宋 超，原菲菲 ，尚 姣，士子遠

（1.河南省國土資源廳 信息中心，河南 鄭州 450016；2.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京 100083）

1978年之前，我國普遍采用北京54坐標系統(tǒng)；之后，開始嘗試新的西安80坐標系統(tǒng)[1,2]。北京54坐標系統(tǒng)采用的是克拉索夫斯基橢球體參數(shù)[3]，西安80坐標系統(tǒng)采用的是IAG-75地球橢球參數(shù)。雖然2個坐標系統(tǒng)選取的參考橢球模型不同，但2種地球橢球模型從本質(zhì)上說是同源的，即二者均是在真實地球體的基礎(chǔ)上抽象概括出來的。因此，通過幾何空間直角坐標系統(tǒng)進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換是可行的。

1 坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換模型的選取

要實現(xiàn)北京54坐標數(shù)據(jù)向西安80坐標數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換，需嚴格遵循2種坐標系統(tǒng)參數(shù)間的數(shù)學(xué)映射邏輯[4,5]。在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換時，首先需創(chuàng)建或是選取一整套參數(shù)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型。

Bursa-Wolf模型又稱七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型[6-8]，包括7個轉(zhuǎn)換參數(shù)[9,10]，即X平移、Y平移、Z平移、X旋轉(zhuǎn)、Y旋轉(zhuǎn)、Z旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)k。利用Bursa-Wolf轉(zhuǎn)換模型進行坐標系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換，需用到上述模型轉(zhuǎn)換參數(shù)，對于未知的轉(zhuǎn)換參數(shù)，需預(yù)先求解。具體求解過程如下：

①獲取研究地區(qū)3個或3個以上的已知北京54坐標系統(tǒng)的坐標，并構(gòu)建未知坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)的數(shù)學(xué)方程組；②求解方程組中未知變量的最小二乘解；③將所求解的方程變量（即轉(zhuǎn)換參數(shù)）和已知的轉(zhuǎn)換參數(shù)引入到Bursa-Wolf模型中，對已知坐標點進行目標坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，即可獲取目標大地測量坐標（西安80坐標）系統(tǒng)下的對應(yīng)坐標。

Bursa-Wolf坐標轉(zhuǎn)換模型如下：

式中，X0、Y0、Z0分別指大地測量坐標系在x、y和z方向上的平移參數(shù)；εx、εy、εz分別是坐標系在 x、y、z方向上的旋轉(zhuǎn)參數(shù)；X54、Y54、Z54是當前坐標點在北京54坐標系統(tǒng)中的坐標；X80、Y80、Z80是大地點在西安80坐標系中的坐標。矩陣模型的線性方程組表達式為：

上述線性方程組對應(yīng)的矩陣方程表達式為AS=B：

求解轉(zhuǎn)換模型中的待定參數(shù)矩陣B需要3個或是3個以上的原坐標系界址點（即圖形要素的邊界拐點）對應(yīng)的北京54坐標及其對應(yīng)的西安80真實坐標。

Bursa-Wolf坐標轉(zhuǎn)換模型求取參數(shù)時采用最小二乘法，然而最小二乘法往往會涉及到矩陣的求逆運算。該求解方法不僅求解過程相當復(fù)雜，而且還會導(dǎo)致所求結(jié)果的數(shù)值不穩(wěn)定[11]。

設(shè)有n個已知界址點對應(yīng)的北京54坐標及對應(yīng)的西安80坐標，則其誤差方程的系數(shù)A為3n×7階矩陣。利用QR矩陣分解法可將系數(shù)陣A分解為：

式中，Q為3n×3n的正則正交矩陣；R為3n×7的上三角矩陣。由于Q正交，QTQ =E，代入式(3)，得到QRS=B，進一步變形，得到QTQ RS=QTB，即

式中，S為轉(zhuǎn)換參數(shù)矩陣。如此，矩陣方程RS = QTB無需通過矩陣求逆就可得到轉(zhuǎn)換參數(shù)矩陣X的最小二乘解。

運用QR矩陣分解法進行轉(zhuǎn)換參數(shù)（即矩陣參數(shù)）的求解，然后分別把所求的參數(shù)代入矩陣方程式AS=B，從而實現(xiàn)對目標坐標數(shù)據(jù)的統(tǒng)一轉(zhuǎn)換。

模型轉(zhuǎn)換參數(shù)一旦求解完成，即可引入Bursa-Wolf模型完成模型的構(gòu)建；再將目標的北京54系數(shù)據(jù)輸入模型轉(zhuǎn)換工具主界面，即可完成北京54坐標系向西安80坐標系的平穩(wěn)轉(zhuǎn)換。

2 轉(zhuǎn)換工具數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

以某地區(qū)實際測量點的大地測量坐標，選取3個樣本點，輸入轉(zhuǎn)換參數(shù)計算界面，獲取未知的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)。樣本點的北京54坐標系坐標和西安80坐標系坐標見表1。

表1 樣本界址點坐標列表

通過本文設(shè)計的轉(zhuǎn)換工具求解的七參數(shù)分別為：

表2 樣本界址點坐標轉(zhuǎn)換對比表

根據(jù)表2分別計算樣本界址點在X軸、Y軸及Z軸方向上的轉(zhuǎn)換差值均值及

然后，分別計算轉(zhuǎn)換差值的樣本方差Sx2、Sy2及Sz2：

顯然，本轉(zhuǎn)換工具轉(zhuǎn)換的坐標值在X軸、Y軸及Z軸方向上的平均差值相對較小，轉(zhuǎn)換精度較可靠。

5 結(jié) 語

根據(jù)Bursa-Wolf轉(zhuǎn)換模型，結(jié)合面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計思想，研發(fā)大地測量數(shù)據(jù)的坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換工具，用于北京54坐標系數(shù)據(jù)向西安80坐標系的轉(zhuǎn)換。利用矩陣QR分解法求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，既避免了常規(guī)的最小二乘求解方法可能導(dǎo)致的數(shù)值的不穩(wěn)定性，也簡化了求解過程，經(jīng)檢驗該工具轉(zhuǎn)換精度穩(wěn)定、可靠。

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