金 毅，吳訓(xùn)忠，謝 聶

（空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安710038）

引言

光纖陀螺（FOG）是光纖傳感領(lǐng)域主要成就之一，它具有動態(tài)范圍廣、壽命長、啟動快、抗沖擊等優(yōu)點，在航空、航天和航海領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。由于FOG的元件特性等原因，在FOG的輸出信號中存在較大的隨機(jī)漂移［1］，因此建立FOG隨機(jī)漂移誤差模型以便在濾波中加以補(bǔ)償就顯得非常重要，已有的FOG隨機(jī)漂移誤差建模方法可分為3種：1）基于統(tǒng)計量的隨機(jī)漂移誤差建模，用該方法建模后物理意義明確，但存在缺陷：由實驗數(shù)據(jù)精確地確定自相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計量需花費(fèi)很長時間［2］；2） 建 立 時 間 序 列 模 型 （ARMA 模 型 ）。IEEE規(guī)定的陀螺標(biāo)準(zhǔn)［3］指出：用ARMA建立的模型，會存在模型敏感性的問題，需要大量數(shù)據(jù)對其進(jìn)行訓(xùn)練。文獻(xiàn)［4］指出：ARMA模型并不適合奇功率過程和高階過程，而FOG隨機(jī)漂移中存在以上2種過程，只是因為其影響較小，在用ARMA模型建模時忽略了其存在；3）用微分方程建立隨機(jī)漂移誤差模型。此類建模是把陀螺中的隨機(jī)漂移誤差分為白噪聲和有色噪聲的組合［5］，它具有以下優(yōu)勢：1）它把白噪聲過程從隨機(jī)漂移中分離出來，便于濾波時處理；2）用微分方程表示的隨機(jī)漂移有色噪聲項，可直接并入慣導(dǎo)誤差方程，便于計算。

采用基于隨機(jī)漂移誤差辨識的微分方程建模方法。首先用Allan方差辨識FOG靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)，確定其中有色噪聲和白噪聲參數(shù)，然后為每一種有色噪聲提供微分方程描述。在建模時使用白噪聲驅(qū)動的線性微分方程來模擬各個有色噪聲，組合白噪聲、量化噪聲和各個有色噪聲，得到最終模型。

1 FOG隨機(jī)漂移的辨識

FOG中隨機(jī)漂移誤差的辨識是指：在靜態(tài)下分析FOG的輸出數(shù)據(jù)，判斷出FOG中隨機(jī)漂移的成分及其具體參數(shù)。在陀螺中存在的主要隨機(jī)漂移成分為白噪聲、量化噪聲、零偏不穩(wěn)定性、隨機(jī)游走、斜坡誤差［6］，文中采用Allan方差分析法辨識出上述5種噪聲的具體參數(shù)。

1.1 Allan方差分析法

Allan方差分析法［7］是基于時域的分析法，能較為快捷地檢測出噪聲數(shù)據(jù)中的各類誤差源對整個噪聲的貢獻(xiàn)情況，分離出各類誤差源，并量化各類誤差源。

Allan方差法分析過程如下：以采樣時間τ0對FOG輸出角速率采樣，共采樣N個點，構(gòu)成序列｛ωt｝。把這N個采樣值分為K 組，一組有M個采樣值（M≦（N－1）／2），每組采樣所用時間τ＝Mτ0為相關(guān)時間，每組平均值為

Allan方差定義式：

式中〈〉表示總體求平均。

相關(guān)時間τ取不同值，得到相應(yīng)的Allan方差。

采樣數(shù)據(jù)中噪聲的雙邊功率譜密度Sω（f）與Allan方差存在如下關(guān)系：

（3）式說明，存在一個傳遞函數(shù)為sin4（πfτ）／（πfτ）2的濾波器，使陀螺儀輸出的噪聲與Allan方差成正比。因此，Allan方差能夠分離、辨識、量化數(shù)據(jù)中存在的各類噪聲項。

1.2 FOG隨機(jī)漂移誤差與Allan方差

FOG中的5種噪聲項都有可能存在于FOG輸出角速率中，且各個噪聲會在τ的不同區(qū)域顯現(xiàn)出來。因此，Allan方差可辨識并量化出FOG輸出角速率中存在的各個噪聲項［8］。若各個噪聲項在統(tǒng)計特性上是獨立的，則Allan方差可表示為各個噪聲項的平方和：

由于方差值在一般情況下較小，計算其標(biāo)準(zhǔn)差可提高擬合精度，（4）式近似為

用最小二乘法擬合函數(shù)σA（τ），可以求出An。再通過下面的公式，可以得到白噪聲N、量化噪聲Q、隨機(jī)游走K、零偏不穩(wěn)定性B、斜坡誤差R，其估計值為

2 漂移誤差建模

隨機(jī)漂移誤差建模時，白噪聲可以直接作為系統(tǒng)的驅(qū)動噪聲，不需要進(jìn)行建模［2］。量化噪聲可以轉(zhuǎn)化為等效的白噪聲，也無需建模［9］。而為了補(bǔ)償有色噪聲，則需要建立有色噪聲模型，特別是輸出數(shù)據(jù)中存在多種有色噪聲時，更要建立各個有色噪聲模型。對FOG中存在的3種有色噪聲：隨機(jī)游走K、零偏不穩(wěn)定性B、斜坡誤差R的建模過程如下：首先寫出各個有色噪聲的功率譜密度函數(shù)，然后用譜分解定理算出各個有色噪聲的傳遞函數(shù)，最后用各個有色噪聲的傳遞函數(shù)推導(dǎo)出其微分方程。

2.1 零偏不穩(wěn)定性建模

零偏不穩(wěn)定性的功率譜密度函數(shù)：

根據(jù)方程：

可以得到其成型濾波器的無理函數(shù)形式傳遞數(shù)：

零偏不穩(wěn)定性可用一階馬爾可夫（Markov）過程近似為［3］

經(jīng)傅里葉逆變換后，得到零偏不穩(wěn)定性的微分方程表達(dá)式：

上式中的u1（t）表示單位高斯白噪聲。β取5Hz時，可使上式的幅值誤差小于－3dB［5］。

2.2 隨機(jī)游走建模

隨機(jī)游走的功率譜密度函數(shù)：

根據(jù)（8）式可得到其成型濾波器傳遞函數(shù)：

上式傅里葉逆變換后，得到隨機(jī)游走的微分方程表達(dá)式：

上式中的u2（t）表示單位高斯白噪聲。

2.3 斜坡誤差建模

斜坡誤差的功率譜密度函數(shù)為

根據(jù)（8）式可得到其成型濾波器的無理傳遞函數(shù)：

斜坡誤差可用二階馬爾可夫過程近似，得到成型濾波器傳遞函［3］：

（17）式傅里葉逆變換后，得到斜坡誤差的微分方程：

考慮到斜坡誤差的低頻特性，取ω0等于0.05rad／s，則近似傳遞函數(shù)＾GR（jω）的幅值誤差小于－3dB。

2.4 總體方程確立

用Allan方差辨識FOG靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)，確定其中白噪聲、量化噪聲和3種有色噪聲參數(shù)后，將5組互不相關(guān)的單位高斯白噪聲作為驅(qū)動噪聲輸入到5組建立的噪聲方程中，建立的噪聲方程的系數(shù)采用Allan方差辨識出的參數(shù)，把5組方程的輸出值相加，得到最終模型，其原理如圖1所示。

圖1 隨機(jī)漂移誤差建模原理如圖Fig.1 Principle of random drift model

合并各個噪聲方程后，隨機(jī)漂移誤差y（t）表達(dá)式為

式中：u1（t）到u5（t）表示5組互不相關(guān)的單位高斯白噪聲；s是微分算子；量化噪聲Q、白噪聲N、零偏不穩(wěn)定性B、隨機(jī)游走K、斜坡誤差R取Allan方差計算值；β取4Hz；ω0取0.05rad／s。

3 試驗結(jié)果

常溫下，采集國內(nèi)某型FOG靜態(tài)角速率測試數(shù)據(jù)，采樣周期為1s，測試時間為2h，得到隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)樣本如圖2所示，其Allan方差分析結(jié)果如圖3所示。

圖2 隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)樣本Fig.2 Sample data of random drift

圖3 樣本數(shù)據(jù)Allan方差分析結(jié)果Fig.3 Analysis result of Allan variance on sample data

用本文所述方法建立隨機(jī)漂移模型，擬合出的隨機(jī)漂移誤差如圖4所示 ，其Allan方差分析結(jié)果如圖5所示。

圖4 擬合隨機(jī)漂移數(shù)據(jù)Fig.4 Fitting data of random drift

圖5 擬合數(shù)據(jù)Allan方差分析結(jié)果Fig.5 Analysis result of Allan variance on fitting data

從Allan方差分析圖中可看出，樣本數(shù)據(jù)與擬合出的隨機(jī)漂移在誤差特性上基本一致。

取傳統(tǒng)FOG隨機(jī)漂移建模中最常用的時間序列法與分析本文所述方法進(jìn)行對比分析，具體步驟見文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］。對同組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理后，經(jīng)適用性檢驗，選取AR（3）模型建立FOG隨機(jī)漂移模型，結(jié)果如下：

式中：εt～NID（0，σ2）；σ2＝0.207 871。用 Allan方差分析AR（3）模型擬合出的FOG隨機(jī)漂移，結(jié)果如圖6所示。

圖6 AR（3）擬合數(shù)據(jù)Allan方差分析結(jié)果Fig.6 Analysis result of Allan variance on AR（3）fitting data

用Allan方差所得各項噪聲系數(shù)對比分析樣本數(shù)據(jù)、AR（3）模型和本文模型擬合出的隨機(jī)漂移，結(jié)果如表1所示。

表1 Allan方差對比分析表Table 1 Comparison and analysis by Allan variance

由表1可知，采用AR（3）模型擬合出的FOG隨機(jī)漂移，其白噪聲和零偏不穩(wěn)定性較為接近原始數(shù)據(jù)，但其他噪聲項的擬合結(jié)果并不理想，單項噪聲較原始數(shù)據(jù)的最大誤差為58.3%（斜坡誤差）。文中所述方法擬合的FOG隨機(jī)漂移，其各項噪聲項均更加接近原始數(shù)據(jù)，單項噪聲較原始數(shù)據(jù)的最大誤差為8.6%（斜坡誤差），遠(yuǎn)低于傳統(tǒng)模型產(chǎn)生的單項噪聲誤差。

4 結(jié)論

在Allan方差辨識系統(tǒng)噪聲的基礎(chǔ)上，通過各噪聲項的功率譜密度函數(shù)導(dǎo)出各噪聲項的隨機(jī)微分方程，將辨識出的噪聲參數(shù)代入各噪聲項的隨機(jī)微分方程，再以單位白噪聲驅(qū)動各個隨機(jī)微分方程得到最終誤差模型。從仿真結(jié)果來看，文中所述模型的擬合精度高于傳統(tǒng)模型，是一種有效的FOG隨機(jī)漂移建模方法。

［1］ 熊 凱，雷擁軍，曾海波.基于Allan方差法的光纖陀螺建模與仿真［J］.空間控制技術(shù)與應(yīng)用，2010，36（3）：7-13.XIONG Kai，LEI Yong－jun，ZENG Hai-bo.Modeling and simulation of fiber optic gyros based on Allan variance method［J］.Aerospace Control and Application，2010，36（3）：7-13.（in Chinese with an English abstract）

［2］ BROWN R G，Hwang P Y C.Introduction to random signals and applied Kalman filtering［M］.New York：John Wiley ＆Sons，1997.

［3］ IEEE aerospace and electronic society.IEEE standard specification format guide and test procedure for single-axis interferometric fiber optic gyros［S］.USA：IEEE Press，1997.

［4］ YI Y.On improving the accuracy and reliability of GPS／INS-based direct sensor georeferencing［D］.USA：The Ohio State University，2007.

［5］ 韓松來.GPS和捷聯(lián)慣導(dǎo)組合導(dǎo)航新方法及系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方案研究［D］.長沙：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.HAN Song-lai.Research on technologies of aeronautic GNSS／SINS integration precision navigation［D］.Changsha：National University of Defence Technolo-gy，2010.（in Chinese）

［6］石國祥，陳堅，葉軍.總方差方法在光纖陀螺隨機(jī)漂移分析中的應(yīng)用［J］.光電工程，2012，39（1）：63-67.SHI Guo-xiang，CHEN Jian，YE Jun.Applications of total variance method in random error analysis of the fiber optic gyro signal［J］.Opto-Electronic Engineering，2012，39（1）：63-67.（in Chinese with an English abstract）

［7］ ALLAN D W.Statistics of atomic frequency standards［J］.Proceedings of IEEE，1966，54（2）：221-230.

［8］ 祝樹生，任建新，張安峰.光纖陀螺隨機(jī)游走分析方法研究［J］.應(yīng)用光學(xué)，2009，30（6）：1003-1006.ZHU Shu-sheng，REN Jian-xin，ZHANG An-feng.Random walk analysis of fiber optic gyroscope［J］.Journal of Applied Optics，2009，30 （6）：1003-1006.（in Chinese with an English abstract）

［9］ SAVAGE P G.Analytical modeling of sensor quantization in strap-down inertial navigation error equations［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2002，25（5）：833-842.

［10］ 白俊卿，張科，衛(wèi)育新.光纖陀螺隨機(jī)漂移建模與分析［J］.中國慣性技術(shù)學(xué)報，2012，10（5）：621-624.BAI Jun-qing，ZHANG Ke，WEI Yu-xin.Modeling and analysis of fiber optic gyroscope random drifts［J］.Journal of Chinese Inertial Technology，2012，10（5）：621-624.（in Chinese with an English abstract）

［11］ 雷霏霖，劉建偉，吳玉敬，等.機(jī)載光電系統(tǒng)中光纖陀螺卡爾曼濾波方法應(yīng)用［J］.應(yīng)用光學(xué)，2013，34（1）：188-192.LEI Fei-lin，LIU Jian-wei，WU Yu-jing，et al.Application of Kalman filter based fiber optic gyroscope in airborne electro-optical system［J］.Journal of Applied Optics，2013，34（1）：188-192.（in Chinese with an English abstract）