王佳歡

摘要：壓縮映射原理對(duì)泛函分析理論的發(fā)展起著重要的作用，本文介紹了壓縮映像原理的證明，并在此基礎(chǔ)上闡釋了該原理在解決數(shù)列收斂、隱函數(shù)存在、微分方程解的唯一存在性三方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：壓縮映射 度量空間 收斂 存在性 唯一性

引言

壓縮映射原理就是解決某類映射不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性的問題，這些不動(dòng)點(diǎn)可以由迭代序列求出。我們首先會(huì)介紹壓縮映射原理（亦被稱為Banach），在此基礎(chǔ)上，會(huì)進(jìn)一步介紹利用壓縮映射原理求解數(shù)學(xué)分析中數(shù)列的收斂性、隱函數(shù)存在性、微分方程解的存在唯一性的問題。

1. 定義

1.1.壓縮映射

1.1.1.

設(shè)T是度量空間X到X中的映射，如果對(duì)任意的 ，都有

（0< <1是常數(shù)），則T是X上的壓縮映射。

1.1.2.幾何意義

壓縮映射即點(diǎn)x和點(diǎn)y經(jīng)過映射T后，它們像的距離縮短了。

1.2.不動(dòng)點(diǎn)

設(shè)T是度量空間X到X中的映射，如果有 ，使得

則稱 為映射的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2. Banach壓縮映射原理

設(shè) 是一個(gè)完備度量空間，T是X上的一個(gè)壓縮映射，則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即存在唯一的 ，使得 .

證明：（思路：利用迭代序列，先證其為Cauchy點(diǎn)列即任意的 >0，存在正整數(shù)N=N（ ），當(dāng)n，m>N時(shí)有

，

再證x是不動(dòng)點(diǎn)即 ，最后證明該點(diǎn)的唯一性即設(shè) 有 使得 ）

任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1

先考慮相鄰兩點(diǎn)的距離

再考慮任意兩點(diǎn)間的距離n>m

0< <1

是Cauchy點(diǎn)列

X是完備度量空間

，使得

x是不動(dòng)點(diǎn)

若還有 ，使得 則

0< <1

不動(dòng)點(diǎn)存在且唯一

3. 壓縮映像原理的應(yīng)用

3.1.數(shù)列收斂性

3.1.1.定理

設(shè) 是 上的一個(gè)壓縮系數(shù)為k（0

證明：（利用壓縮映像的定義）

， n，

（ ， ）

取

， n，

數(shù)列 收斂

3.1.2.例題

3.1.2.1.

設(shè) ， ，n=1，2，…證明數(shù)列 收斂。

證明：

顯然 ，

是壓縮映像

由壓縮映像原理知 收斂

3.1.2.2.

設(shè) ， ，n=1，2，…證明數(shù)列 收斂.

證明：

是壓縮映像

由壓縮映像原理知 收斂

3.2.隱函數(shù)存在定理

設(shè) 在帶狀區(qū)域 上處處連續(xù)，處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù) ，且如果存在常數(shù)m，M，適合 ，則方程 =0在閉區(qū)間 上有唯一的連續(xù)函數(shù) ，使得

證明：（思路：空間 映射 壓縮 定理）

在 中考慮映射 ，對(duì)任意 ，由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有

T是 到 的一個(gè)映射

任取 ， ，由微分中值定理，存在0< <1，使得 ，令

則0< <1，

，0< <1

映照T是壓縮的

由Banach壓縮映射原理， 上有唯一的不動(dòng)點(diǎn) 使得

顯然這個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 適合

3.3.微分方程解的存在唯一性定理

設(shè) 在矩形 連續(xù)，設(shè) ， ，又 在R上關(guān)于x滿足Lipschitz條件（即存在常數(shù)k，使得對(duì)任意的 ， 有 ）， 在區(qū)間 （ ）上有唯一的滿足初始條件 的連續(xù)函數(shù)解.

證明：（思路同隱函數(shù)存在定理）

設(shè) 表示在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)全體，

對(duì) 成完備度量空間。又令 表示 中滿足條件 （ ）的連續(xù)函數(shù)的全體組成的子空間。

閉 是完備度量空間

令映射

，如果 ，當(dāng) 時(shí)， ，而 是R上二元連續(xù)函數(shù)

積分在映射中有意義

又 對(duì)一切

T是 到 的一個(gè)映射

由Lipschitz條件，對(duì) 中的任意兩點(diǎn)x（t），v（t）有

令 ，則由 ，有0< <1

T是壓縮的

由Banach壓縮映像定理，T在 中由唯一的不動(dòng)點(diǎn)（即 ，使得 即 且 ）

即x（t）是滿足初值條件的連續(xù)解

假設(shè) 也是 滿足初值條件的連續(xù)解，則 ，

T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的

有唯一解

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄭維行，王聲望：實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要[M]（第二冊(cè)），1980；

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[4]葉懷安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984。