以給定的三次Bézier曲線為邊界測(cè)地線的雙三次Bézier曲面構(gòu)造

郭清偉， 胡 梅

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

在日常生活中會(huì)遇到許多需要構(gòu)造曲面的問(wèn)題。特別是在服裝設(shè)計(jì)，制鞋等行業(yè)。通常要求設(shè)計(jì)者根據(jù)給定的曲線設(shè)計(jì)出需要的曲面，而給定的曲線是不允許改變的，但可以通過(guò)修改其他地方來(lái)滿足人們的審美要求。將給定的曲線作為所要構(gòu)造的曲面的測(cè)地線在很多地方越來(lái)越受到設(shè)計(jì)者的青睞。而測(cè)地線就是曲面上測(cè)地曲率處處為零的曲線。

以給定的曲線為邊界測(cè)地線構(gòu)造曲面，一直受到國(guó)內(nèi)外研究者的關(guān)注。Wang[1]利用Frenet標(biāo)架研究了以給定曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題，所構(gòu)造的曲面為直紋面，給出了所構(gòu)造曲面以給定曲線為邊界測(cè)地線的充要條件；文獻(xiàn)[2]對(duì)給定的三次Bézier曲線，利用所構(gòu)造曲面的切平面與所給曲線的法平面之間所應(yīng)滿足的關(guān)系，研究了以給定的三次Bézier曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題，避免了利用Frenet標(biāo)架和曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)化，所構(gòu)造的曲面也是直紋面；文獻(xiàn)[3]把以給定多項(xiàng)式曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了插值問(wèn)題?；贖ermite插值方法，文獻(xiàn)[4]研究了以給定的兩條空間曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造問(wèn)題。文獻(xiàn)[5-6]討論了給定空間四條多項(xiàng)式或有理Bézier曲線構(gòu)成的曲邊四邊形，構(gòu)造張量積Bézier曲面，使所構(gòu)造的曲面以給定的曲線為邊界測(cè)地線的問(wèn)題。以給定的空間曲線為邊界測(cè)地線構(gòu)造三角Coons曲面片的問(wèn)題，在文獻(xiàn)[7]中進(jìn)行了討論。Li等[8]討論了以給定的空間三次多項(xiàng)式Bézier曲線為邊界測(cè)地線的可展曲面的構(gòu)造及1G連續(xù)性問(wèn)題。

本文利用一條曲線為所在曲面的測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)它的從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合這一論斷，解決了如下問(wèn)題：對(duì)給定的三次Bézier曲線，如何構(gòu)造雙三次Bézier曲面，使該Bézier曲面以給定的Bézier曲線為其邊界測(cè)地線的問(wèn)題；所構(gòu)造Bézier曲面的控制頂點(diǎn)與給定Bézier曲線的控制定點(diǎn)之間的關(guān)系問(wèn)題；具有給定測(cè)地線的組合雙三次Bézier曲面的連續(xù)性如何的問(wèn)題。

1 背景知識(shí)

本節(jié)給出本文所需的基本概念和引理。

定義1.設(shè)P0,P1,…,Pn∈R2或R3，稱(chēng)參數(shù)曲線。

為n次Bézier曲線。其中為n次Bernstein基函數(shù)。

定義2.設(shè)稱(chēng)參數(shù)曲面。

為m×n次張量積Bézier曲面。其中(u)和(u)為m和n次Bernstein基函數(shù)。

曲面上的測(cè)地線是曲面上一類(lèi)重要的曲線，被稱(chēng)為 “曲面直線”。關(guān)于測(cè)地線有如下引理。

引理[9].設(shè)曲面S∶r=r(u,v)上一曲線C∶u=u(t),v=v(t)(t為參數(shù))，其主法向量為N，曲面S在C上的法向量為n，則曲線C為測(cè)地線的充要條件為：N//n。

2 以給定曲線為邊界測(cè)地線的曲面構(gòu)造

本節(jié)主要給出以給定的空間三次Bézier曲線為邊界測(cè)地線的雙三次張量積Bézier曲面的構(gòu)造方法。

定理1.給定三次Bézier曲線

證明.由定理?xiàng)l件顯然有P(u,0)=P(u)，u∈[0,1]。

下證P(u,0)為曲面P(u,v)的邊界測(cè)地線。

因?yàn)椋?/p>

所以由式(2)~(3)得：

由Pi0=Pi(i=0,1,2,3)和式(1)得曲面P(u,v)在邊界P(u,0)上關(guān)于u和v的偏導(dǎo)數(shù)分別為

由式(2)和式(4~6)可知曲線(,0)()Pu=Pu的主法向量與曲面P(u,v)在邊界P(u,0)上法向量滿足

所以由引理可知P(u,0)為曲面P(u,v)的邊界測(cè)地線。

由定理1可得如下推論:

推論1.給定不相交的三次Bézier曲線取如式(1)，

證明.定理1已給出P(u,0)為曲面P(u,v)的邊界測(cè)地線的證明，證明P(u,1)為曲面P(u,v)的邊界測(cè)地線的方法與定理1相同。

3 給定曲線為邊界測(cè)地線的組合曲面的連續(xù)性

本節(jié)主要討論具有給定測(cè)地線的組合曲面的連續(xù)性問(wèn)題。具體地說(shuō)就是給定空間兩對(duì)三次Bézier曲線和其中P1(u)與P2(u)不相交、Q1(u)與Q2(u)不相交，按推論1，可構(gòu)造雙三次Bézier曲面P(u,v)和Q(u,v)滿足P(u,0)=P1(u)，P(u,1)=P2(u)，Q(u,0)=Q1(u)，Q(u,1)=Q2(u)，且P1(u)，P2(u)為P(u,v)的邊界測(cè)地線，Q1(u)，Q2(u)為Q(u,v)的邊界測(cè)地線，如果曲線P1(u)與Q1(u)是C2連續(xù)的且P2(u)與Q2(u)是C2連續(xù)的，即(1)=(0)(i=0,1,2;j=1,2)，那么雙三次Bézier曲面P(u,v)和Q(u,v)的連續(xù)性如何？

關(guān)于具有給定測(cè)地線的組合曲面的連續(xù)性有如下定理：

定理2.給定空間兩對(duì)三次Bézier曲線和其中P1(u)與P2(u)不相交、Q1(u)與Q2(u)不相交，取Pi0=Pi,Pi3=(i=0,1,2,3)，Pi1(i=0,1,2,3)如式(8)，Pi2(i=0,1,2,3)如式(9)和Qi0=Qi,Qi3=(i=0,1,2,3)，Qi1(i=0,1,2,3)如式(10)，Qi2(i=0,1,2,3)如式(1)。

構(gòu)造Bézier曲面P(u,v)和如果Bézier曲線P1(u)與Q1(u)是C2連續(xù)的且Bézier曲線P2(u)與Q2(u)是C2連續(xù)的，即(1)=(0)(i=0,1,2;j=1,2)，那么雙三次Bézier曲面P(u,v)和Q(u,v)是C2連續(xù)的。這里α,β為非零常數(shù)。

證明.因?yàn)镻i0=Pi,Qi0=Qi(i=0,1,2,3)且(1)=(0)(i=0,1,2)，

所以有：

把式(13)代入式(14)得：

把式(12)、(13)、(15)代入式(16)得：

類(lèi)似可證明：

又因?yàn)镻i3=,Qi3=(i=0,1,2,3)且(1)=(0)(i=0,1,2)

所以有:

類(lèi)似可證明：

由式(12~14)、式(17~25)可得：

由式(26)知雙三次Bézier曲面P(u,v)和Q(u,v)是C2連續(xù)的。

4 實(shí) 例

為了說(shuō)明所給構(gòu)造約束曲面的方法的有效性，本節(jié)給出一些實(shí)例(圖1~3)。

圖1 具有同一邊界測(cè)地線的兩雙三次Bézier曲面

圖2 兩對(duì)2C連續(xù)的三次Bézier曲線

圖3 以給定曲線為邊界測(cè)地線的曲面組合雙三次Bézier曲面

5 總 結(jié)

利用一條曲線為所在曲面的測(cè)地線的充要條件是它從切面與該曲面在這條曲線上的切平面重合，給出以給定的三次Bézier曲線為邊界測(cè)地線的雙三次Bézier曲面的構(gòu)造方法。得到了用所給曲線控制定點(diǎn)表示所構(gòu)造曲面的控制定點(diǎn)的表示式。討論了具有給定測(cè)地線的組合Bézier曲面的連續(xù)性。以兩條、三條曲線為邊界測(cè)地線所構(gòu)造的Bézier曲面，在實(shí)際應(yīng)用中并沒(méi)有太大的應(yīng)用價(jià)值，且曲面的構(gòu)造在實(shí)現(xiàn)上也沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的困難；而構(gòu)造四條邊界均為所構(gòu)造曲面的邊界測(cè)地線的Bézier曲面既有較大的實(shí)用價(jià)值，又有較大的挑戰(zhàn)性，因此對(duì)給定的n次(n≥4)Bézier曲線，如何構(gòu)造以給定曲線為邊界測(cè)地線的Bézier曲面，以及如何構(gòu)造四條邊界均為所構(gòu)造曲面的邊界測(cè)地線的Bézier曲面構(gòu)造問(wèn)題將在另文討論。

[1] Wang Guojin,Tang Kai,Tai Chiewlan.Parametric representation of a surface pencil with a common spatial geodesic [J].Computer-Aided Design,2004,36(5):447-459.

[2] Paluszny M.Cubic polynomial patches through geodesics [J].Computer-Aided Design,2008,40(1):56-61.

[3] Sánchez-Reyes J,Dorado R.Constrained design of polynomial surfaces from geodesic curves [J].Computer-Aided Design,2008,40(1): 49-55.

[4] Sprynski N,Szafran N,Lacolle B,Biard L.Surface reconstruction via geodesic interpolation [J].Computer-Aided Design,2008,40(4): 480-492.

[5] Farouki RT,Szafran N,Biard L.Construction of Bézier surface patches with Bézier curves as geodesic boundaries [J].Computer-Aided Design,2009,41(11):772-781.

[6] Farouki RT,Szafran N,Biard L.Existence conditions for Coons pathes interpolating geodesic boundary curves [J].Computer Aided Geometric Design,2009,26(5): 599-614.

[7] Farouki RT,Szafran N,Biard L.Construction and smoothing of triangular Coons patches with geodesic boundary curves [J].Computer Aided Geometric Design,2010,27(4): 301-312.

[8] Li Caiyun,Wang Renhong,Zhu Chungang.Design andG1connection of developable surfaces through Bézier geodesics [J].Applied Mathematics and Computation,2011,218(7): 3199-3208.

[9] 宋衛(wèi)東.微分幾何[M].北京: 科學(xué)出版社,2009:82-89.