高考試題中的約束臨界問題例析

羅建明

(浙江省寧波市鄞州區(qū)姜山中學(xué),浙江 寧波 315191)

約束臨界問題是指物理過程需要滿足一定約束條件的臨界問題.根據(jù)約束條件限制的個(gè)數(shù),可以把約束臨界問題分為單條件約束與雙條件約束.根據(jù)約束條件的隱蔽性,又可以把約束臨界問題分為顯性約束與隱性約束.有些物理過程受到的約束條件比較明顯,可以在原題中直接找到臨界條件,我們通常把這類約束叫做顯性約束.有些物理過程受到的“約束”條件比較隱蔽,需要通過分析推理后,才能找到臨界條件,我們通常把這類“約束”叫做隱性約束.

雖然現(xiàn)行的物理教科書沒有明確提出“約束”的概念,但是在教科書《物理》必修2第7章第9節(jié)“實(shí)驗(yàn):驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律”的課后“問題與練習(xí)”第2題中已經(jīng)將其特點(diǎn)展現(xiàn)出來.

原題.游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行,游客卻不會(huì)掉下來(如圖1).我們把這種情況抽象為圖2的模型:弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接,使小球從弧形軌道上端滑下,小球進(jìn)入圓軌道下端后沿原軌道運(yùn)動(dòng).實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),只要h大于一定值,小球就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn).如果已知圓軌道的半徑為R,h至少要等于多大？不考慮摩擦等阻力.

解析:設(shè)小球的質(zhì)量為m,小球運(yùn)動(dòng)到圓弧最高點(diǎn)時(shí)的速度為v,受到圓軌道的壓力為FN.小球下滑過程中只有重力做功,機(jī)械能守恒.取圓軌道最低點(diǎn)為重力勢(shì)能的零參考平面,則在這個(gè)過程中,根據(jù)機(jī)械能守恒定律,有

圖1

圖2

在圓軌道的最高點(diǎn)處,根據(jù)牛頓第二定律,有

欲使小球順利地通過圓軌道的最高點(diǎn),則小球在最高點(diǎn)處時(shí),必須滿足條件FN≥0,即

因此,為了使小球順利地通過圓軌道的最高點(diǎn),h至少應(yīng)為

點(diǎn)評(píng):要讓小球順利通過圓軌道的最高點(diǎn),從機(jī)械能守恒的角度來說,只要小球初始高度滿足h≥2R,小球在圓軌道最高點(diǎn)的速度v≥0,就可以順利通過圓軌道的最高點(diǎn).但是小球在運(yùn)動(dòng)過程中同時(shí)還需要滿足牛頓第二定律.根據(jù)牛頓第二定律而小球在最高點(diǎn)受到的合力F合≥mg,即可見,小球要順利通過圓軌道的最高點(diǎn),必須同時(shí)受到機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律這2條物理規(guī)律的約束限制.通過此類問題能夠很好地考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性,所以在平時(shí)的習(xí)題或者高考題中時(shí)有涉及.

類型1:單隱性約束條件臨界問題.

圖3

例1.(2013年上海卷第31題)如圖3所示,質(zhì)量為M,長(zhǎng)為L(zhǎng)、高為h的矩形滑塊置于水平地面上,滑塊與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ;滑塊上表面光滑,其右端放置一個(gè)質(zhì)量為m的小球.用水平外力擊打滑塊左端,使其在極短時(shí)間內(nèi)獲得向右的速度v0,經(jīng)過一段時(shí)間后小球落地.求小球落地時(shí)距滑塊左端的水平距離.

解析:小球在滑塊表面上時(shí),由于不受摩擦力作用,所以小球保持靜止?fàn)顟B(tài).對(duì)滑塊應(yīng)用動(dòng)能定理,有

滑塊繼續(xù)向右滑動(dòng)的加速度大小為a＝μg,繼續(xù)向右滑動(dòng)的時(shí)間為

若t＜t′,小球落地時(shí)滑塊尚未停止運(yùn)動(dòng),在時(shí)間t內(nèi)滑塊運(yùn)動(dòng)的距離,即小球落地時(shí)距滑塊左端的水平距離為

若t＞t′,小球落地前滑塊已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng),在時(shí)間t′內(nèi)滑塊運(yùn)動(dòng)的距離,即小球落地時(shí)距滑塊左端的水平距離為

點(diǎn)評(píng):從表面上看,小球離開滑塊后的自由落體運(yùn)動(dòng)和滑塊的勻減速直線運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的.由于滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是有限的,在小球做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi),滑塊可能一直在做勻減速直線運(yùn)動(dòng)也可能已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng),所以滑塊運(yùn)動(dòng)的水平距離還受到小球自由落體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的制約.

類型2:雙顯性約束條件臨界問題.

圖4

例2.(2009年浙江卷第24題)某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽.比賽路徑如圖4所示,賽車從起點(diǎn)A出發(fā),沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后,由B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道,離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),并能越過壕溝.已知賽車質(zhì)量m＝0.1kg,通電后以額定功率P＝1.5W工作,進(jìn)入豎直圓軌道前受到的阻力為0.3N,隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不計(jì).圖中L＝10.00m,R＝0.32m,h＝1.25m,s＝1.50m.問:要使賽車完成比賽,電動(dòng)機(jī)至少工作多長(zhǎng)時(shí)間？(取g＝10m/s2)

解析:設(shè)賽車越過壕溝需要的最小速度為v1,由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解得

設(shè)賽車恰好越過圓軌道,對(duì)應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v2,最低點(diǎn)的速度為v3.由牛頓第二定律可得由機(jī)械能守恒定律可得解得

通過分析比較,賽車要完成比賽,在進(jìn)入圓軌道前的速度最小應(yīng)該是vmin＝4m/s.

設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間至少為t,根據(jù)動(dòng)能定理由此可得t＝2.53s.

點(diǎn)評(píng):本題中賽車要完成比賽,賽車不僅受到豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的約束,同時(shí)還受到平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的約束.將一個(gè)物體的幾個(gè)過程通過兩個(gè)顯性約束條件有機(jī)拼接在一起,很好地考查平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)和功能關(guān)系等知識(shí).

類型3:一顯一隱雙約束條件臨界問題.

圖5

例3.(2010年上海卷第30題)如圖5所示,ABC和ABD為兩個(gè)光滑固定軌道,A、B、E在同一水平面上,C、D、E在同一豎直線上,D點(diǎn)距水平面的高度為h,C點(diǎn)的高度為2h,一滑塊從A點(diǎn)以初速度v0分別沿兩軌道滑行到C或D處后水平拋出.

(1)求滑塊落到水平面時(shí),落點(diǎn)與E點(diǎn)間的距離sC和sD;

(2)為實(shí)現(xiàn)sC＜sD,v0應(yīng)滿足什么條件？

(2)為實(shí)現(xiàn)sC＜sD,即得但滑塊從A點(diǎn)以初速度v0分別沿兩軌道滑行到C或D處后水平拋出,要求所以

點(diǎn)評(píng):根據(jù)題目中給出的顯性約束條件sC＜sD,考生根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以比較容易得出但還必須滿足滑塊沿兩軌道滑行到C或D處后能水平拋出這個(gè)前提條件,這個(gè)約束條件很隱蔽,需要通過分析推理后,才能找到.如果不仔細(xì)分析,會(huì)很容易遺漏掉這個(gè)隱性約束條件,造成解題失誤.