解永良

[摘 要] 筆者認(rèn)為新課程目標(biāo)對我們的學(xué)生提出了新的要求，明確了要讓學(xué)生在親歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中獲得關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的個(gè)性化經(jīng)驗(yàn). 時(shí)至今日，盡管新課程標(biāo)準(zhǔn)已實(shí)施多年，但筆者在參加教研活動(dòng)中經(jīng)常看到一線教師就如何讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)中生成數(shù)學(xué)的問題普遍存在“穿新鞋走老路”的現(xiàn)象，本文結(jié)合一堂“方差”公開課，談一些思考.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)生；親歷；探索；過程

■ 課堂實(shí)錄

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：班內(nèi)周麗和程洋是跳繩高手，在體育課上做1分鐘跳繩運(yùn)動(dòng)，他們倆的五次成績記錄如下，單位（個(gè)）：

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請同學(xué)們分析兩人的跳繩成績情況，如果要推薦一位同學(xué)參加學(xué)校的跳繩比賽，你認(rèn)為選誰？

生1：選周麗！雖然程洋和周麗五次跳繩的平均成績一樣，但是周麗的最好成績是一分鐘185個(gè)，我認(rèn)為周麗的成績更好.

生2：選程洋！我認(rèn)為盡管程洋和周麗五次跳繩的平均成績一樣，但程洋成績穩(wěn)定，因?yàn)樗奈宕纬煽冎凶詈玫囊淮问?74，最差的一次是167，極差為7；周麗最好的一次是185，最差的一次是162，極差為23，所以周麗成績的穩(wěn)定性較差.

師：現(xiàn)在有兩種觀點(diǎn)，請同學(xué)們討論一下，你同意選誰？

教師給出折線圖（圖1），幫助學(xué)生思考.

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學(xué)生經(jīng)過一番討論，最后達(dá)成共識(shí)：程洋的成績比較穩(wěn)定，五次成績大部分都集中在170附近，說明程洋的成績離散程度比較??！而周麗的成績極差比較大，五次成績的離散程度比較大.

此時(shí)班上一位成績較好的學(xué)生舉手要求發(fā)言.

生3：我認(rèn)為極差大不能說明一組數(shù)據(jù)的離散程度大！

師：生3有新的觀點(diǎn)，非常好！那么，一組數(shù)據(jù)的極差究竟能否說明其離散程度的大小呢？請大家思考、討論.

評(píng)注1？搖 用班上兩名同學(xué)的5次跳繩成績作為原始數(shù)據(jù)讓學(xué)生探討，從不同角度評(píng)價(jià)兩人的情況，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)離他們的生活很近，這樣的設(shè)計(jì)能讓全體學(xué)生都參與進(jìn)來，同時(shí)還復(fù)習(xí)了前面的平均數(shù)、極差、統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，對于生3的觀點(diǎn)，班里有的學(xué)生認(rèn)為極差可以說明一組數(shù)據(jù)的離散程度，也有學(xué)生認(rèn)為極差不能夠完全刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，教師巡視并參與學(xué)生的討論.

環(huán)節(jié)二：問題解決，生成新知

師：同學(xué)們思考、討論得非常好，下面請大家交流發(fā)言.

生4：極差大可以說明一組數(shù)據(jù)的離散程度大，周麗的五個(gè)成績數(shù)據(jù)就是一個(gè)例子.

生5：極差不能夠完全刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，如下面兩組數(shù)據(jù)：

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這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)均為15，甲組數(shù)據(jù)的極差為10，乙組數(shù)據(jù)的極差也是10，極差相同，但甲、乙兩組數(shù)據(jù)的離散程度顯然不同，這說明極差不能夠完全刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度.

師：生5講得非常好，這位同學(xué)找出的這個(gè)例子很有水平，它恰好能說明極差不能夠很好地反映一組數(shù)據(jù)的離散程度. 那我們能否找到一個(gè)“量”來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？請大家再看看生5的例子！

評(píng)注2 到這里，教師提出“能否找到一個(gè)‘量來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度呢”，充分利用已創(chuàng)設(shè)的問題情境提出相應(yīng)的學(xué)習(xí)要求，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，符合思維的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生生成新知鋪路、架橋.

（學(xué)生們看了生5的例子后在下面竊竊私語，認(rèn)為甲組數(shù)據(jù)的極差是10，比較“穩(wěn)定”， 乙組數(shù)據(jù)雖然極差也是10，但不夠穩(wěn)定）

師：剛才我聽到有學(xué)生在說甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù) “穩(wěn)定”，能否請一位同學(xué)來解釋一下你們的想法？

生6：因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差分別為-5，0，0， 5，乙組數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差分別為-5，-1，1，5，所以我認(rèn)為甲組數(shù)據(jù)比較“穩(wěn)定”.

師：能否用一個(gè)量來刻畫其穩(wěn)定性？請同學(xué)們思考討論，并自由發(fā)言！

生7：用四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的和來刻畫.

生8：（立即反駁）簡單相加肯定不可以！因?yàn)?5，0， 0，5的和為0；-5，-1， 1，5的和也為0，兩個(gè)都是0，怎能區(qū)分出兩組數(shù)據(jù)的離散程度？

生9：計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和！如甲組數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和為10，乙組數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和為12，12>10，所以甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”.

生10：也可以計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和！如甲組數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方和為50，乙組數(shù)據(jù)的四個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方和為52，52>50，所以甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)“穩(wěn)定”.

師：非常棒！現(xiàn)在出現(xiàn)了計(jì)算一組數(shù)據(jù)離散程度的兩種方法，這兩種算法都有道理，老師現(xiàn)在將甲、乙兩組數(shù)據(jù)后各加兩個(gè)數(shù)變成如下兩組數(shù)：

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用剛才兩位同學(xué)介紹的方法分別計(jì)算一下，看看丙組和丁組哪一組的離散程度較大.

生11：用生9的辦法計(jì)算，丙組數(shù)據(jù)的六個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和為14，丁組數(shù)據(jù)的六個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的絕對值之和也是14，說明現(xiàn)在兩組數(shù)據(jù)是一樣“穩(wěn)定”的.

生12：用生10的方法計(jì)算，丙組數(shù)據(jù)的六個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方和為58，丁組數(shù)據(jù)的六個(gè)數(shù)與平均數(shù)的差的平方和為54，58>54，說明丁組比丙組“穩(wěn)定”.

請同學(xué)們分析一下他們的計(jì)算結(jié)果.

生13：這說明生9的方法刻畫一組數(shù)據(jù)的“靈敏度”不高，這個(gè)方法對于丙、丁兩組數(shù)據(jù)就“失效”了！而生10的方法，效果更好！

師：很好！生10的方法能夠區(qū)分丙、丁兩組數(shù)據(jù)的離散程度了！現(xiàn)在老師在丙組數(shù)據(jù)中再加兩個(gè)數(shù)15，15，變成戊組，即10，15，15，20，13，17，15，15. 按生10的辦法再算一下戊、丁兩組數(shù)據(jù)的離散程度，你能發(fā)現(xiàn)什么？請大家思考、討論.

（此時(shí)班級(jí)氣氛活躍，學(xué)生完全進(jìn)入一種不憤不啟、不悱不發(fā)的狀態(tài)，很多學(xué)生在討論中認(rèn)為生10的算法不公平，因?yàn)槲旖M有8個(gè)數(shù)，而丁組只有6個(gè)數(shù)）

師：同學(xué)們在討論中認(rèn)為生10的算法對戊組不公平，那該怎樣計(jì)算呢？

生14：應(yīng)該計(jì)算每個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，這樣戊組數(shù)據(jù)的這個(gè)“量”為■=■，丁組數(shù)據(jù)的這個(gè)“量”為■=9，9>■，所以戊組數(shù)據(jù)比丁組數(shù)據(jù)離散程度小.

師；非常好！同學(xué)們同意生14的觀點(diǎn)嗎？請同學(xué)們歸納一下生14的計(jì)算過程.

（學(xué)生思考、討論、歸納以上探索過程，得出“先平均，再作差、然后平方、最后再平均”的計(jì)算公式）

師：在一組數(shù)據(jù)x■，x■，…，x■中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)■的差的平方分別是（x■-■）2，（x■-■）2，…，（x■-■）2，我們用它們的平均數(shù)，即用s2=■[（x■-■）2+（x■-■）2+…+（x■-■）2]來描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作s2.

我們也用方差的算術(shù)平方根，即s=■來描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，記作s.

評(píng)注3？搖 在數(shù)學(xué)課上我們應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)什么？應(yīng)該讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，借助自己的理解能力，形成自己個(gè)性化的數(shù)學(xué)知識(shí).這種知識(shí)才是學(xué)生今后用得上的知識(shí)，才是學(xué)生思考問題的原材料，探索新知識(shí)的“腳手架”.然而，無論是書本知識(shí)還是教師講的知識(shí)，都不是真正意義上的學(xué)生個(gè)性化的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是要促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化數(shù)學(xué)知識(shí)的形成，如果教師將自己的個(gè)性化數(shù)學(xué)知識(shí)直接告訴學(xué)生，自然就剝奪了學(xué)生個(gè)性化數(shù)學(xué)知識(shí)的自主生成機(jī)會(huì)，學(xué)生就無法形成自身應(yīng)有的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也就無法提升. 本課中讓學(xué)生從探尋到“與平均數(shù)差的絕對值的和”“與平均數(shù)差的平方的和”，一直到找到“與平均數(shù)差的平方的和的平均”，就是讓學(xué)生在自己的頭腦中逐步地、有效地生成方差的概念，形成學(xué)生個(gè)性化的數(shù)學(xué)知識(shí).

環(huán)節(jié)三：應(yīng)用新知，解決問題

下面請同學(xué)們再算一下程洋和周麗的方差或標(biāo)準(zhǔn)差，看看我們的分析是否合理.

………

環(huán)節(jié)四：歸納小結(jié)，拓展升華

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，請你來談?wù)勛约旱氖斋@吧！

生15：通過今天的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會(huì)了要分析一組數(shù)據(jù)的離散程度可用方差或者標(biāo)準(zhǔn)差，極差只能反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍.

生16：今天老師通過一系列問題讓我們經(jīng)歷了一個(gè)比較完整的方差及標(biāo)準(zhǔn)差公式的探尋過程，使我們完全清楚了為什么用方差或標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度是合理的.

師：非常好！同學(xué)們經(jīng)歷了討論、探究、交流等過程來獲取知識(shí)，這是一種學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要方法，希望同學(xué)們能掌握與運(yùn)用.

評(píng)注4？搖 學(xué)生完成了一節(jié)課的學(xué)習(xí)后應(yīng)由誰來反思總結(jié)，結(jié)論是顯然的.事實(shí)上，課堂小結(jié)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重要的內(nèi)化過程，在這個(gè)過程中教師要仔細(xì)傾聽學(xué)生的發(fā)言，留意學(xué)生的學(xué)習(xí)情況反饋，及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，幫助學(xué)生有效地“維新”知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

■ 課后思考

筆者以“極差”——學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為契點(diǎn)，在情境的安排和使用上做了精心選擇，由問題的發(fā)現(xiàn)引出思考，借以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐、探索、合作的能力.學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，充分激發(fā)了探究學(xué)習(xí)的積極性. 《人民教育》曾報(bào)道北京小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師吳正憲將一幫數(shù)學(xué)成績很差的學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣成功激發(fā)的事跡，其辦法之一是課堂上老師在黑板上掛滿了“琳瑯滿目”的美妙圖形，通過巧妙設(shè)問，在生活中、實(shí)踐中讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在地體驗(yàn)數(shù)學(xué).而現(xiàn)在的課堂里老師講得多，學(xué)生活動(dòng)少，課堂上的活動(dòng)難以與學(xué)生產(chǎn)生共鳴，久而久之，學(xué)生思維的依賴性強(qiáng)、獨(dú)創(chuàng)性弱，教學(xué)效果難免欠佳. 其實(shí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)的歪曲理解、模糊認(rèn)識(shí)正是沒有用心經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng). 筆者以為，數(shù)學(xué)經(jīng)歷需要以親歷實(shí)踐為支撐，以內(nèi)化動(dòng)力、發(fā)展能力為目的.

《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者. ”隨著新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，新課程的理念在我們心中也逐步扎下了根. 本文介紹的“方差”一課就是通過幾個(gè)“遞進(jìn)”的“連環(huán)”問題，以“探究、交流、討論”等活動(dòng)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷自主合作、解決問題、體會(huì)和感悟知識(shí)形成的過程，對基本知識(shí)、技能、思想和方法能真正理解和掌握，并獲得真切的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 筆者認(rèn)為，本課是體現(xiàn)新課程理念的一種課堂教學(xué)模式，符合數(shù)學(xué)新課程的核心理念，能較好地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索活動(dòng)過程，以獲得情感體驗(yàn)、生成知識(shí)、掌握解決問題的方法.

學(xué)生學(xué)習(xí)是認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的生成和維新. 研究表明，學(xué)生有效學(xué)習(xí)的最終結(jié)果必然是在自己的頭腦里生成富有成效的“個(gè)性化認(rèn)知結(jié)構(gòu)”，這個(gè)結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性、清晰性、可利用性. 大量的題型復(fù)制、繁難的習(xí)題求解演示和解題術(shù)的記憶與重復(fù)等活動(dòng)并不能幫助這三種特征的獲得. 本課關(guān)注的是學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的“質(zhì)量”（深層次參與），而不是追求講解內(nèi)容的數(shù)量. 外表看比較費(fèi)時(shí)，一節(jié)課只研究一個(gè)問題，但教學(xué)效果特別好，學(xué)生收獲的是思想方法，是情感體驗(yàn)，是個(gè)性發(fā)展. 學(xué)生會(huì)學(xué)、樂學(xué)，對數(shù)學(xué)知識(shí)理解深刻，知識(shí)遷移能力強(qiáng). 一位著名的科學(xué)家曾經(jīng)說過：“學(xué)校教給學(xué)生什么樣的知識(shí)最有價(jià)值？那就是學(xué)生離開學(xué)校許多年之后，還留在學(xué)生大腦中的那一部分東西. ”而學(xué)生探究能力的形成不會(huì)隨著時(shí)間的流逝而消失，可謂終身受用，因此，在教學(xué)中，作為教師，在新課程教學(xué)理念的指導(dǎo)下，應(yīng)多關(guān)注學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程和方法，激發(fā)和愛護(hù)學(xué)生的熱情，并給予學(xué)生足夠的時(shí)空，這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力定能得到大幅度提高.

本堂課采用模擬數(shù)學(xué)科學(xué)探究的方式，在教學(xué)中促使學(xué)生對知識(shí)的探索，并發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想、方法、規(guī)律和過程.課堂內(nèi)雖然不能再現(xiàn)真實(shí)的數(shù)學(xué)理論的歷史發(fā)展過程，但是將人類歷史文化背景賦予新的與之相對應(yīng)的學(xué)生學(xué)習(xí)的文化背景，在教學(xué)中就可以使學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)生成的構(gòu)建過程.

用模擬數(shù)學(xué)科學(xué)探究的方式上課在實(shí)踐中有其特有的優(yōu)勢，能極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 教師在教學(xué)中的作用是“精心設(shè)計(jì)活動(dòng)問題，精心創(chuàng)設(shè)活動(dòng)情境”. 良好的活動(dòng)問題、良好的教學(xué)情境具有動(dòng)力功能、發(fā)展功能、育人功能. 設(shè)計(jì)問題、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的途徑有：創(chuàng)設(shè)問題情境，創(chuàng)設(shè)思維情境，創(chuàng)設(shè)探究情境，創(chuàng)設(shè)分層教學(xué)情境，創(chuàng)設(shè)和諧情境. 良好的活動(dòng)問題、教學(xué)情境能引起學(xué)生討論，甚至激起學(xué)生辯論，當(dāng)學(xué)生為捍衛(wèi)自己的觀點(diǎn)開展辯護(hù)時(shí)，就會(huì)增強(qiáng)他的自信心，同時(shí)也會(huì)激起其他學(xué)生的好奇心，學(xué)生一旦對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，就會(huì)產(chǎn)生無窮的能量. 這種優(yōu)勢在“學(xué)困生”轉(zhuǎn)化的問題上表現(xiàn)得更為顯著，因?yàn)椤皩W(xué)困生”在傳統(tǒng)的課堂上往往表現(xiàn)為缺少積極性，對教師提出的問題漠不關(guān)心，無所事事，對問題缺乏積極思考的動(dòng)力，總是漫不經(jīng)心，避而不管，事實(shí)上，所有學(xué)生的心靈深處都有一種根深蒂固的需要──希望自己能成為一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. “學(xué)困生”參與活動(dòng)的欲望并不比優(yōu)等生差，如果問題設(shè)計(jì)合理，“學(xué)困生”就有表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)，教師就可以發(fā)現(xiàn)他們的閃心點(diǎn)，并給予及時(shí)的表揚(yáng)和肯定，讓他們嘗到獲得成功的喜悅，幫助他們樹立自信心，有效地激起“學(xué)困生”對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在興趣.