歐陽才學

專題策劃：高考閱卷老師談答題技巧

編者按：高考前，你是否每天跳進題海，算題目算到天昏地暗，與同學討論爭得面紅耳赤，卻忽略了仔細審題或者沒有靜下心來對解答完的問題進行總結(jié)與反思？高考中，你是否將“做完所有題目”定為唯一目標，按照題目順序一路做下去，哪怕中間遇到阻礙，而不知道高考數(shù)學的答題策略？高考后，你是否因為自己將在高考數(shù)學考場上需要注意的一系列細節(jié)拋到腦后而懊惱不已？其實，這些問題都可以在你步入考場前解決.針對這些常見問題，有著多年高考閱卷經(jīng)驗的四位老師有話要說.

數(shù)學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一，也是考生失分較多的一種題型.湖南高考數(shù)學應用題十分有特色，一般命制兩道應用題，即一道概率應用題、一道綜合類型應用題.但在實際的教學中，大家普遍感到這部分知識教師難教，學生難學.問題出在什么地方呢？考生從考場出來后說：“我10分鐘都沒有讀懂題，所以只好放棄.”這一語道破了“天機”.這其中的主要原因是：一方面，應用題本身具有實用性、新穎性、靈活性等特點，題中概念多、字母多、相關(guān)制約因素多，考生顧此失彼.另一方面，在知識上，考生的基本功差，缺乏語言加工、概括、提煉與重組的能力，不能完整領(lǐng)會題意，不能將實際問題“數(shù)學化”并運用所學知識建立數(shù)學模型；在心理上，考生的承受能力差，適應能力差，面對長串的文字語言，心慌意亂，在審題時讀了“后語”忘了“前言”，面對題目中出現(xiàn)的新知識、新概念，不能沉著思考，出現(xiàn)急躁情緒.

解答數(shù)學應用題的要點是能閱讀、理解陳述的材料，深刻理解題意，學會文字語言向數(shù)學的符號語言的翻譯轉(zhuǎn)化，建立對應的數(shù)學模型解答.

著名數(shù)學家波利亞在“怎樣解題”中，將數(shù)學習題的解題過程分解為四步：①弄清問題；②擬定計劃；③實現(xiàn)計劃；④解題回顧.這里的弄清問題就是我們通常所說的“審題”，現(xiàn)結(jié)合具體的高考試題，與同學們談談數(shù)學應用題審題的一般策略與方法.

一、對題目中關(guān)鍵字詞和符號的理解

在讀應用題時，同學們要像讀文言文那樣逐字逐句、“咬文嚼字”地去讀.仔細分析是應用題審題的重要策略之一.數(shù)學應用題中經(jīng)常出現(xiàn)一些新概念和字母符號，出現(xiàn)一些容易被忽視的條件、字、詞，不少考生就是因為審題時粗心大意，從而導致失誤.

例題 按照某學者的理論，假設(shè)一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品的單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價為m元，那么他的滿意度為 ；如果他買進該產(chǎn)品的單價為n元，那么他的滿意度為 .如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h1和h2，那么他對這兩種交易的綜合滿意度為 .

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元.設(shè)產(chǎn)品A、B的單價分別為mA元和mB元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙.

（1）求h甲和h乙關(guān)于mA與mB的表達式.當mA= mB時，求證：h甲=h乙.

（2）設(shè)mA= mB，當mA，mB分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大綜合滿意度為多少？

（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h0，試問：能否適當選取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時成立，但等號不同時成立？請說明理由.

此題的文字敘述很長，新知識、新概念多，字母符號多.新概念有賣出的滿意度、買進的滿意度、綜合滿意度、最大滿意度等，字母有A、B、a、m、n、h1、h2、mA、mB、h甲、h乙、h0，多達12個.如果不沉著思考，迅速地“對號入座”，問題就很難解決.如果能認真分析，將題中的新概念和題中出現(xiàn)的字母聯(lián)系起來，問題就不難解決.現(xiàn)分析如下：

a——單件成本，m——賣出單價，n——買進單價， ——賣出滿意度， ——買進滿意度.h1= ，h2= ，賣出與買進的綜合滿意度為 = .

mA——A產(chǎn)品的單價，mB ——B產(chǎn)品的單價，h甲為甲買進A與賣出B的綜合滿意度，即h甲= ，同理h乙= .

這樣，數(shù)學模型就不難建立起來了.接著利用函數(shù)、不等式等知識，問題便可迎刃而解.

二、抓住題目中的主要問題和線索

數(shù)學應用題有時文字敘述可能很長，但是起關(guān)鍵作用的話可能只有一兩句，如果抓住這一兩句話，問題就能得到解決.有時如果以某一概念為主線，問題也能很快得到解決.

如上述例題中，雖然題目很長，但關(guān)鍵還是理解綜合滿意度為 = .其中，h1= 是單件成本為a元、賣出單價為m元的賣出滿意度，h2= 是單件成本為a元、買進單價為n元的買進滿意度.甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h甲= ，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h乙= .抓住題目中這幾個關(guān)鍵式子，問題就不難解決了.

下面以2013年高考湖南理科卷第20題為例，談談高考數(shù)學應用題的審題智慧.

高考真題 在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點A（3，20），B（-10，0），C（14，0）處.現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心.

（Ⅰ）寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）.

（Ⅱ）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護區(qū)，“L路徑”不能進入保護區(qū).請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.

審題 （Ⅰ）“L路徑”=水平距離+垂直距離.

（Ⅱ）點P到A，B，C三點的“L路徑”長度之和的最小值d = 水平距離之和的最小值h + 垂直距離之和的最小值v，且h和v互不影響.

實際上，同學們只要理解此題上述兩個要點，得分就不難了.解答數(shù)學應用題時，同學們?nèi)绻茏プ☆}目中的主要問題和線索，列出相應的函數(shù)關(guān)系式，那么你的得分就能在一半以上.站在閱卷者的角度看，應用題建模列式比解模更重要，所以此段的分值比重相對來說比較高，為此應用題的審題就顯得很重要了.

解答過程 （解法1）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度的最小值為|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（說明：解答中出現(xiàn)“|x-3|”或“|y-20|”給1分）

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

當且僅當x=3時，上述不等式中的等號成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

當且僅當x∈[-10，14]時，上述不等式中的等號成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，當且僅當y=1時，等號成立.………………………………………………9分

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.……10分

②當0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進入保護區(qū)，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此時，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時等號成立.

故在點P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.……13分

（解法2）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（ⅰ）當x≥14時，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）當3≤x<14時，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）當-10≤x<3時，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）當x<-10時，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以當x=3時，d1（x）的最小值為24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（?。┊攜≥20時，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）當1≤y<20時，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以當y=1時，d2（y）的最小值為21.

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.………10分

以下解法同解法1.

總之，審題是解題的一個重要步驟，通過審題，收集信息，加工信息，熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考，同學們就會找到解題的突破口，也會在解題的過程中，不忽視任何一個細節(jié).審題決定成敗，審題是通向成功的起點，也是成功的歸宿.

（作者為湖南寧遠縣一中教師，參加2012年和2013年湖南高考數(shù)學閱卷工作，擔任理科閱卷小組組長）（責任編校？筑周峰）

解答過程 （解法1）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度的最小值為|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（說明：解答中出現(xiàn)“|x-3|”或“|y-20|”給1分）

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

當且僅當x=3時，上述不等式中的等號成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

當且僅當x∈[-10，14]時，上述不等式中的等號成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，當且僅當y=1時，等號成立.………………………………………………9分

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.……10分

②當0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進入保護區(qū)，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此時，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時等號成立.

故在點P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.……13分

（解法2）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（?。┊攛≥14時，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）當3≤x<14時，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）當-10≤x<3時，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）當x<-10時，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以當x=3時，d1（x）的最小值為24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（?。┊攜≥20時，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）當1≤y<20時，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以當y=1時，d2（y）的最小值為21.

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.………10分

以下解法同解法1.

總之，審題是解題的一個重要步驟，通過審題，收集信息，加工信息，熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考，同學們就會找到解題的突破口，也會在解題的過程中，不忽視任何一個細節(jié).審題決定成敗，審題是通向成功的起點，也是成功的歸宿.

（作者為湖南寧遠縣一中教師，參加2012年和2013年湖南高考數(shù)學閱卷工作，擔任理科閱卷小組組長）（責任編校？筑周峰）

解答過程 （解法1）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度的最小值為|x-3|+|y-20|，x∈R，y∈[0，+∞）. …………4分

（說明：解答中出現(xiàn)“|x-3|”或“|y-20|”給1分）

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

于是有d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+ |x-14|，…………………………………………7分

當且僅當x=3時，上述不等式中的等號成立.

又|x+10|+|x-14|≥24，……………………8分

當且僅當x∈[-10，14]時，上述不等式中的等號成立.

d2（y）=2y+|y-20|≥21，當且僅當y=1時，等號成立.………………………………………………9分

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.……10分

②當0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進入保護區(qū)，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+ |y-20|. …………………………………………11分

此時，d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d2（y）=1+ |1-y|+|y|+ |y-20|=22- y≥21.…………………12分

由①可知，d1（x）≥24，故d1（x）+d2（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時等號成立.

故在點P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.……13分

（解法2）設(shè)點P的坐標為（x，y）.

（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）由題意可知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值.

①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+ |y-20|.……………………………………………6分

由于d1（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，

（ⅰ）當x≥14時，d1（x）=（x+10）+（x-14）+（x-3）=3x-7∈[35，+∞） ；

（ⅱ）當3≤x<14時，d1（x）=（x+10）-（x-14）+（x-3）=x+21∈[24，35）；…………………………7分

（ⅲ）當-10≤x<3時，d1（x）=（x+10）-（x-14）-（x-3）=-x+27∈（24，37] ；

（ⅳ）當x<-10時，d1（x）=-（x+10）-（x-14）-（x-3）=-3x+7∈（37，+∞） ，所以當x=3時，d1（x）的最小值為24.……………………………………8分

由于d2（y）=2|y|+|y-20|，

（?。┊攜≥20時，d2（y）=2y+（y-20）=3y-20∈[40，+∞） ；

（ⅱ）當1≤y<20時，d2（y）=2y-（y-20）=y+20∈[21，40）， …………………………………………9分

所以當y=1時，d2（y）的最小值為21.

故點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.………10分

以下解法同解法1.

總之，審題是解題的一個重要步驟，通過審題，收集信息，加工信息，熟悉題目并深入到題目內(nèi)部去思考，同學們就會找到解題的突破口，也會在解題的過程中，不忽視任何一個細節(jié).審題決定成敗，審題是通向成功的起點，也是成功的歸宿.

（作者為湖南寧遠縣一中教師，參加2012年和2013年湖南高考數(shù)學閱卷工作，擔任理科閱卷小組組長）（責任編校？筑周峰）