曾 波，孟 偉，熊 遙

（重慶工商大學a．商務策劃學院；b．電子商務及供應鏈系統(tǒng)重慶市重點實驗室；c．長江上游經(jīng)濟研究中心，重慶 400067）

基于核和灰度的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算法則及其應用

曾 波a，b，孟 偉a，b，熊 遙c

（重慶工商大學a．商務策劃學院；b．電子商務及供應鏈系統(tǒng)重慶市重點實驗室；c．長江上游經(jīng)濟研究中心，重慶 400067）

為解決灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)的建模問題，應用“核和灰度”對灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算法則及其性質(zhì)展開研究。將灰信息表征為“核和灰度”，通過“核”將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算轉(zhuǎn)換為實數(shù)之間代數(shù)運算，根據(jù)灰度不減公理確定運算結(jié)果之灰度，在此基礎上構(gòu)建灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)的代數(shù)運算法則，并將該法則應用于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預測模型的構(gòu)建及空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的預測。研究成果對豐富與完善灰色系統(tǒng)基礎理論具有積極意義。

灰色理論；代數(shù)運算法則；灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)；核和灰度；

一、引 言

1982年中國著名學者鄧聚龍基于“灰箱”思想創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，并被廣泛應用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學、軍事等領域［1－3］?；疑到y(tǒng)用灰數(shù)、灰色方程、灰色矩陣等來描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本“單元”或“細胞”，主要包括區(qū)間灰數(shù)及離散灰數(shù)等［4］；灰數(shù)之間的代數(shù)運算是構(gòu)建灰色系統(tǒng)模型的基礎，劉思峰較早對灰數(shù)運算法則進行了研究，提出了灰數(shù)均值白化數(shù)的概念，并以此為基礎構(gòu)建新的灰數(shù)運算體系，但由于難以處理令人棘手的擾動灰元而無果，之后劉思峰試圖通過借鑒區(qū)間數(shù)的研究方法來構(gòu)建區(qū)間灰數(shù)運算體系，但由于前者同樣存在若干問題而一直爭議較多；方志耕等人定義了第一和第二標準區(qū)間灰數(shù)的運算，設計了普通區(qū)間灰數(shù)與標準區(qū)間灰數(shù)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)則，構(gòu)建了標準區(qū)間灰數(shù)之間的比較與運算法則體系，這對解決區(qū)間灰數(shù)之間的大小比較與運算問題的解決起到了一定的推動作用，但該方法的運算工作量隨著運算復雜程度的增加而呈快速遞增的趨勢，在一定量的運算復雜程度下該方法的適用性較差［5］；劉思峰等人又給出了區(qū)間灰數(shù)“核”的定義，并基于“核”和灰數(shù)灰度建立了區(qū)間灰數(shù)運算公理和灰數(shù)運算法則［6］。至此，灰數(shù)之間的代數(shù)運算被化為實數(shù)運算，區(qū)間灰數(shù)之間的運算問題在一定程度上得到了解決。

上述灰數(shù)之間的代數(shù)運算均在同構(gòu)數(shù)據(jù)之間進行，如區(qū)間灰數(shù)之間、標準離散灰數(shù)之間，而對于具有不同數(shù)據(jù)類型的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)（如區(qū)間灰數(shù)與離散灰數(shù)）之間尚無有效的代數(shù)運算規(guī)則，因為難以知道一個區(qū)間灰數(shù)與一個離散灰數(shù)之間的運算結(jié)果究竟應該是什么類型的灰數(shù)［7］。盡管灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)具有不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及灰信息特征，但均同屬“灰數(shù)”范疇，都具有“核”和“灰度”這一基本的共同屬性，因此可以利用“核”和“灰度”來研究灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運算法則，通過“核”將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算，這在一定程度上解決了灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間運算難題，為灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)建模提供理論支撐，對豐富與完善灰色系統(tǒng)理論體系和拓展灰色模型適用范圍具有積極意義。

二、定義及公理

公理1［6］（灰度不減公理）兩個灰度不同的區(qū)間灰數(shù)進行和、差、積、商運算時，運算結(jié)果的灰度不小于灰度較大的區(qū)間灰數(shù)之灰度。

因此，通?？蓪⒒疑悩?gòu)數(shù)據(jù)之間運算結(jié)果的灰度取為灰度較大的區(qū)間灰數(shù)的灰度。由公理1不難得到如下推論：

推論1［6］一個白數(shù)與一個區(qū)間灰數(shù)進行和、差、積、商運算時，運算結(jié)果的灰度與區(qū)間灰數(shù)的灰度相同。

推論2 對具有相同論域的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間進行“和、差、積、商”運算時，運算結(jié)果的信息域不小于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)中最大灰度所對應灰數(shù)之信息域。

根據(jù)公理1及灰度的定義可知，推論1和推論2顯然成立，證明略；根據(jù)推論1及推論2可知，當若干個灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)進行運算時，首先對“核”作相應運算，然后按照取大準則得到運算結(jié)果的灰度或信息域，從而可得運算結(jié)果的簡化形式［13］。

三、灰信息“核”與“灰度”的計算

（一）灰信息“核”的計算

（二）灰信息“灰度”的計算

灰數(shù)的灰度反映了人們對灰色系統(tǒng)認識的不確定程度。游中勝等人對區(qū)間灰數(shù)灰度的計算方法進行了拓展研究［15］，即：

四、灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算法則

灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)（區(qū)間灰數(shù)、離散灰數(shù)、實數(shù)或其他灰信息）雖然具有不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及灰信息特征，但均同屬“灰數(shù)”范疇（實數(shù)是灰度為“0”的特殊灰數(shù)），都具有“核”和“灰度”這一基本的共同屬性，因此可以通過“核”和“灰度”來研究灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運算法則。顯然，灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間進行加、減、乘、除、開方以及矩陣等運算之后，其運算結(jié)果自然也是灰數(shù)。因此，將灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為“核”與“灰度”，然后在此基礎上研究基于核和灰度的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)之間的代數(shù)運算方法。

當參與運算的灰元均為區(qū)間灰數(shù)，則其和、差、積、商等運算是法則1～6的特列，即劉思峰所討論的區(qū)間灰數(shù)運算法則。因此，本文所研究的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算法則是在其基礎上的推廣與拓展。

五、空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）預測

2013年初以來，中國發(fā)生了大范圍持續(xù)霧霾天氣。據(jù)統(tǒng)計，受霧霾影響區(qū)域包括華北平原、黃淮、江淮、江漢、江南、華南北部等地區(qū)，受影響面積約占國土面積的1／4，受影響人口約6億人。霧霾是一種災害性天氣，對公路、鐵路、航空、航運、供電系統(tǒng)、農(nóng)作物生長等均產(chǎn)生重要影響，同時霧霾會造成空氣質(zhì)量下降，影響生態(tài)環(huán)境，給人體健康帶來較大危害。AQI（Air Quality Index，空氣質(zhì)量指數(shù)）是表征空氣質(zhì)量的重要參數(shù)，描述了空氣清潔或者污染程度以及對健康的影響。環(huán)保部門通過收集、分析、匯總分布在城市各個典型區(qū)域空氣監(jiān)測點的觀測數(shù)據(jù)，整理形成該城市的AQI指數(shù)，由于數(shù)據(jù)處理過程的不確定性并最終導致了灰色異構(gòu)時序數(shù)據(jù)的產(chǎn)生（因版面所限，圖省略）。

重慶2013年12月2日至12月6日的空氣質(zhì)量指數(shù)如表1所示。試應用本文研究成果，構(gòu)建基于灰色異構(gòu)時序數(shù)據(jù)的重慶空氣質(zhì)量指數(shù)灰色預測模型，并根據(jù)該模型對重慶2013年12月7日至11日的AQI指數(shù)進行預測（表1中數(shù)據(jù)的“核”信息來自PM2．5監(jiān)測網(wǎng)）。

表1 重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)個表

根據(jù)式（11）可計算模型的模擬誤差，見表2。

表2 灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)“核”序列的模擬值與模擬誤差表

步驟5 模型誤差檢驗。

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)，可對式（11）所模擬的數(shù)據(jù)分別進行平均相對誤差檢驗和灰色關(guān)聯(lián)度檢驗，并對模型的模擬結(jié)果進行精度等級評價。

1．平均相對誤差檢驗

3．誤差檢驗結(jié)論

根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預測模型（11），可得當k＝6，7，8，9．10時重慶2013年12月7日—12日的AQI預測值，如表3所示。

表3 重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)預測值表

從表3不難看出，重慶2013年12月空氣質(zhì)量指數(shù)呈現(xiàn)不斷下降的趨勢，表明重慶空氣質(zhì)量將持續(xù)好轉(zhuǎn)。預測結(jié)果對重慶市環(huán)保部門研究和制定空氣質(zhì)量環(huán)保措施具有一定的參考價值與借鑒意義。

六、結(jié) 論

本文應用“核和灰度”對灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)代數(shù)運算法則及其性質(zhì)展開研究，并在此基礎上構(gòu)建空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預測模型，研究成果對豐富與完善灰色系統(tǒng)基礎理論、拓展灰色系統(tǒng)模型的應用范圍、促進灰色系統(tǒng)模型與現(xiàn)實問題的有效融合，均具有積極意義。如何基于灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)序列構(gòu)建灰色關(guān)聯(lián)模型與灰色決策模型以及多變量灰色異構(gòu)數(shù)據(jù)預測模型等內(nèi)容，將是本項目團隊下一步研究的主要內(nèi)容。

［1］ Deng Julong．Introduction to Grey System Theory［J］．The Journal of Grey System （UK），1989（1）．

［2］ 范德成，張偉．基于灰色變結(jié)構(gòu)控制的中國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型及分析研究［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2010（10）．

［3］ 劉秋華，陳潔，甘海慶．基于改進灰色模型的售電量預測分析［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2009（11）．

［4］ Liu Sifeng，Lin Yi．On Measures of Information Content of Grey Numbers［J］．Kybernetes：The International Journal of Systems ＆Cybernetics，2006（5）．

［5］ 方志耕，劉思峰．基于區(qū)間灰數(shù)序列的 GM（1，1）模型（GMBIGN（1，1）研究［J］．中國工程科學，2005（2）．

［6］ 劉思峰，方志耕，謝乃明．基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)運算法則［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010（2）．

［7］ 曾波．基于核和灰度的雙重異構(gòu)數(shù)據(jù)序列預測建模方法研究［J］．統(tǒng)計與信息論壇，2013（10）．

［8］ 楊德嶺，劉思峰，曾波．基于核和信息域的區(qū)間灰數(shù)Verhulst模型［J］．控制與決策，2013（2）．

［9］ Liu Sifeng，Liu Yi．Grey Systems Theory and Applicationg［M］．Berlin Heidelberg：Springer-Cerlag，2010．

［10］Deng Julong．Whitening Definitions in Grey System Theory［J］．The Journal of Grey System，1998（2）．

［11］Liu Sifeng．On Measure of Grey Information［J］．The Journal of Grey System，1995（2）．

［12］曾波，劉思峰，李川，等．基于蛛網(wǎng)面積的區(qū)間灰數(shù)灰靶決策模型［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2013（10）．

［13］曾波．基于核和灰度的區(qū)間灰數(shù)預測模型［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011（4）．

［14］Zeng Bo，Liu Sifeng．Calculation for Kernel of Interval Grey Number Based on Barycenter Approach［J］．Transaction of Nanjing University of Aeronautics ＆ Astronautics，2013（2）．

［15］You Zhongsheng，Zeng Bo．Calculation Method’s Extension of Grey Degree Based on the Area Method［J］．The Journal of Grey System，2012（1）．

［16］Xie Naiming，Liu Sifeng．Discrete Grey Forecasting Model and Its Optimization［J］．Applied Mathematical Modeling，2009（1）．

［17］劉思峰，黨耀國，方志耕，等．灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］．5版．北京：科學出版社，2010．

Algebra Algorithm Rules of Grey Isomerism Data Based on Kernel and Grey Degree and Its Applications

ZENG Boa，b，MENG Weia，b，XIONG Yaoc
（a．Strategical Planning College；b．Chongqing Key Laboratory of Electronic Commerce and Supply Chain System；c．Research Center of the Economy of the Upper Reaches of the Yangtze River，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China）

In order to solve the modeling problem of grey isomerism data，this paper applies＇kernel and grey degree to study the algebra algorithm rules of grey isomerism data and its properties．Grey information is represented as kernel and grey degree，and the algebra algorithm is switched from grey isomerism data to real numbers through kernel．The grey degree of calculation result is defined by the axiom of grey degree not-reducing；on those basses the algebra algorithm rules of grey isomerism data is established．Finally，this paper employs the novel algorithm rules to build a prediction model of grey isomerism data sequence and forecast the air quality index （AQI）．The research findings have a positive significance for enriching and perfecting the basic theory of grey system．

grey theory；algebra algorithm rules；grey isomerism data；kernel and grey degree

N941．5∶O213．9

A

1007－3116（2014）04－0018－06

2013－06－24；修復日期：2014－01－09

重慶工商大學青年博士基金項目《灰色多源異構(gòu)數(shù)據(jù)預測模型構(gòu)建研究》（1152003）

曾 波，男，四川威遠人，系統(tǒng)工程博士，副教授，研究方向：系統(tǒng)預測、決策與評價；

孟 偉，男，湖北荊門人，博士生，副教授，研究方向：灰色理論及商務智能；

熊 遙，女，重慶梁平人，碩士生，研究方向：區(qū)域經(jīng)濟理論與政策。

（責任編輯：郭詩夢）