黃煥先

【摘要】 函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想，而函數(shù)思想方法則是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法. 本文探討利用函數(shù)思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)；函數(shù)思想方法；初中數(shù)學(xué)

函數(shù)概念，首先出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)課本. 初中課本對(duì)函數(shù)概念是這樣描述的：“設(shè)在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于變量x的每一個(gè)確定的值，變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)，x是自變量，y是x的函數(shù).”

函數(shù)概念的出現(xiàn)，開(kāi)始了變量教學(xué)的新起點(diǎn)，打破了在此之前的常量教學(xué)的舊格局，許許多多的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以利用函數(shù)概念來(lái)解析，利用函數(shù)思想方法來(lái)處理，甚至對(duì)于一些數(shù)學(xué)難題，一旦用上了函數(shù)思想方法，即迎刃而解，達(dá)到非常好的效果. 因此，我們必須十分重視函數(shù)概念的教學(xué)，重視函數(shù)思想方法的應(yīng)用.

一、函數(shù)思想方法的特性

函數(shù)思想方法，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式，把這種關(guān)系表示出來(lái)并加以研究，從而獲得問(wèn)題的解決辦法. 函數(shù)思想方法，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法，它具有以下特性：

1. 函數(shù)概念的抽象性引起函數(shù)思想方法的復(fù)雜性

函數(shù)概念，體現(xiàn)一個(gè)變量與另一個(gè)變量的一種對(duì)應(yīng)，也體現(xiàn)一個(gè)集合到另一個(gè)集合的一種映射，在初中數(shù)學(xué)來(lái)講，則是一個(gè)變數(shù)與另一個(gè)變數(shù)的一種關(guān)系. 什么叫對(duì)應(yīng)，什么叫映射，什么叫關(guān)系，對(duì)初中生來(lái)說(shuō)，是非常陌生的，這些抽象詞匯，造成了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念理解上的困難. 因此，函數(shù)思想方法作為函數(shù)概念的外延，就顯得非常復(fù)雜了. 一個(gè)連函數(shù)概念都不理解的人，怎么能掌握函數(shù)思想方法呢？函數(shù)與圖像的親密對(duì)應(yīng)，引發(fā)了數(shù)形結(jié)合方法；函數(shù)的等價(jià)變換，引發(fā)了化歸思想方法；還有其他的，如換元法、配方法、綜合法、分析法等. 正確認(rèn)識(shí)函數(shù)思想方法的復(fù)雜性，使教師更加重視函數(shù)概念的教學(xué)，更加重視函數(shù)思想方法的研究，提高教學(xué)的責(zé)任心.

2. 函數(shù)概念的生活性引起函數(shù)思想方法的廣闊性

函數(shù)概念雖然很抽象，但函數(shù)的具體應(yīng)用卻滲透到我們生活中的各個(gè)領(lǐng)域. 可以說(shuō)，我們的生活離不開(kāi)函數(shù)，我們的每一個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)也離不開(kāi)函數(shù)，許多關(guān)于數(shù)量的科學(xué)研究問(wèn)題，只有引入函數(shù)才能表達(dá)清楚. 生活中的每一個(gè)問(wèn)題，只要引入變量，就可以與函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，而函數(shù)的變化千姿百態(tài)，目不暇接，于是，就產(chǎn)生千姿百態(tài)的函數(shù)思想方法. 例如初中數(shù)學(xué)的路程問(wèn)題、濃度問(wèn)題、一次方程和二次方程的解法問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)體現(xiàn)在生產(chǎn)中的增產(chǎn)節(jié)支問(wèn)題、生產(chǎn)的成本核算問(wèn)題、一次不等式和二次不等式的求解問(wèn)題、解三角形問(wèn)題、面積問(wèn)題、體積問(wèn)題等，都可以引入變量，轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問(wèn)題. 這一轉(zhuǎn)變，使人們的函數(shù)思想方法打開(kāi)了更為廣闊的前景，解決問(wèn)題思路也就左右逢源.

3. 函數(shù)變化的奇異性引起函數(shù)思想方法的多樣性

函數(shù)的變化經(jīng)常出現(xiàn)奇妙的效果，三角形的邊與角的關(guān)系通過(guò)三角式聯(lián)系得天衣無(wú)縫，懂得了這些道理，不上山者能測(cè)山高，不過(guò)河者能測(cè)河寬，就顯得不足為奇了. 二次函數(shù)與拋物線的聯(lián)系也是如膠似漆，看見(jiàn)二次函數(shù)就應(yīng)該想到拋物線，看見(jiàn)拋物線也應(yīng)該想到二次函數(shù)，二次函數(shù)的變化便引起拋物線的運(yùn)動(dòng)，而拋物線的運(yùn)動(dòng)又使二次函數(shù)變得奇異無(wú)窮. 一次函數(shù)與直線的關(guān)系也是如此，一次函數(shù)的變化與直線的運(yùn)動(dòng)，引出許多美妙的數(shù)學(xué)問(wèn)題，呈現(xiàn)出多姿多彩的思維效果. 本來(lái)是生活中的實(shí)際問(wèn)題、如產(chǎn)值最大問(wèn)題、原料最省問(wèn)題，還有生產(chǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題、最優(yōu)決策問(wèn)題，列出了函數(shù)，掌握了函數(shù)與函數(shù)圖像的變化規(guī)律，那么，解決問(wèn)題就如囊中取物.

二、函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)概念的靈魂，函數(shù)思想方法是數(shù)學(xué)方法的主線，它能把數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)原則、數(shù)學(xué)方法貫穿起來(lái)，使得數(shù)學(xué)內(nèi)容達(dá)到更高層次的和諧與統(tǒng)一. 因此，函數(shù)概念和函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了統(tǒng)帥的作用. 數(shù)學(xué)教師若能抓住函數(shù)思想方法這條主線，再把其他思想方法連貫起來(lái)，應(yīng)用于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，可以肯定地說(shuō)，教學(xué)效果是很好的. 我們?cè)谶@方面作了一些有價(jià)值的探索.

1. 函數(shù)思想方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程

函數(shù)的概念是動(dòng)態(tài)的概念，函數(shù)思想方法是一種動(dòng)態(tài)的思想方法，這正符合動(dòng)態(tài)式的數(shù)學(xué)教學(xué)的要求. 引進(jìn)函數(shù)概念之后，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與點(diǎn)的結(jié)合、函數(shù)與圖形的結(jié)合，還實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)換、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言的靈活轉(zhuǎn)換. 我們要幫助學(xué)生從局部的、靜止的、割裂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中解放出來(lái)，學(xué)會(huì)運(yùn)用動(dòng)態(tài)的、變化的、聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，這乃是提高數(shù)學(xué)質(zhì)量的重要途徑. 正是考慮到動(dòng)態(tài)教學(xué)的新理念，于是，應(yīng)該把體現(xiàn)動(dòng)態(tài)思想方法的函數(shù)思想方法應(yīng)用于教學(xué)的全過(guò)程，在課堂教學(xué)、課外作業(yè)、科研輔導(dǎo)等教學(xué)環(huán)節(jié)，只要能用函數(shù)思想方法來(lái)處理的，都應(yīng)運(yùn)用. 這需要毅力，需要?jiǎng)?chuàng)造，需要教師從現(xiàn)有教材中挖掘與函數(shù)概念有關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，然后考慮運(yùn)用函數(shù)思想方法解決它.

例1 若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式（k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1 < 0恒成立，求k的取值范圍.

這不是一個(gè)簡(jiǎn)單的一元二次不等式，而是已知這個(gè)不等式恒成立，反過(guò)來(lái)求k的取值范圍. 這與函數(shù)概念有關(guān)嗎？誠(chéng)然，不等式的左邊可以看做關(guān)于變量x的函數(shù)，記為y = （k2 - 2k - 3）x2 - （k - 3）x - 1，它的圖像是拋物線，按題意，不等式恒成立，也就是說(shuō)，函數(shù)值y恒小于零，則函數(shù)的圖像，即拋物線總在x軸的下方，并且與x軸沒(méi)有交點(diǎn). 根據(jù)拋物線的這個(gè)特點(diǎn)，可以確定，拋物線開(kāi)口向下，二次項(xiàng)系數(shù)a = k2 - 2k- 3 < 0，又可以確定，拋物線全部落在下半平面，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，Δ = （k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0. 這是一次成功的轉(zhuǎn)化，把題意轉(zhuǎn)化為解下列不等式組：

a = k2 - 2k - 3 < 0，Δ=（k - 3）2 + 4（k2 - 2k - 3） < 0

（k + 1）（k - 3） < 0 ①（5k + 1）（k - 3） < 0 ② - < k < 3.

故k的取值范圍是- < k < 3.

這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，確實(shí)是運(yùn)用了函數(shù)思想，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，再把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，最后又把圖形的特征轉(zhuǎn)化為另一個(gè)不等式組的計(jì)算，這樣的一條龍似的解題過(guò)程相當(dāng)流暢，不僅充分體現(xiàn)了函數(shù)思想與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的高度統(tǒng)一，同時(shí)也是函數(shù)思想方法解決問(wèn)題的一個(gè)典型范例.

例2 已知（1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7，求代數(shù)式a1 + a2 + … + a7的值.

這個(gè)問(wèn)題初中生能解決嗎？初看起來(lái)，有點(diǎn)像二項(xiàng)展開(kāi)式，是高中的問(wèn)題. 按高中知識(shí)來(lái)做，那就得把左邊按二項(xiàng)式定理展開(kāi)，對(duì)比兩邊系數(shù)，分別求出a1，a2，…，a7的值，最后把它們加起來(lái)，就得代數(shù)式a1 + a2 + … + a7的值，難度不小??！

認(rèn)真觀察一下，這也是一個(gè)函數(shù)問(wèn)題. 把已知問(wèn)題看做函數(shù)，記為y = （1 - 2x）7 = a0 + a1x + … + a7x7.

當(dāng)x = 0時(shí)，y = （1 - 2 × 0）7 = a0 = 1；

當(dāng)x = 1時(shí)，y = （1 - 2 × 1）7 = a0 + a1 + … + a7 = -1，

所以a1 + a2 + … + a7 = （a0 + a1 + … + a7） - a0 = -1 - 1 = -2.

一個(gè)看起來(lái)似乎是高中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用了函數(shù)思想方法，卻變成了初中生也能接受的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 函數(shù)思想方法的功能不小??！

2. 函數(shù)思想方法要與其他數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合

函數(shù)思想方法確實(shí)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力武器，但絕不是萬(wàn)能武器. 不是說(shuō)所有數(shù)學(xué)問(wèn)題都能用函數(shù)思想方法解決，而是說(shuō)，凡能轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題的，就應(yīng)該盡量轉(zhuǎn)化. 這也體現(xiàn)函數(shù)概念與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密結(jié)合.

3. 函數(shù)思想方法應(yīng)用于解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題

我們的生活空間是一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)空間，生活中的每一個(gè)實(shí)際問(wèn)題大都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中相當(dāng)大的部分可以用函數(shù)思想方法來(lái)處理. 為了強(qiáng)化函數(shù)思想方法的應(yīng)用，更為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決身邊發(fā)生的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，學(xué)會(huì)解決經(jīng)濟(jì)發(fā)展過(guò)程中的一些社會(huì)問(wèn)題. 為此，我們應(yīng)該努力創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到鍛煉.

例3 數(shù)學(xué)競(jìng)賽隊(duì)的3位教師和若干名參賽學(xué)生準(zhǔn)備乘飛機(jī)到北京參加全國(guó)性比賽，按當(dāng)?shù)仫w機(jī)票價(jià)，乘飛機(jī)往返每人需交3000元. 但民航服務(wù)站對(duì)師生乘坐飛機(jī)有優(yōu)惠的臨時(shí)規(guī)定：第一種優(yōu)惠方案是教師買全票，學(xué)生買半票；第二種優(yōu)惠方案為師生一律按六折優(yōu)惠購(gòu)票. 你認(rèn)為，應(yīng)采取哪一種優(yōu)惠方案？

這是發(fā)生在學(xué)生身邊的與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的生活問(wèn)題，采取哪種方案，當(dāng)然應(yīng)以節(jié)約為原則，哪種方案為競(jìng)賽隊(duì)節(jié)約開(kāi)支，就采取哪種方案. 考慮把旅費(fèi)與學(xué)生人數(shù)建立函數(shù)關(guān)系，若設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，兩種優(yōu)惠方案的旅費(fèi)分別為y1和y2，則

y1 = 3000 × 3 + 1500x = 9000 + 1500x，

y2=3000 × 0.6 × （x + 3） = 1800 × （x + 3）.

y1 < y2 ？圳 9000 + 1500x < 1800x + 5400 ？圳 x > 12；

y1 > y2 ？圳 9000 + 1500x > 1800x + 5400 ？圳 x < 12；

y1 = y2 ？圳 9000 + 1500x = 1800x + 5400 ？圳 x = 12.

當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于12人時(shí)，采取第一種優(yōu)惠方案；當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于12人時(shí)，采取第二種優(yōu)惠方案；當(dāng)學(xué)生人數(shù)等于12人時(shí)，采取哪種優(yōu)惠方案都可以.

函數(shù)思想方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的確起到非常重要的作用，我們應(yīng)加強(qiáng)這一方法的教學(xué)探討和學(xué)習(xí)訓(xùn)練，把數(shù)學(xué)教學(xué)推向新水平.

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