繆佳佳，周天和

（1.浙江省中波發(fā)射管理中心，杭州310012；2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

一種場(chǎng)強(qiáng)測(cè)定的數(shù)值計(jì)算方法

繆佳佳1，周天和2

（1.浙江省中波發(fā)射管理中心，杭州310012；2.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018）

提出了一種場(chǎng)強(qiáng)測(cè)定的算法，利用已知的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)，計(jì)算未知區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)分布。通過(guò)已測(cè)定的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)的位置去構(gòu)造相應(yīng)的三角網(wǎng)格，在每個(gè)三角網(wǎng)格上建立Bernstein多項(xiàng)式，利用最小化能量函數(shù)的方法，確定Bernstein基函數(shù)的B系數(shù)，從而確定整個(gè)場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)分布。通過(guò)浙江省35個(gè)測(cè)定點(diǎn)某一頻率覆蓋區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)的實(shí)際接收情況檢測(cè)及進(jìn)行模擬計(jì)算，結(jié)果表明該算法是可行。它可以為廣播頻率的設(shè)計(jì)、發(fā)射機(jī)功率的確定以及臺(tái)站位置的規(guī)劃提供參考。

Bernstein基；能量函數(shù)；樣條函數(shù)；場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)

0 引 言

場(chǎng)強(qiáng)是描述電場(chǎng)性質(zhì)的基本物理量，中波以地面?zhèn)鞑橹?，在傳播過(guò)程中受到傳播路徑上土壤和障礙物的阻擋、吸收而衰減。要及時(shí)了解節(jié)目的覆蓋效果、收聽(tīng)質(zhì)量，場(chǎng)強(qiáng)收測(cè)就顯得至關(guān)重要，它為廣播頻率的設(shè)計(jì)、發(fā)射機(jī)功率的確定以及臺(tái)站位置的規(guī)劃提供真實(shí)可靠的數(shù)值依據(jù)。但事實(shí)上，待測(cè)場(chǎng)強(qiáng)的區(qū)域分布范圍太廣或者某些收測(cè)點(diǎn)的地理環(huán)境不易展開(kāi)收測(cè)，此時(shí)需要通過(guò)已知區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)計(jì)算其他區(qū)域的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)。影響場(chǎng)強(qiáng)分布的因素有很多，所以本文選擇測(cè)定那些主要影響場(chǎng)強(qiáng)分布的區(qū)域，如地形變化比較大或者受其它電波干擾較強(qiáng)的區(qū)域。一般采用的方法是通過(guò)建立預(yù)測(cè)模型來(lái)確定區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布［1-2］。本文提出了一種場(chǎng)強(qiáng)測(cè)定算法，通過(guò)已測(cè)定的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)的位置去構(gòu)造相應(yīng)的三角網(wǎng)格，在每個(gè)三角網(wǎng)格上建立Bernstein多項(xiàng)式，利用最小化能量函數(shù)的方法，唯一地確定Bernstein基函數(shù)的B系數(shù)，從而確定整個(gè)場(chǎng)強(qiáng)的函數(shù)分布。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

假設(shè)T是一個(gè)非退化的三角形，它的頂點(diǎn)是vi：=（xi，yi），i=1，2，3，假設(shè)三角形的頂點(diǎn)按照逆時(shí)針順序排列，用T：=＜v1，v2，v3＞來(lái)表示這個(gè)三角形。平面上的任何一點(diǎn)v：=（x，y）都可以寫(xiě)成如下的關(guān)系式：稱（b1，b2，b3）是點(diǎn)v關(guān)于三角形T的一個(gè)重心坐標(biāo)。因?yàn)門(mén)是非退化的三角形，所以這個(gè)解是唯一的。根據(jù)重心坐標(biāo)可以定義T上的d次Bernstein多項(xiàng)式：

通過(guò)排列，可以把系數(shù)轉(zhuǎn)化成向量c，其中系數(shù)cijk是向量c的一個(gè)分量。

對(duì)于給定的一個(gè)三角剖分Δ和兩個(gè)整數(shù)d≥0和0≤r≤d，用

表示定義在Δ上的d次r階光滑的樣條函數(shù)空間，

其中Pd是熟悉的維的二元d次多項(xiàng)式空間。由文獻(xiàn)［4-5］可知，當(dāng)d≥3r+2時(shí)樣條函數(shù)空間（Δ）是存在的（對(duì)于特殊的剖分，這個(gè)條件可以減弱），本文假定一直滿足這個(gè)條件。由（Δ）的定義，對(duì)于s∈（Δ），則它在任意三角形T上可以表示成如下的B-形式

因此，在整個(gè)剖分Δ上樣條函數(shù)s可以寫(xiě)成

這里相應(yīng)的Bernstein基定義為

2 場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算算法

假設(shè)測(cè)定的那些場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)地點(diǎn)是一個(gè)二維數(shù)值V=｛vi=（xi，yi）｝點(diǎn)集，利用這組地點(diǎn)的點(diǎn)集可以構(gòu)造一個(gè)三角剖分Δ，使得點(diǎn)集V中的點(diǎn)都在這個(gè)三角剖分中的三角形頂點(diǎn)上。關(guān)于如何利用點(diǎn)集構(gòu)造三角剖分，可以參考文獻(xiàn)［6］。令｛ei，i=1，…，n｝是測(cè)定的對(duì)應(yīng)地點(diǎn)上的場(chǎng)強(qiáng)實(shí)值。由于場(chǎng)強(qiáng)分布是連續(xù)的，要求計(jì)算出的場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)sE∈C1（Δ）能滿足一階連續(xù)，同時(shí)要求sE（vi）=zi，i=1，…，n.因?yàn)楸疚囊髨?chǎng)強(qiáng)函數(shù)sE能夠逼近這些給定的實(shí)值，即，如果存在某個(gè)f∈C1（Δ），有zi=f（xi，yi），那么希望sE與f能夠充分的接近。

接下來(lái)簡(jiǎn)單介紹一下能量函數(shù)。能量函數(shù)G（s）是用來(lái)表示通過(guò)固定數(shù)據(jù)點(diǎn)V的彈性曲面s的一種勢(shì)能量。這種彈性曲面的勢(shì)能量可以表示為：

其中H和K分別是曲面s的平均曲率和高斯曲率，a和b是與曲面材料有關(guān)的常數(shù)［7］。特別的，

和

其中κ1和κ2是曲面的主曲率。如果曲面的擾度非常小，那么假設(shè)fx≈0以及fy≈0。這樣能量函數(shù)G就可以簡(jiǎn)化成下面的形式：其中參數(shù)ω也是一個(gè)與曲面材料有關(guān)的常數(shù)［8］。簡(jiǎn)單化處理，令a=1以及ω=0。這樣能量函數(shù)就可以表示為：

而現(xiàn)在這個(gè)形式就是文獻(xiàn)中常用的能量函數(shù)形式［9］，也是本文將要采用的一種形式。

接下來(lái)利用最小能量法來(lái)計(jì)算這些系數(shù)。計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的問(wèn)題可以表示成以下的數(shù)學(xué)形式：尋找一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)sE∈（Δ），滿足

且

令f=（zi，i=1，…，n）是給定數(shù)據(jù)值組成的向量。根據(jù)Hermite插值條件表示為另一個(gè)線性系統(tǒng)I c=f，那么計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為以下的帶約束的最小化問(wèn)題：

利用Lagrange乘數(shù)方法，令

為一個(gè)拉格朗日函數(shù)。需要找到一個(gè)局部最小的解L（c，α，β），即：

有

為了解上述奇異的線性系統(tǒng)，把它寫(xiě)成下面的矩陣形式：

其中K是奇異矩陣。接下來(lái)利用以下迭代算法來(lái)解這個(gè)系統(tǒng)。

迭代算法：任意給定小的常數(shù)ε＞0和λ（0）的初始值（一般可以選擇λ（0）=0），那么可以得到c的初始值：

依次地，利用如下迭代得到c（k），k≥2：

關(guān)于迭代算法的收斂性分析可以參考文獻(xiàn)［10］。

計(jì)算出了場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)的系數(shù)c，同時(shí)就確定了場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)。這樣任何地方（xi，yi）處的場(chǎng)強(qiáng)就可以用公式計(jì)算出來(lái)。

3 浙江省內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算

本節(jié)通過(guò)計(jì)算模擬還原浙江省內(nèi)某一頻率的場(chǎng)強(qiáng)覆蓋情況。

若浙江省擬實(shí)現(xiàn)某一頻率的同步廣播覆蓋，那么全面掌握該頻率在省內(nèi)的覆蓋情況至關(guān)重要。準(zhǔn)確真實(shí)的場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)分布將為發(fā)射點(diǎn)、發(fā)射功率的確定及調(diào)整提供數(shù)值依據(jù)。服務(wù)區(qū)內(nèi)，場(chǎng)強(qiáng)已測(cè)定數(shù)值越多且越具有代表性，那么區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)分布還原越真實(shí)、越準(zhǔn)確。

假設(shè)｛（xi，yi，E（xi，yi），i=1，…，35｝是已經(jīng)測(cè)定的浙江省內(nèi)35個(gè)主要測(cè)試地點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)。令Δ是一個(gè)根據(jù)這35個(gè)主要測(cè)試地點(diǎn)｛（xi，yi），i=1，…，35｝來(lái)建立的一個(gè)三角剖分（如圖1），這里運(yùn)用（Δ）這種樣條空間。需要找一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)sE∈（Δ）滿足

以及其中G（s）為第二節(jié)中的能量函數(shù)，可以證明存在一個(gè)唯一的解sE屬于（Δ）樣條空間。

圖1 浙江省內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)以及相應(yīng)的三角剖分

最后通過(guò)計(jì)算得到了省內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)sE，并利用了這個(gè)函數(shù)還原了浙江省內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布，如圖2所示。

圖2 浙江省內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)分布

得到了場(chǎng)強(qiáng)分布函數(shù)，對(duì)于區(qū)域分布內(nèi)任一點(diǎn)的數(shù)值，都可以通過(guò)函數(shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算求得。

4 總 結(jié)

本文提出了一種利用樣條函數(shù)構(gòu)造場(chǎng)強(qiáng)函數(shù)的方法，該方法采用帶約束最小能量函數(shù)的插值計(jì)算。本文不僅從數(shù)學(xué)理論上分析了該算法，而且也從數(shù)值模擬計(jì)算上實(shí)現(xiàn)了該算法。但由于浙江省內(nèi)目前無(wú)法做到同頻覆蓋，因此采用了假定數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，但它可以為今后省內(nèi)同頻覆蓋提供理論參考。同時(shí)也可以為廣播頻率的設(shè)計(jì)、發(fā)射機(jī)功率的確定以及臺(tái)站位置的規(guī)劃提供數(shù)值計(jì)算依據(jù)。

由于地球是一個(gè)球體，因此采用二元樣條函數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬計(jì)算有它的局限性。今后的工作，將在本文的基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加構(gòu)造球面樣條函數(shù)，進(jìn)一步提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。

［1］吳洪秀.中短波廣播信號(hào)場(chǎng)強(qiáng)測(cè)量方法在實(shí)際中的應(yīng)用［J］.中國(guó)無(wú)線電，2011（8）：32-33.

［2］王貴金，徐蘇顯，吳晉軍.揚(yáng)州中波廣播場(chǎng)強(qiáng)覆蓋收測(cè)與分析［J］.視聽(tīng)界廣播電視技術(shù)，2012（3）：47-53.

［3］周天和.二元樣條函數(shù)方法求數(shù)據(jù)插值擬合問(wèn)題［D］.杭州：浙江大學(xué)，2008：2-9.

［4］Lai M J，Schumaker L L.Spline Functions on Triangulations［M］.Cambridge：United Kingdom at the University Press，2007.

［5］Lai M J，Schumaker L L.Approximation power of bivariate splines［J］.Advances in Computational Mathematics，1998，9（2）：251-279.

［6］Schumaker L L.Triangulation methods［C］//Multivariate Approximation.New York，1987：219-232.

［7］Willmore T J.Riemannian Geometry［M］.New York：Oxford University Press，1997.

［8］Schumaker L L，F(xiàn)asshauer G E.Minimal energy surfaces using parametric splines［J］.Computer Aided Geometric Design，1996，13：45-76.

［9］Farmer K，Lai M J.Scattered data interpolation by C?2 quintic splines using energy minimization［C］//Approximation Theory 9.New York，1998：47-54.

［10］Awanou G，Lai M J，Wenston P.The multivariate spline method for scattered data fitting and numerical solutions of partial differential equations［C］//Wavelets and Splines.Tennessee，2006：24-76.

A Numerical Calculation Method on Measurement of Field lntensity

MIAO Jia-jia1，ZHOU Tian-he2
（1.Zhejiang Province AM Transmission Management Center，Hangzhou 310012，China；2.School of Sciences，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper proposes an algorithm on measurement of field intensity to calculate field intensity distribution function of unknown regions by known field intensity data.Specifically，it constructs corresponding triangular meshes by positions of measured field intensity data，builds Bernstein polynomials on each triangular mesh，and uses the method of minimizing energy function to determine B coefficient of Bernstein basis function，and thus determines the function distribution of the entire field intensity. Through testing and simulation calculation of actual field intensity reception of a frequency coverage area among 35 measuring points in Zhejiang Province，results indicate that this algorithm is feasible，and could provide reference for the design of radio frequency，determination of transmitter power and station location planning.

Bernstein；energy function；spline function；field intensity distribution function

O241.5

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）03-0329-04

2013-11-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11201429）

繆佳佳（1981-），女，浙江杭州人，工程師，大學(xué)本科，主要從事廣播電視技術(shù)的研究。

周天和，電子郵箱：barton@zstu.edu.cn

文章編號(hào)：1673-3851（2014）03-0333-06