吳海鵬 孔凡輝 高鑌 鄧倩

【摘要】從明暗恢復(fù)形狀（Shape-from-Shading：SFS）是利用單幅灰度圖像的明暗變化恢復(fù)物體三維表面形狀的技術(shù)。目前，關(guān)于SFS的研究主要集中在以圖像輻照方程為基礎(chǔ)的針對(duì)光照模型和偏微分方程求解策略的改進(jìn)，而面向SFS問(wèn)題的概率求解方法的研究還很少，國(guó)外一些學(xué)者雖然已開(kāi)始嘗試用概率方法求解此類(lèi)問(wèn)題，但目前還未形成比較系統(tǒng)的研究框架。為此，本文擬對(duì)基于概率的SFS理論和求解方法進(jìn)行分析梳理，研究構(gòu)建基于概率的SFS問(wèn)題的理論框架體系，探索滿(mǎn)足SFS應(yīng)用需求的求解方法，以提高SFS的恢復(fù)精度。

【關(guān)鍵詞】Shape-from-Shading;概率;表面恢復(fù)

1.引言

三維重建是計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域中的經(jīng)典問(wèn)題。由圖像恢復(fù)物體表面的三維形狀，是指利用物體的一幅或多幅圖像獲得該物體表面三維形狀信息的技術(shù)。圖像中的明暗信息是三維形狀恢復(fù)技術(shù)中非常有利用價(jià)值的線(xiàn)索。基于圖像中明暗信息的變化，美國(guó)麻省理工學(xué)院的Horn[1]提出了Shape-from-Shading（從明暗恢復(fù)形狀： SFS）技術(shù)，利用單幅圖像的明暗信息，實(shí)現(xiàn)了物體表面三維形狀信息的獲取。與其它的三維重建方法相比，SFS技術(shù)不需要復(fù)雜設(shè)備，具有良好的應(yīng)用前景，在生產(chǎn)、生活、醫(yī)學(xué)、氣象、遙感以及國(guó)防軍事等領(lǐng)域均蘊(yùn)藏著巨大的應(yīng)用價(jià)值[2，3]。

目前的研究基本上集中在兩個(gè)點(diǎn)上：其一，是基于真實(shí)成像條件下的SFS方法的理論研究和算法實(shí)現(xiàn)，研究的主要問(wèn)題包括光源屬性的估計(jì)，物體表面反射屬性的估計(jì);其二，是關(guān)于SFS的新的求解計(jì)算方法的研究，以提高算法計(jì)算效率和解的精度。這兩個(gè)研究方向是從兩個(gè)不同的角度嘗試解決同一個(gè)問(wèn)題——提高SFS的恢復(fù)質(zhì)量。但是，直到現(xiàn)在還沒(méi)有哪一種方法能夠在速度、精度、適用性三個(gè)方面能夠同時(shí)滿(mǎn)足實(shí)際的應(yīng)用需求，所以必須探索新的方法和途徑，以圖進(jìn)一步使SFS的恢復(fù)質(zhì)量得到提升。

2.概率框架下的表面恢復(fù)問(wèn)題

待重構(gòu)的物體表面可以用基于離散圖像空間的法向矢量序列來(lái)進(jìn)行描述， 例如：，代表步長(zhǎng)為的帶狀曲面，為帶狀曲面的起始表面法向矢量。于是，該帶狀曲面深度的離散演化形式可描述為：

其中，為根據(jù)表面法向矢量計(jì)算當(dāng)前位置深度的計(jì)算函數(shù)，為調(diào)節(jié)因子。于是，表面形態(tài)的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程就由表面法向矢量來(lái)決定。在這一框架之下，算法的目標(biāo)就是利用演化尋找一個(gè)表面法向序列，在條件先驗(yàn)概率和條件先驗(yàn)觀測(cè)概率（似然概率）（為圖像中的明暗信息）的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)對(duì)表面形態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，并最終獲得表面的相對(duì)深度信息。

我們假設(shè)表面法向矢量的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫鏈，所以，

即，下一步演化的表面法向矢量只依賴(lài)與它的前一個(gè)狀態(tài)，而與歷史狀態(tài)無(wú)關(guān)。

2.1 表面法向量概率分布模型

基于概率的SFS，實(shí)際上就是在概率的框架之下來(lái)確定物體的表面形態(tài)，公式的形式化描述如下：

這里，代表圖像平面位置所對(duì)應(yīng)的表面法向矢量，代表該位置的灰度（亮度值）信息，代表表面法向矢量的后驗(yàn)概率，代表灰度值的似然概率，代表該位置的表面法向矢量的先驗(yàn)概率，這里我們把它稱(chēng)為正則概率。

根據(jù)上面描述的概率公式，由貝葉斯原理可知待求解的表面法向矢量就是滿(mǎn)足后驗(yàn)概率最大時(shí)的值。于是，問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為如何求后驗(yàn)分布?？梢宰⒁獾?，的后驗(yàn)概率由似然概率、先驗(yàn)概率和正則概率來(lái)決定。其中，似然概率已經(jīng)得到了比較充分的研究，在不同的光照模型下提出了一些常用的經(jīng)典分布，比如Bechmann分布，高斯分布等。另外，對(duì)于正則概率，因?yàn)槲覀兪窃谖粗魏螠y(cè)量信息的情況下進(jìn)行概率模型的構(gòu)建，所以，我們可以在隱馬爾科夫模型的條件下用如下的公式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算：

2.2 概率模型下SFS求解方法

圖像數(shù)據(jù)本身由于環(huán)境光照及采集噪聲的影響，會(huì)體現(xiàn)出顯著的不穩(wěn)定性，為此，表面法向矢量表現(xiàn)為與明暗信息變化密切相關(guān)的隨機(jī)過(guò)程。所以，利用概率的方法實(shí)現(xiàn)SFS才有可能克服數(shù)據(jù)本身的不穩(wěn)定性影響，從而提高表面恢復(fù)的準(zhǔn)確性。在求解概率問(wèn)題中，粒子濾波是一種蒙特卡洛模擬方法，通過(guò)離散采樣完成概率的分布計(jì)算，適用于非高斯、非線(xiàn)性條件下的概率計(jì)算問(wèn)題。粒子濾波器的基本思想是蒙特卡洛模擬，其中系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)分布由一組帶有權(quán)重的離散采樣來(lái)表達(dá)。

粒子濾波算法主要涉及到三步：首先是采樣階段，其中一組新的粒子從提議分布中采樣出來(lái)，再根據(jù)觀測(cè)密度和貝葉斯定理計(jì)算各個(gè)粒子新的權(quán)重;然后輸出系統(tǒng)的狀態(tài)均值、協(xié)方差或更高階的矩;最后對(duì)這組粒子重新采樣以保證權(quán)重均勻分布。在條件概率密度傳播算法的采樣階段，提議分布取為狀態(tài)轉(zhuǎn)移先驗(yàn)概率密度函數(shù)。

采用粒子濾波算法獲取表面法向矢量的后驗(yàn)概率分布，出于以下三個(gè)方面的考慮：

（1）粒子濾波本身因?yàn)椴捎秒x散隨機(jī)采樣的思想，對(duì)噪聲的抑制能力較強(qiáng)。

（2）基于粒子濾波的表面生成和演化的過(guò)程中記錄了表面形態(tài)演化的歷史信息，有利于實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化。

（3）粒子濾波由于其基本的計(jì)算過(guò)程均是以單個(gè)粒子為計(jì)算單位，所以易于在GPU和多核計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，從而可以有效地提高SFS的計(jì)算效率。

3.結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于概率的表面形態(tài)恢復(fù)方法進(jìn)行了比較系統(tǒng)的闡述，認(rèn)真分析了基于概率的SFS研究中的若干個(gè)重要的問(wèn)題，并提出了基本的解決思路和研究途徑。

參考文獻(xiàn)

[1]Horn B K P.Shape from shading：a method obtaining the shape of a smooth opaque object from one view[D].Massachusetts：MIT，1970.

[2]郝平.基于圖像灰度的自由曲面重構(gòu)算法研究[D].大連理工大學(xué)，2005.

[3]楊磊，韓九強(qiáng).一種含有鏡面反射由明暗恢復(fù)形狀的新算法[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，41（4）：435-438.

本課題得到黑龍江省自然科學(xué)基金（編號(hào)：F201118，F(xiàn)201248）;黑龍江省教育廳項(xiàng)目（編號(hào)：12511393，12531485）及黑龍江大學(xué)數(shù)據(jù)庫(kù)與并行計(jì)算重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放項(xiàng)目資助。

作者簡(jiǎn)介：吳海鵬（1976—），男，主要研究方向：計(jì)算機(jī)視覺(jué)，無(wú)損檢測(cè)。