(蘇州大學機電工程學院1，江蘇 蘇州 215021；蘇州大學沙鋼鋼鐵學院2，江蘇 蘇州 215021)

0 引言

科技的進步極大地刺激了工業(yè)過程控制以前所未有的速度不斷發(fā)展，現(xiàn)階段許多大規(guī)模控制系統(tǒng)是基于一個分散式的架構來進行控制[1]。這種方法已經(jīng)取得了一定的成功運用，但是在魯棒性和穩(wěn)定性上還有不足。分布式預測控制正是在這種情況下發(fā)展起來的。其中，Motee等針對線性時不變系統(tǒng)設計了一種分布式預測控制策略[2]。Mehmet等人在實驗室水箱系統(tǒng)中運用了分布式預測控制算法，并得到了很好的控制結果[3]。基于上述方法的不足，借鑒納什最優(yōu)的思想，本文提出了分布式預測函數(shù)控制[4]。與文獻[5]相比，本文選用預測函數(shù)控制作為子系統(tǒng)的控制策略。該算法能夠使控制輸入結構化，減少了優(yōu)化變量，相比于一般的迭代式分布式算法，其計算量更小，能夠快速、穩(wěn)定地得到優(yōu)化結果。

1 分布式預測函數(shù)控制

傳統(tǒng)的預測控制算法沒有考慮到控制輸入量的結構狀態(tài)，只是采用一般的優(yōu)化算法計算出未來一段時間內(nèi)的控制量，雖然在一些場合中能夠得到所需要的控制結果，但是這種情況下會有控制輸入結構不明的情況發(fā)生[6]。針對這種情況，在模型預測控制比較成熟的基礎上，提出了預測函數(shù)控制。

預測函數(shù)控制和一般的預測控制算法一樣，存在預測控制，也就是預測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正三項基本原理[7]。但是，相比于以往的預測控制，它特別注重控制的結構化，即把每一時刻的輸入當作事先規(guī)定的一系列基函數(shù)的線性組合，通過在線優(yōu)化求出相對應的加權系數(shù)，進而利用加權系數(shù)求出最終的控制輸入[8]。這種控制方法相應的控制算法簡單，控制量與以往算法相比也較少，適合響應較快的系統(tǒng)實時控制，同時能夠很好地處理不穩(wěn)定、待約束、時滯的系統(tǒng)。

分布式預測函數(shù)控制將預測函數(shù)控制作為各個智能體子系統(tǒng)的求解方法，利用納什最優(yōu)的思想，將整個系統(tǒng)分為若干子系統(tǒng)。特別是在計算機發(fā)展相對比較成熟的今天，通過網(wǎng)絡共享，各個智能體能夠進行信息交換。假設這種通信不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那么通過納什最優(yōu)的思想就可以實現(xiàn)整個系統(tǒng)的優(yōu)化。

一個簡單的分布式控制結構如圖1所示，假設控制器(圖1中的控制器1和控制器2)之間是可以進行信息傳遞的，那么每一個子系統(tǒng)就能夠擁有整個系統(tǒng)中其他子系統(tǒng)的行為信息。分布式預測函數(shù)控制中，每一個智能體控制器都是采用預測函數(shù)控制來實現(xiàn)輸入結構化，計算結果(u1和u2)是子系統(tǒng)1和子系統(tǒng)2的輸入控制信號，每一次信息交換包含預測函數(shù)控制計算的加權系數(shù)。通過這些加權系數(shù)計算出當前時刻和未來的輸入量，利用這些信息，每一個智能體子系統(tǒng)都能夠計算出未來的控制輸入和輸出[9]。

圖1 兩輸入兩輸出分布式預測函數(shù)控制圖

2 基本原理

2.1 預測函數(shù)控制

由于對單輸入單輸出系統(tǒng)的算法研究可以應用于多輸入多輸出系統(tǒng)，因此，下文主要以單輸入單輸出系統(tǒng)進行說明。

2.1.1 基函數(shù)的選擇

在預測控制中，新加入的控制作用被看作是若干已知基函數(shù)的線性組合：

(1)

式中：u(k+i)為系統(tǒng)在(k+i)時刻的控制量；E為基函數(shù)的個數(shù)；μj為基函數(shù)的線性加權系數(shù)；fkj(j=1,2,…,E)為基函數(shù)；fkj(i)為基函數(shù)fkj在t=iTs時的值；Ts為采樣周期；P為預測優(yōu)化時域長度，表示k時刻起經(jīng)過P步可以逼近期望值。

基函數(shù)的選擇與跟蹤過程的特性和設定值密切相關，一般可以選擇階躍、斜坡、拋物線和指數(shù)函數(shù)等。當設定值為恒定值或變化很小時，基函數(shù)可以選擇階躍函數(shù)；當設定值為斜坡函數(shù)或者變化太大時，基函數(shù)可以選擇階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)的加權形式，利用兩個基函數(shù)來完成預期的控制[10]。

2.1.2 預測模型

由于在工業(yè)現(xiàn)場中階躍響應容易得到，避免了對系統(tǒng)的模型進行辨識，相比而言更容易實現(xiàn)，因此本文采用的預測模型為階躍響應。

首先，需要測定對象單位階躍響應的采樣值a=a(iTs),i=1,2,…，Ts為采樣周期。對于穩(wěn)定系統(tǒng)而言，階躍響應在tn=nTs后將趨于一個穩(wěn)定的常值，以至于ai(i>n)與an的相差很小。因而可以認為，an已經(jīng)近似于階躍響應的穩(wěn)態(tài)值as=a()。這樣，對象的動態(tài)信息就可以近似用有限集合{a1,a2,…,an}加以描述[11]。

假設一個系統(tǒng)具有M個連續(xù)的控制輸入增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)，則在這些增量作用下未來各時刻的輸出預測值為：

Δu(k+j-1)i=1,2,…，P

(2)

假設預測時域為P(一般M≤P≤n)，由于:

Δu(k+i)=u(k+i)-u(k+i-1)

(3)

(4)

可以推導出：

yPM(k)=yP0(k)-A0P0uP0+G(k)μ(k)

(5)

2.1.3 滾動優(yōu)化

對每一時刻k，要了解從此時刻起的M個控制增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)，須使被控對象在其作用下未來P個時刻的輸出預測值yM(k+i|k)盡可能地接近給定的期望值ω(k+i),i=1,2,…,P。

同時，在實際控制系統(tǒng)中，通常不希望控制增量Δu(k)變化過于劇烈。為避免這樣的情況發(fā)生，可以在性能指標優(yōu)化中加入軟約束予以考慮。因此，k時刻的優(yōu)化性能指標可取為：

式中：qi、rj為加權系數(shù)，分別表示對預測輸出和設定值之間的誤差及控制輸入量的抑制。

通過優(yōu)化方程求出基函數(shù)的加權系數(shù)，在基函數(shù)已知的前提下，可以計算出控制量和控制增量，以滿足整個系統(tǒng)的運行和優(yōu)化。

2.1.4 反饋校正

由于實際存在的系統(tǒng)和所建立的模型不符、環(huán)境干擾等一些未知因素，預測模型的輸出與實際物理過程輸出存在著一定的誤差。為此，對未來優(yōu)化時域中的誤差進行補償，這就是所謂的反饋校正，在本文中可以假設未來的誤差為：

e(k+i)=y(k)-yM(k)

(6)

式中：y(k)為k時刻的對象輸出；yM(k)為k時刻的預測模型輸出，通過校正可以更加準確地預測過程的輸出。

2.2 分布式測預函數(shù)控制算法描述

本文中所研究的分布式預測函數(shù)控制的中心思想是將一個大規(guī)模的在線優(yōu)化問題轉化為各個子模塊分布式優(yōu)化，各個子模塊通過通信進行信息共享，提高控制系統(tǒng)的性能。解決這種不同目標的分布式控制問題可以采用納什最優(yōu)的方法，也就是每一個子模塊智能體在假定已知其他智能體最優(yōu)解的前提下，只用自己的輸入變量對自己的目標進行優(yōu)化[12]。

現(xiàn)階段計算機的發(fā)展解決了通信的問題，為迭代的進行提供了基礎。每一次迭代結果總是和上次迭代進行比較。如果滿足預先設定的精度，那么迭代結束；如果兩次迭代的結果不滿足精度，那么繼續(xù)進行迭代計算。假如算法是收斂的，那么在某一輪迭代后系統(tǒng)可以達到納什最優(yōu)，此時每一個智能體各自求得的最優(yōu)解均滿足納什最優(yōu)性條件，該時刻的求解結束。下一時刻重復上述優(yōu)化過程。

對于一個N輸入N輸出系統(tǒng)，可以將其劃分為N個子系統(tǒng)，具體算法如下。

① 在采樣時刻k，估計每個智能體子系統(tǒng)基函數(shù)加權系數(shù)，得到每一個子系統(tǒng)的控制輸入，并且通過通信傳給其他子系統(tǒng)。首先令迭代次數(shù)l=0。

(7)

④ 在迭代結果滿足所設精度的前提下，可以通過優(yōu)化方程計算出各個子系統(tǒng)的每一個基函數(shù)加權系數(shù)。由于基函數(shù)已知，那么各個子系統(tǒng)就可以計算出每一時刻的控制輸入量，并且通過通信傳遞給其他子系統(tǒng)，為下一步的優(yōu)化計算做準備。

⑤ 由于本文提出的分布式預測函數(shù)控制同樣具有滾動優(yōu)化的特點，所以隨著系統(tǒng)的運行，到下一時刻返回到第一步，重復以上幾個步驟。

本節(jié)提出了分布式預測函數(shù)控制算法，并對其思想進行了簡要的描述。下文將給出具體的算法步驟和仿真結果。

3 基于納什最優(yōu)的分布式預測函數(shù)控制算法

3.1 大規(guī)?？刂葡到y(tǒng)整體分析

假設有一個大規(guī)模N輸入N輸出控制系統(tǒng)，控制的目標是使系統(tǒng)的輸出達到期望設定值，同時滿足整體性能指標最優(yōu)。利用基函數(shù)的表達形式和階躍響應表示系統(tǒng)的未來輸出，可以將整個系統(tǒng)的預測函數(shù)模型表示為：

YPM(k)=YP0(k)-A0P0uP0+Gμ(k)

(8)

其性能指標為：

(9)

3.2 子系統(tǒng)模型推導

根據(jù)整個系統(tǒng)的形式，第i個智能體的預測模型可描述為：

yi,PM(k)=yi,P0(k)-A0i,P0uP0+Gii(k)μi(k)+

(10)

式中：右邊第四項反映了其他智能體輸入對第i個智能體輸出的影響；Gii、Gij分別為第i個智能體的計算矩陣和第j個智能體對第i個智能體的影響；yi,PM(k)=[yi,PM(k+1|k)…yi,PM(k+P|k)]T；yi,P0(k)=[yi,P0(k+1|k)…yi,P0(k+P|k)]T；A0i,P0=[A0i1,P0A0i2,P0…A0iN,P0]；uP0為整個系統(tǒng)前一時刻的輸入值；Aij,P0=[aij,P0(1),…,aij,P0(M),…,aij,P0(P)]T；aij,P0(k)為第j個子系統(tǒng)輸入對第i個子系統(tǒng)輸出的階躍響應序列；μi(k)=[μi,1(k)…μi,E(k)]T。

根據(jù)單輸入單輸出系統(tǒng)的分析，可以得到：

G=AF

(11)

(12)

(13)

式中：aij(k)(i,j=1,…,N;k=1,2,…)為第j個輸入對第i個輸出的階躍響應序列。

可以得到：

Gij=AijFj,E

(14)

3.3 分布式系統(tǒng)最優(yōu)解推導

對性能指標(9)按N個智能體進行分解，由式(10)可以推導第i個智能體子系統(tǒng)的性能指標為：

(15)

式中：ωi(k)=[ωi(k+1),…,ωi(k+P)]T(i=1,…,N)為第i個智能體的期望輸出值；Qi和Ri為相應的權矩陣。

根據(jù)納什最優(yōu)的概念，智能體i的納什最優(yōu)解為:

(16)

新一輪迭代最優(yōu)解為：

(17)

如果算法是收斂的，則k時刻整個分布式系統(tǒng)的最優(yōu)解可以寫為：

μl+1(k)=W1[ω(k)-YP0(k)+A0P0uP0]+W0μl(k)

(18)

(19)

(20)

通過上述推導就可以得出每一時刻各個子系統(tǒng)基函數(shù)加權系數(shù)，同時根據(jù)式(1)，進而算出每一時刻的控制輸入或者控制增量。這樣一方面保證了控制輸入的結構化；另一方面應用納什最優(yōu)的思想進行預測控制，保證整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可實施性。

3.4 收斂定理

根據(jù)以上計算，可以得到以下的收斂性定理。

定理：基于納什最優(yōu)的分布式預測函數(shù)控制算法的收斂性條件為|ρ(W0)|<1，其中ρ(W0)為矩陣W0的譜半徑。

證明：在k時刻ω(k)，YP0(k)，A0P0，uP0均已知，W1可以離線計算出具體值，所以式(18)的第一項W1×[ω(k)-YP0(k)+A0P0uP0]是與迭代無關的常量，因此它的收斂性等價于μl+1(k)=W0μl(k)的收斂性。根據(jù)數(shù)學知識，可以得出該分布式預測函數(shù)優(yōu)化算法的收斂條件為：|ρ(W0)|<1

在這個分布式算法中，每一步的滾動優(yōu)化都考慮到了其他智能體子系統(tǒng)的影響，通過納什最優(yōu)的思想進行優(yōu)化計算，得到每一時刻的納什最優(yōu)解[13]。同時，將一個大規(guī)模的系統(tǒng)進行分解，減少了計算量。

4 仿真研究

針對一個3輸入3輸出系統(tǒng)，采用分布式預測函數(shù)控制，利用Matlab進行仿真，研究運用分布式預測函數(shù)來進行控制的系統(tǒng)特性。

(21)

首先驗證本系統(tǒng)是否滿足前面所推的基于納什最優(yōu)的分布式預測函數(shù)控制算法的收斂條件。

根據(jù)要求，在仿真中，取預測時域P=8，控制時域M=3，加權矩陣Qi=I，Ri=0，采樣時間為20 s，誤差精度為εi=0.01(i=1,2,3)。

根據(jù)W0所推表達式，在上述參數(shù)作用下，利用Matlab可以算出：

|W0|=0.218

子系統(tǒng)1的輸出和控制輸入曲線如圖2所示。

圖2 子系統(tǒng)1的系統(tǒng)輸出和控制輸入

子系統(tǒng)2的輸出和控制輸入曲線如圖3所示，子系統(tǒng)3的輸出和控制輸入曲線如圖4所示。

圖3 子系統(tǒng)2的系統(tǒng)輸出和控制輸入

圖4 子系統(tǒng)3的系統(tǒng)輸出和控制輸入

根據(jù)仿真結果可以發(fā)現(xiàn)，分解的每一個子系統(tǒng)輸出都能夠很好地跟蹤期望設定值，并且跟蹤響應速度快，無誤差，控制量變化很平緩[14]。因此，利用本文所設計的分布式預測函數(shù)控制算法所進行的仿真性能良好，相比于其他的分布式控制在優(yōu)化變量上有了很大的減少，同時具備分布式控制和預測函數(shù)控制的優(yōu)點。該方法較集中式控制方法或者分散控制要方便得多。

5 結束語

本文針對工業(yè)生產(chǎn)中遇見的大規(guī)?？刂葡到y(tǒng)在線優(yōu)化實施復雜的情況，同時結合分布式控制的特點和預測函數(shù)的優(yōu)點，從納什最優(yōu)的特點出發(fā)，推導利用分布式預測函數(shù)控制來實施分布式控制的算式，設計了一種基于納什最優(yōu)的分布式預測函數(shù)控制算法。它一方面解決了傳統(tǒng)輸入不明的缺點，將輸入結構化；另一方面利用納什最優(yōu)的特點將一個大規(guī)模的在線優(yōu)化問題轉化為各智能體子系統(tǒng)的分布式優(yōu)化，從而降低了控制的復雜性，大大減少了單個計算機對性能要求較高的問題[15]。

本文采用預測函數(shù)控制作為子系統(tǒng)的控制方法，只是針對加權系數(shù)進行優(yōu)化，相比于以往的迭代式分布式預測控制，在計算量上也有了很大的減少。根據(jù)利用本文所推算法進行的仿真結果可以發(fā)現(xiàn)，分布式預測函數(shù)控制能夠很好地解決大規(guī)模控制系統(tǒng)復雜性，同時使輸入結構化，本文所推出的分布式預測函數(shù)控制算法是有效的。

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