新四維超混沌系統(tǒng)分析與仿真研究

周小勇 韓曉新

（江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，江蘇 常州213001）

0 引言

現(xiàn)今混沌理論正由基礎(chǔ)研究向工程應(yīng)用發(fā)展，并取得了很大突破，如在保密通信、圖像加密等信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用。但研究表明，在混沌加密的保密通信中，采用低維混沌信號(hào)實(shí)施加密往往容易被破譯，而采用高維的超混沌信號(hào)卻難以破譯［1－2］。因相比于三維混沌系統(tǒng)，高維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號(hào)具有較寬的頻率特性，難以被濾波器有效濾除，其動(dòng)力學(xué)行為比一般混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜，用其進(jìn)行信息加密具有更好的安全性能，因此，圍繞超混沌信號(hào)產(chǎn)生與應(yīng)用的研究成為混沌動(dòng)力學(xué)的熱點(diǎn)之一。對(duì)于超混沌信號(hào)生成的研究，人們?cè)缫殃P(guān)注，目前較為有效的方法是在現(xiàn)有三維混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上，通過(guò)增加一個(gè)狀態(tài)反饋控制器或一個(gè)外部激勵(lì)來(lái)獲得超混沌［2－3］。

本文提出了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，研究了該四維系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性，驗(yàn)證了系統(tǒng)的超混沌特性。最后設(shè)計(jì)了該超混沌系統(tǒng)的電路原理圖，并進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了該系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性。

1 新四維超混沌系統(tǒng)描述與理論分析

1.1 新四維超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

本文提出的新四維混沌系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型描述為：

其中，a、b、c和d 是實(shí)常數(shù)。當(dāng)a＝25、b＝25、c＝15和d＝20時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)典型的混沌吸引子，如圖1所示。由吸引子相圖可以發(fā)現(xiàn)，相圖中的軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性。這個(gè)混沌吸引子與現(xiàn)有的典型混沌系統(tǒng)的吸引形狀完全不同，如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)以及Qi系統(tǒng)等［4－8］。

1.2 系統(tǒng)混沌特性基本理論分析

本文所提出的混沌系統(tǒng)，其吸引子具有一般混沌吸引所具有的對(duì)稱(chēng)性及坐標(biāo)變化不變性，即（x，y，z，u）→（－x，－y，z，－u）變換下具有不變性，系統(tǒng)的相圖關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)，這種對(duì)稱(chēng)對(duì)系統(tǒng)所有參數(shù)均成立，系統(tǒng)具有對(duì)稱(chēng)性。另外，當(dāng)令系統(tǒng)（1）［指式（1）所表示的混沌模型］的右邊等于0時(shí)，解得系統(tǒng)唯一平衡點(diǎn)為s0＝（0，0，0，0），把系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)s0＝（0，0，0，0）處線性化，得Jacobi矩陣J0。

圖1 系統(tǒng)混沌吸引子相圖

當(dāng)a＝25、b＝25、c＝15和d＝20時(shí)，可由J0得系統(tǒng)的特征方程f（λ）＝0，并計(jì)算出平衡點(diǎn)s0處的特征值λ1＝－25、λ2＝14.933、λ3＝0.067及λ4＝－20，特征值中2個(gè)為正，2個(gè)為負(fù)，因此平衡點(diǎn)s0是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

對(duì)于混沌系統(tǒng)，還可采用Lyapunov指數(shù)（LE）描述動(dòng)力學(xué)特性，特別是最大LE，它是判斷系統(tǒng)是否為混沌的重要特征量［2］。目前有關(guān)計(jì)算系統(tǒng)最大LE的方法有多種，本文采用奇異值分解的計(jì)算方法得系統(tǒng)（1）的4個(gè)LE，分別為L(zhǎng)E1＝2.228 7、LE2＝0.179 8、LE3＝－0.225 7和LE4＝－40.409 1，其中2個(gè)為正，說(shuō)明該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)為混沌狀態(tài)且為超混沌狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，還可計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)，由前面所得LE，采用式（2）計(jì)算得最終結(jié)果。該結(jié)果說(shuō)明該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù)，進(jìn)一步證明系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

值得關(guān)注的是，本文提出的超混沌系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)取一些特定值時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)出一些較為奇特的吸引子結(jié)構(gòu)圖（圖2）。當(dāng)a＝1而其他參數(shù)保持不變時(shí)，系統(tǒng)y－z相圖如圖2（a）所示，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為復(fù)雜的周期狀態(tài)；當(dāng)c＝7.5而其他參數(shù)不變時(shí)，系統(tǒng)x－z相圖如圖2（b）所示，系統(tǒng)吸引子結(jié)構(gòu)形如2片羽毛。

圖2 a,c取特定值時(shí)系統(tǒng)的相圖

2 新系統(tǒng)參數(shù)敏感性仿真研究

對(duì)于混沌系統(tǒng)參數(shù)敏感性的研究，為了直觀地描述出參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)變化特征，采用LE譜和分岔圖相結(jié)合的圖示法進(jìn)行仿真研究。因篇幅所限，本文僅研究a變化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，即固定b＝25、c＝15和d＝20，只改變a，當(dāng)a∈［0，28.5］變化時(shí)，系統(tǒng)的LE譜以及系統(tǒng)狀態(tài)y分岔圖如圖3所示。對(duì)于四維系統(tǒng)，當(dāng)有一個(gè)LE＞0時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；而當(dāng)系統(tǒng)存在2個(gè)LE＞0時(shí)，系統(tǒng)就處于超混沌狀態(tài)［3，9］。由圖3（a）不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的LE隨a變化的特征，LE譜圖表明系統(tǒng)隨著a的增大由周期狀態(tài)到超混沌狀態(tài)再到混沌狀態(tài)及周期狀態(tài)的演化過(guò)程，系統(tǒng)的狀態(tài)及Lyapunov指數(shù)如表1所示。圖3（b）的｜y｜－a分岔圖也說(shuō)明了系統(tǒng)的這一演化過(guò)程。至于其他參數(shù)，也可采用這一方法進(jìn)行仿真研究。

圖3 系統(tǒng)隨a變化時(shí)的LE譜和分岔圖

表1 參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)及對(duì)應(yīng)Lyapunov指數(shù)

從以上分析可知，參數(shù)a的變化影響著系統(tǒng)的狀態(tài)，系統(tǒng)有著十分豐富的混沌動(dòng)力學(xué)行為特征。

3 系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)與仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出其電路原理圖，采用相應(yīng)的電子元器件構(gòu)建其物理電路，具體如圖4所示，即采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器和模擬乘法器來(lái)實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算放大器采用LM741，主要完成加、減和積分運(yùn)算，模擬乘法器采用AD633，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)。仿真實(shí)驗(yàn)所采用軟件為Multisim，仿真結(jié)果如圖5所示，表明電路仿真與數(shù)值仿真非常吻合。上述理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)，本文提出的四維自治非線性系統(tǒng)是一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，它具有一切超混沌系統(tǒng)的共同特征。

圖4 系統(tǒng)電路原理圖

圖5 系統(tǒng)電路仿真混沌吸引子相圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的四維超混沌系統(tǒng)，通過(guò)理論分析、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等，證實(shí)了該系統(tǒng)可以產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象，并重點(diǎn)分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，給出了隨系統(tǒng)參數(shù)變化的LE譜和分岔圖。最后，設(shè)計(jì)了該超混沌系統(tǒng)的電子電路，并進(jìn)行了電路的EWB仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果十分吻合，表明了該超混沌系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性，所以，該超混沌系統(tǒng)在弱信號(hào)檢測(cè)和數(shù)據(jù)加密等領(lǐng)域中有著潛在的應(yīng)用價(jià)值。

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