.08時，行波振幅處于Null區(qū)域；0.09≤ε≤ 0.60時，行波振幅處于TD區(qū)域。同理，在v=1.75時臨界點ε=0.09；在v=2.0時臨界點ε=0.10。

在群速度v=0.0到v=0.75，行波振幅狀態(tài)劃分為Null與TI兩個區(qū)域，在群速度v=0.75到v=2.0，行波振幅狀態(tài)劃分為Null、TD及TI三個區(qū)域。

2.2.3L=20的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

在長度L=20的腔體內(nèi)，左右行波振幅的劃分區(qū)域如圖9所示。

圖9 L=20的行波振幅狀態(tài)分區(qū)

群速度v=0：相對瑞利數(shù)-0.20≤ε≤ 0.00時，處于Null區(qū)域；0.01≤ε≤ 0.60時，處于TI區(qū)域。同理，在v=0.25時有臨界點ε=0.02；在v=0.5時有臨界點ε=0.06;v=0.75時有臨界點ε=0.10。

群速度v=1.0：-0.20≤ε≤0.13時，行波振幅處于Null區(qū)域；0.14≤ε≤0.32時，處于TD區(qū)域；0.33≤ε≤0.60時，行波振幅處于TI區(qū)域。同理，在v=1.25時有臨界點ε=0.15和ε=0.50。

群速度v=1.5：相對瑞利數(shù)-0.20≤ε≤0.17時，處于Null區(qū)域；0.18≤ε≤0.60時，行波振幅處于TD區(qū)域。同理，在v=1.75時臨界點ε=0.20；在v=2.0時臨界點ε=0.22。

在群速度v=0.0到v=0.8，行波振幅狀態(tài)劃分為Null與TI兩個區(qū)域; 在群速度v=0.8到v=2.0，行波振幅狀態(tài)劃分為Null、TD及TI三個區(qū)域。

3 結(jié) 語

在腔體長度一定的情況下影響振幅狀態(tài)的參數(shù)主要有兩個：群速度與相對瑞利數(shù)。

隨著群速度v與相對瑞利數(shù)ε變化，腔體長度L=20、L=40、L=60的振幅都被劃分為“TI、TD、Null”三個區(qū)域，即時間獨立區(qū)、時間依賴區(qū)、零振幅區(qū)。

在TI區(qū)，行波振幅不依賴于時間，即行波振幅達到穩(wěn)定狀態(tài)后不隨時間而改變。它包括兩種情況：①均勻行波，即左行波振幅穩(wěn)定且不為零，右行波振幅穩(wěn)定且為零，或者右行波振幅穩(wěn)定且不為零，左行波振幅穩(wěn)定且為零；②對傳波，即左右行波振幅同時穩(wěn)定存在且都不為零。

在TD區(qū)，行波振幅依賴于時間，即行波振幅達到穩(wěn)定狀態(tài)后隨時間而變化，它包括兩種情況：①BTW，即左右行波振幅都隨時間在發(fā)生變化且雜亂無章；②空間周期性，即左右行波振幅隨時間在發(fā)生變化但出現(xiàn)一定的對稱性，具有周期性。

腔體長度L=20、L=40、L=60，在TI區(qū)域振幅都是經(jīng)過了250個單位時間達到穩(wěn)定；在Null區(qū)域振幅都是經(jīng)過了300個時間單位達到穩(wěn)定。

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