李仲凱

高考壓軸題是我們對高考試卷中最后一道題或最后兩道題的習慣稱呼.隨著新課程改革的不斷深入，高考數(shù)學壓軸題的命題視角呈現(xiàn)多元化的趨勢，中等數(shù)學與高等數(shù)學之間相銜接的知識點，甚至數(shù)學競賽的一些典型的問題與知識點、典型的思想方法，也逐漸向高考壓軸題滲透.因此，高考數(shù)學壓軸題的特點是：綜合性強，難度大，區(qū)分度高.

從最近兩年參加湖南省高考壓軸題閱卷的情況來看，半數(shù)考生只做了第一問，這其中還有近兩成的考生答錯了，相當一部分考生干脆選擇放棄，壓軸題得高分的考生不到一成.分析湖南高考數(shù)學壓軸題得分很低的原因，我認為有三個方面：①高考畢竟是選拔性考試，壓軸題有很強的階梯式區(qū)分功能.②部分基礎較好的考生，沒能通過平常壓軸題的練習，很好地歸納和總結方法，并逐步提升解題能力，導致考試時對壓軸題的解答依舊信心不夠.③與部分教師的指導思想有一定關系.教師根據(jù)平時考試時壓軸題得分低的現(xiàn)狀，淡化壓軸題的教學，甚至指導考生抓好基礎題而放棄壓軸題.但是，考生要想在數(shù)學科上拿高分，壓軸題就成了考生必須攻克的堡壘.2013年高考湖南卷的第21題和第22題均為13分，考生如果在這兩道題上選擇放棄或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正確看待壓軸題，克服恐懼心理

壓軸題分值高但難度較大，因此很多考生對數(shù)學壓軸題可謂既愛又恨.考試時，很多考生都想努力一把，但又擔心花時間太多，甚至還可能會空手而歸.其實，從全國各套文、理科數(shù)學高考試卷來看，每一道壓軸題都至少設計兩個小問題，這兩問之間一般是有梯度的.對于第一問，基礎稍好的考生努力一下，是完全能夠解答好的.在平時的考試中，考生就要培養(yǎng)這個信心.有少數(shù)基礎較好的考生，因對壓軸題的認識不夠，放棄了這些分數(shù)，確實很可惜.

二、認真審題，認清問題的結構關系

數(shù)學壓軸題通常會設有2—3個問題，這些問題之間有并列式、遞進式兩種不同的結構關系.兩問屬于并列式，即兩問之間相互獨立，沒有必然的內(nèi)在聯(lián)系；遞進式是指下一問必須借助上一問的結論來完成解答.

1.并列式結構

例1 （2013年高考廣東理科卷第21題）設函數(shù) f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當 k∈（ ，1]時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21題）數(shù)列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函數(shù)fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的極小值點.

（Ⅰ）當a=0時，求通項an.

（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

例1和例2的兩問之間是相互獨立的，且第一問相對比較簡單，特別是當考生在解答第一問思維受阻的情況下，第二問依然可以作答得分.

2.遞進式結構

高考數(shù)學壓軸題的幾個問題的設計更多的是遞進式結構，即下一個問題的解答要用到上一個問題的結論.很多考生不習慣將上一問的結論靈活地應用到下一問的解題當中去，特別是對兩問之間較為隱蔽的內(nèi)在聯(lián)系不能及時發(fā)現(xiàn)，從而導致解答壓軸題的效果較差.

例3 （2010年高考全國新課標理科卷第21題）設函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解答例3的第二問要用到第一問“當a=0時，ex≥1+x”這一結論.

三、夯實基礎，加強對通性通法的掌握與運用

考生要想解好壓軸題，首先必須擁有扎實的數(shù)學基礎知識，平時多注重數(shù)形結合、分類討論、化歸思想、函數(shù)思想等數(shù)學思想的訓練，復習過的知識點一定要學懂、學透，做到舉一反三，然后得出自己的見解；其次，考生要注意知識的積累，如用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值時，常遇到對ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等結論的理解與靈活運用；最后，考生一定要加強數(shù)學運算能力的培養(yǎng).在高考閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)很多考生盡管解題的思路是正確的，但由于中間的運算出錯而失分，著實可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22題考查的可以說就是考生的數(shù)學基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22題）已知a>0，函數(shù)f（x）=| |.

（Ⅰ）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式.

（Ⅱ）是否存在a，使函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

考卷提供的答案是：解答第一問時，分類討論去絕對值，求導后討論a的取值范圍，從而確定g（a）的表達式；解答第二問時，利用第一問的結論縮小a的取值范圍，利用切線的幾何意義表示出兩點坐標間的關系，然后轉化為集合問題求解.如果運用數(shù)形結合思想來解答，我們可以大大簡化解答過程.

四、重視基礎，注重對知識的深層次探究

教材上有這樣一道習題：已知B（-3，0），C（3，0），直線AB，AC相交于點A，且它們的斜率之積為- ，求點A的軌跡方程.

解：設點A的坐標為（x，y），則有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故點A的軌跡方程是 + =1（x≠±3）.如果同學們重視基礎的同時有深入探究的習慣，同學們不難發(fā)現(xiàn)，這道題其實還蘊含橢圓的一條重要性質：橢圓 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意過原點的弦AB的兩端點與橢圓上的任意一點P（除這兩點外）連線的斜率之積，即kAP·kBP =- .

五、把握出題熱點，有目的性地加強練習

有老師曾對2004—2010年全國各地文科和理科各125套試卷中的壓軸題的題型作了分類，并對各知識點的考查作了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除了一些創(chuàng)新題外，常規(guī)題型不管是理科還是文科，均相對集中于四個板塊（圓錐曲線、導數(shù)及其應用、數(shù)列以及不等式）中，而且這些題型的解法基本上不是通性通法.這些試題即使不出現(xiàn)在倒數(shù)第一、二道題的位置，也會出現(xiàn)在倒數(shù)第三、四道題的位置.因此，同學們有必要加大對這四個板塊的復習力度.

希望同學們重視基礎，強調(diào)通性通法的運用，然后制訂計劃對各模塊選擇一些相關高考壓軸題來練習，循序漸進，這樣經(jīng)過一段時間的學習后，同學們一定會有收獲的.

（作者為湖南岳陽縣職業(yè)中專教師，參加2010年和2012年湖南高考數(shù)學閱卷工作）

（責任編校？筑周峰）

高考壓軸題是我們對高考試卷中最后一道題或最后兩道題的習慣稱呼.隨著新課程改革的不斷深入，高考數(shù)學壓軸題的命題視角呈現(xiàn)多元化的趨勢，中等數(shù)學與高等數(shù)學之間相銜接的知識點，甚至數(shù)學競賽的一些典型的問題與知識點、典型的思想方法，也逐漸向高考壓軸題滲透.因此，高考數(shù)學壓軸題的特點是：綜合性強，難度大，區(qū)分度高.

從最近兩年參加湖南省高考壓軸題閱卷的情況來看，半數(shù)考生只做了第一問，這其中還有近兩成的考生答錯了，相當一部分考生干脆選擇放棄，壓軸題得高分的考生不到一成.分析湖南高考數(shù)學壓軸題得分很低的原因，我認為有三個方面：①高考畢竟是選拔性考試，壓軸題有很強的階梯式區(qū)分功能.②部分基礎較好的考生，沒能通過平常壓軸題的練習，很好地歸納和總結方法，并逐步提升解題能力，導致考試時對壓軸題的解答依舊信心不夠.③與部分教師的指導思想有一定關系.教師根據(jù)平時考試時壓軸題得分低的現(xiàn)狀，淡化壓軸題的教學，甚至指導考生抓好基礎題而放棄壓軸題.但是，考生要想在數(shù)學科上拿高分，壓軸題就成了考生必須攻克的堡壘.2013年高考湖南卷的第21題和第22題均為13分，考生如果在這兩道題上選擇放棄或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正確看待壓軸題，克服恐懼心理

壓軸題分值高但難度較大，因此很多考生對數(shù)學壓軸題可謂既愛又恨.考試時，很多考生都想努力一把，但又擔心花時間太多，甚至還可能會空手而歸.其實，從全國各套文、理科數(shù)學高考試卷來看，每一道壓軸題都至少設計兩個小問題，這兩問之間一般是有梯度的.對于第一問，基礎稍好的考生努力一下，是完全能夠解答好的.在平時的考試中，考生就要培養(yǎng)這個信心.有少數(shù)基礎較好的考生，因對壓軸題的認識不夠，放棄了這些分數(shù)，確實很可惜.

二、認真審題，認清問題的結構關系

數(shù)學壓軸題通常會設有2—3個問題，這些問題之間有并列式、遞進式兩種不同的結構關系.兩問屬于并列式，即兩問之間相互獨立，沒有必然的內(nèi)在聯(lián)系；遞進式是指下一問必須借助上一問的結論來完成解答.

1.并列式結構

例1 （2013年高考廣東理科卷第21題）設函數(shù) f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當 k∈（ ，1]時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21題）數(shù)列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函數(shù)fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的極小值點.

（Ⅰ）當a=0時，求通項an.

（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

例1和例2的兩問之間是相互獨立的，且第一問相對比較簡單，特別是當考生在解答第一問思維受阻的情況下，第二問依然可以作答得分.

2.遞進式結構

高考數(shù)學壓軸題的幾個問題的設計更多的是遞進式結構，即下一個問題的解答要用到上一個問題的結論.很多考生不習慣將上一問的結論靈活地應用到下一問的解題當中去，特別是對兩問之間較為隱蔽的內(nèi)在聯(lián)系不能及時發(fā)現(xiàn)，從而導致解答壓軸題的效果較差.

例3 （2010年高考全國新課標理科卷第21題）設函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解答例3的第二問要用到第一問“當a=0時，ex≥1+x”這一結論.

三、夯實基礎，加強對通性通法的掌握與運用

考生要想解好壓軸題，首先必須擁有扎實的數(shù)學基礎知識，平時多注重數(shù)形結合、分類討論、化歸思想、函數(shù)思想等數(shù)學思想的訓練，復習過的知識點一定要學懂、學透，做到舉一反三，然后得出自己的見解；其次，考生要注意知識的積累，如用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值時，常遇到對ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等結論的理解與靈活運用；最后，考生一定要加強數(shù)學運算能力的培養(yǎng).在高考閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)很多考生盡管解題的思路是正確的，但由于中間的運算出錯而失分，著實可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22題考查的可以說就是考生的數(shù)學基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22題）已知a>0，函數(shù)f（x）=| |.

（Ⅰ）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式.

（Ⅱ）是否存在a，使函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

考卷提供的答案是：解答第一問時，分類討論去絕對值，求導后討論a的取值范圍，從而確定g（a）的表達式；解答第二問時，利用第一問的結論縮小a的取值范圍，利用切線的幾何意義表示出兩點坐標間的關系，然后轉化為集合問題求解.如果運用數(shù)形結合思想來解答，我們可以大大簡化解答過程.

四、重視基礎，注重對知識的深層次探究

教材上有這樣一道習題：已知B（-3，0），C（3，0），直線AB，AC相交于點A，且它們的斜率之積為- ，求點A的軌跡方程.

解：設點A的坐標為（x，y），則有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故點A的軌跡方程是 + =1（x≠±3）.如果同學們重視基礎的同時有深入探究的習慣，同學們不難發(fā)現(xiàn)，這道題其實還蘊含橢圓的一條重要性質：橢圓 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意過原點的弦AB的兩端點與橢圓上的任意一點P（除這兩點外）連線的斜率之積，即kAP·kBP =- .

五、把握出題熱點，有目的性地加強練習

有老師曾對2004—2010年全國各地文科和理科各125套試卷中的壓軸題的題型作了分類，并對各知識點的考查作了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除了一些創(chuàng)新題外，常規(guī)題型不管是理科還是文科，均相對集中于四個板塊（圓錐曲線、導數(shù)及其應用、數(shù)列以及不等式）中，而且這些題型的解法基本上不是通性通法.這些試題即使不出現(xiàn)在倒數(shù)第一、二道題的位置，也會出現(xiàn)在倒數(shù)第三、四道題的位置.因此，同學們有必要加大對這四個板塊的復習力度.

希望同學們重視基礎，強調(diào)通性通法的運用，然后制訂計劃對各模塊選擇一些相關高考壓軸題來練習，循序漸進，這樣經(jīng)過一段時間的學習后，同學們一定會有收獲的.

（作者為湖南岳陽縣職業(yè)中專教師，參加2010年和2012年湖南高考數(shù)學閱卷工作）

（責任編校？筑周峰）

高考壓軸題是我們對高考試卷中最后一道題或最后兩道題的習慣稱呼.隨著新課程改革的不斷深入，高考數(shù)學壓軸題的命題視角呈現(xiàn)多元化的趨勢，中等數(shù)學與高等數(shù)學之間相銜接的知識點，甚至數(shù)學競賽的一些典型的問題與知識點、典型的思想方法，也逐漸向高考壓軸題滲透.因此，高考數(shù)學壓軸題的特點是：綜合性強，難度大，區(qū)分度高.

從最近兩年參加湖南省高考壓軸題閱卷的情況來看，半數(shù)考生只做了第一問，這其中還有近兩成的考生答錯了，相當一部分考生干脆選擇放棄，壓軸題得高分的考生不到一成.分析湖南高考數(shù)學壓軸題得分很低的原因，我認為有三個方面：①高考畢竟是選拔性考試，壓軸題有很強的階梯式區(qū)分功能.②部分基礎較好的考生，沒能通過平常壓軸題的練習，很好地歸納和總結方法，并逐步提升解題能力，導致考試時對壓軸題的解答依舊信心不夠.③與部分教師的指導思想有一定關系.教師根據(jù)平時考試時壓軸題得分低的現(xiàn)狀，淡化壓軸題的教學，甚至指導考生抓好基礎題而放棄壓軸題.但是，考生要想在數(shù)學科上拿高分，壓軸題就成了考生必須攻克的堡壘.2013年高考湖南卷的第21題和第22題均為13分，考生如果在這兩道題上選擇放棄或得分太少，自然就拿不到高分.

一、正確看待壓軸題，克服恐懼心理

壓軸題分值高但難度較大，因此很多考生對數(shù)學壓軸題可謂既愛又恨.考試時，很多考生都想努力一把，但又擔心花時間太多，甚至還可能會空手而歸.其實，從全國各套文、理科數(shù)學高考試卷來看，每一道壓軸題都至少設計兩個小問題，這兩問之間一般是有梯度的.對于第一問，基礎稍好的考生努力一下，是完全能夠解答好的.在平時的考試中，考生就要培養(yǎng)這個信心.有少數(shù)基礎較好的考生，因對壓軸題的認識不夠，放棄了這些分數(shù)，確實很可惜.

二、認真審題，認清問題的結構關系

數(shù)學壓軸題通常會設有2—3個問題，這些問題之間有并列式、遞進式兩種不同的結構關系.兩問屬于并列式，即兩問之間相互獨立，沒有必然的內(nèi)在聯(lián)系；遞進式是指下一問必須借助上一問的結論來完成解答.

1.并列式結構

例1 （2013年高考廣東理科卷第21題）設函數(shù) f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）.

（1）當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當 k∈（ ，1]時，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M.

例2 （2010年高考湖南理科卷第21題）數(shù)列{an}（n∈ ）中，a1=a，an+1是函數(shù)fn（x）= x3- （3an+n2）x2+3n2anx的極小值點.

（Ⅰ）當a=0時，求通項an.

（Ⅱ）是否存在a，使數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

例1和例2的兩問之間是相互獨立的，且第一問相對比較簡單，特別是當考生在解答第一問思維受阻的情況下，第二問依然可以作答得分.

2.遞進式結構

高考數(shù)學壓軸題的幾個問題的設計更多的是遞進式結構，即下一個問題的解答要用到上一個問題的結論.很多考生不習慣將上一問的結論靈活地應用到下一問的解題當中去，特別是對兩問之間較為隱蔽的內(nèi)在聯(lián)系不能及時發(fā)現(xiàn)，從而導致解答壓軸題的效果較差.

例3 （2010年高考全國新課標理科卷第21題）設函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（Ⅰ）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

解答例3的第二問要用到第一問“當a=0時，ex≥1+x”這一結論.

三、夯實基礎，加強對通性通法的掌握與運用

考生要想解好壓軸題，首先必須擁有扎實的數(shù)學基礎知識，平時多注重數(shù)形結合、分類討論、化歸思想、函數(shù)思想等數(shù)學思想的訓練，復習過的知識點一定要學懂、學透，做到舉一反三，然后得出自己的見解；其次，考生要注意知識的積累，如用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與極值時，常遇到對ex≥x+1，ln x≤x-1（x>0），x≥sin x（x≥0）等結論的理解與靈活運用；最后，考生一定要加強數(shù)學運算能力的培養(yǎng).在高考閱卷中，我們發(fā)現(xiàn)很多考生盡管解題的思路是正確的，但由于中間的運算出錯而失分，著實可惜.例如，2013年高考湖南理科卷第22題考查的可以說就是考生的數(shù)學基本功.

例4 （2013年高考湖南理科卷第22題）已知a>0，函數(shù)f（x）=| |.

（Ⅰ）記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式.

（Ⅱ）是否存在a，使函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（0，4）內(nèi)的圖像上存在兩點，在該兩點處的切線互相垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

考卷提供的答案是：解答第一問時，分類討論去絕對值，求導后討論a的取值范圍，從而確定g（a）的表達式；解答第二問時，利用第一問的結論縮小a的取值范圍，利用切線的幾何意義表示出兩點坐標間的關系，然后轉化為集合問題求解.如果運用數(shù)形結合思想來解答，我們可以大大簡化解答過程.

四、重視基礎，注重對知識的深層次探究

教材上有這樣一道習題：已知B（-3，0），C（3，0），直線AB，AC相交于點A，且它們的斜率之積為- ，求點A的軌跡方程.

解：設點A的坐標為（x，y），則有 · = - ，即 =- ，整理得4x2+9y2=36.故點A的軌跡方程是 + =1（x≠±3）.如果同學們重視基礎的同時有深入探究的習慣，同學們不難發(fā)現(xiàn)，這道題其實還蘊含橢圓的一條重要性質：橢圓 + =1（a>0，b>0，a≠b）上任意過原點的弦AB的兩端點與橢圓上的任意一點P（除這兩點外）連線的斜率之積，即kAP·kBP =- .

五、把握出題熱點，有目的性地加強練習

有老師曾對2004—2010年全國各地文科和理科各125套試卷中的壓軸題的題型作了分類，并對各知識點的考查作了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)除了一些創(chuàng)新題外，常規(guī)題型不管是理科還是文科，均相對集中于四個板塊（圓錐曲線、導數(shù)及其應用、數(shù)列以及不等式）中，而且這些題型的解法基本上不是通性通法.這些試題即使不出現(xiàn)在倒數(shù)第一、二道題的位置，也會出現(xiàn)在倒數(shù)第三、四道題的位置.因此，同學們有必要加大對這四個板塊的復習力度.

希望同學們重視基礎，強調(diào)通性通法的運用，然后制訂計劃對各模塊選擇一些相關高考壓軸題來練習，循序漸進，這樣經(jīng)過一段時間的學習后，同學們一定會有收獲的.

（作者為湖南岳陽縣職業(yè)中專教師，參加2010年和2012年湖南高考數(shù)學閱卷工作）

（責任編校？筑周峰）