回歸分析模型及聚類分析法

韓寶燕

(山東工藝美術(shù)學(xué)院 公共課教學(xué)部，山東 濟南250000)

1 非商品支出的含義

居民消費支出是指城鄉(xiāng)居民個人和家庭用于生活消費以及集體用于個人消費的全部支出。商品性支出主要是居民用于購買商品的支出，非商品性支出主要就是指居民享受文化服務(wù)和生活服務(wù)的支出。非商品支出能從一個側(cè)面反映居民消費結(jié)構(gòu)的變化和經(jīng)濟水平的發(fā)展。

2 多元回歸分析方法

2.1 多元回歸分析的概述

回歸這個詞最早是由英國著名統(tǒng)計學(xué)家Francis Galton在19世紀(jì)末期研究孩子及他們的父母的身高時提出來的。在研究時，Galton發(fā)現(xiàn)父母的身材高，他們的孩子身材也高，身材矮的父母孩子身材也矮。但是，他發(fā)現(xiàn)，該身材父母的孩子的身高并不像他們父母那般高，而身材矮的父母的孩子的身高并不像他們父母那樣矮，而是集中的趨向于某一值，Galton把這種趨勢稱為回歸效應(yīng)，至此回歸一詞產(chǎn)生。后來，他發(fā)展研究兩個數(shù)值變量，這種方法也就是后來的回歸分析。

回歸分析是以概率論與數(shù)理統(tǒng)計為基礎(chǔ)迅速發(fā)展起來的一種應(yīng)用型較強的學(xué)科?，F(xiàn)在，回歸分析被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟方面的研究。在現(xiàn)在的經(jīng)濟研究中，回歸分析通?？梢耘c聚類分析一起使用，在原始的分類學(xué)中，人們是根據(jù)經(jīng)驗和專業(yè)知識來進行定性分析，很少使用數(shù)學(xué)工具，但是隨著人們不斷深入的去了解自然和社會，要處理的數(shù)據(jù)原來越復(fù)雜，相互關(guān)系越來越復(fù)雜，分類也越來越細(xì)，對數(shù)據(jù)分類的要求也變得越來越高，這時僅僅依靠經(jīng)驗和專業(yè)知識進行分類是不夠的，這時數(shù)學(xué)便引入到數(shù)據(jù)分析中，便形成了數(shù)據(jù)分類學(xué)。這種方法是對分析對象進行定量的研究，由于這種方法不僅能夠用于分類，還能應(yīng)用于其他領(lǐng)域，于是人們認(rèn)為用“聚類分析”這個詞更為合適。

2.2 多元回歸分析模型的一般形式

回歸分析方法是在眾多相關(guān)變量中，根據(jù)實際問題的要求，考察其中一個或幾個變量與其余變量的依賴關(guān)系。如果只要考察某一個變量與其余多個變量的相互依賴關(guān)系。我們稱為多元回歸問題。

多元回歸分析是研究因變量Y與k個自變量x1，x2，…，xk的相關(guān)關(guān)系，而且總是假設(shè)因變量y為隨機變量，而x1，x2，…，xk為一般變量。

如果被解釋變量（因變量）y 與 k 個解釋變量（自變量）x1，x2，…，xk之間有線性相關(guān)關(guān)系，那么他們之間的多元線性總體回歸模型可以表示為：

式中，β0，β1，β2，…，βk是 k+1 個未知參數(shù)，又稱為回歸系數(shù)；μ 是隨機誤差項。 如果我們將 n 組實際觀測數(shù)據(jù)（yi，x1i，x2i，…，xki)i=1，2，…，n代入式中可得到下列形式：

2.3 逐步回歸分析

在多元線性回歸分析中，并不是所有的自變量都對因變量都有顯著地影響，這就存在著如何挑選出對因變量有顯著影響的自變量問題。從20世紀(jì)60年代開始，關(guān)于回歸自變量的選擇成為數(shù)理統(tǒng)計中研究的熱點問題，人們提出了一些較為簡便、實用、快速的選擇“最優(yōu)”方程的方法。人們所給出的方法各有優(yōu)缺點，至今還沒有絕對最優(yōu)的方法，目前常用的方法有“前進法”、“后退法”、“逐步回歸法”，而逐步回歸法最受推崇。

逐步回歸的基本思想是“有進有出”。具體做法是將變量一個一個引入，引入變量的條件是其偏F統(tǒng)計量或t統(tǒng)計量經(jīng)檢驗是顯著的。即每引入一個自變量后，對已經(jīng)被選入的變量要進行逐個檢驗，當(dāng)原引入的變量由于后面變量的引入而變得不在顯著時，要將其剔除。引入一個變量或從回歸方程中剔除一個變量，為逐步回歸的一步，每一步都要進行偏F檢驗或t檢驗（二者等價），以確保每次引入新的變量之前回歸方程中只包含顯著的變量。這個過程反復(fù)進行，直到既無顯著的自變量選入回歸方程，也無不顯著自變量從回歸方程中剔除為止。這樣就保證了最后所得的回歸子集是“最優(yōu)”回歸子集。

在逐步回歸法中需要注意的是引入和剔除自變量的顯著性水平應(yīng)該有所不同，一般要求引入自變量的顯著性水平α1小于剔除自變量的顯著性水平α2，否則可能產(chǎn)生“死循環(huán)”的現(xiàn)象。

3 聚類分析方法

3.1 聚類分析的概述

聚類分析是統(tǒng)計學(xué)中研究的“物以類聚”問題的多元統(tǒng)計分析方法。聚類分析在統(tǒng)計分析的應(yīng)用領(lǐng)域中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。

聚類分析指將物理或抽象對象的集合分組成為由類似的對象組成的多個類的分析過程。它是一種重要的人類行為。聚類分析的目標(biāo)就是在相似的基礎(chǔ)上收集數(shù)據(jù)來分類。聚類源于很多領(lǐng)域，包括數(shù)學(xué)，計算機科學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，生物學(xué)和經(jīng)濟學(xué)。在不同的應(yīng)用領(lǐng)域，很多聚類技術(shù)都得到了發(fā)展，這些技術(shù)方法被用作描述數(shù)據(jù)，衡量不同數(shù)據(jù)源間的相似性，以及把數(shù)據(jù)源分類到不同的簇中。

3.2 Q型聚類分析

Q型聚類是對樣本進行聚類，它使具有相似特征的樣本聚集在一起，使差異性大的樣本分離開來。分類的結(jié)果是直觀的，且比傳統(tǒng)分類方法更細(xì)致、全面、合理。

3.3 系統(tǒng)聚類法的基本思想和基本步驟

設(shè)有n個樣品，每個樣品測得m項指標(biāo)。系統(tǒng)聚類方法的基本思想是：首先定義樣品間的距離（或相似系數(shù)）和類與類之間的距離。初始將n個樣本看成n類（每一類包含一個樣品），這時類間的距離與樣品間的距離是等價的；然后將距離最近的兩類合并成為新類，并計算新類與其他類的類間距離，再按最小距離準(zhǔn)則并類。這樣每次縮小一類，知道所有的樣品都聚成一類為止。

由以上系統(tǒng)聚類法的基本思想，即可得出它的基本步驟如下：

（0）數(shù)據(jù)變換：數(shù)據(jù)變換的目的是為了便于比較和計算，或改變數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。定義樣品間的距離和類與類之間的距離。（1）計算n個樣品兩兩間的距離，得樣品間的距離矩陣D(0),初始的n個樣品各自構(gòu)成一類。 （2）找出距離最小元素，設(shè)為 Dpq，即將 Gp、Gq合并為一新類，記為Gr。（3）按類與類之間的距離計算新類與其他類的距離，重復(fù)步驟（2）和（3），知道類的總個數(shù)為 1 時轉(zhuǎn)到步驟（4）。（4）畫譜系聚類圖。（5）決定分類的個數(shù)及各類的成員。

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