基于反轉(zhuǎn)法的平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的標(biāo)定

裘祖榮，陳 波，李杏華(天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

基于反轉(zhuǎn)法的平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的標(biāo)定

裘祖榮，陳 波，李杏華
(天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

針對關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測量機(jī)的標(biāo)定問題，提出了一種基于反轉(zhuǎn)法的平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)分離標(biāo)定方法．闡述了反轉(zhuǎn)法的標(biāo)定思想，并詳細(xì)描述了利用反轉(zhuǎn)法進(jìn)行平行度誤差標(biāo)定、臂長誤差標(biāo)定以及零位誤差標(biāo)定的方法．結(jié)果表明：該方法操作簡單，其精度可以通過在測量范圍內(nèi)測量量塊衡量；使用基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法的測量機(jī)的測量精度比使用基于高斯-牛頓法的綜合標(biāo)定法的測量機(jī)的測量精度高3倍．

關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測量機(jī)；標(biāo)定；誤差補(bǔ)償

平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)(AACMM)具有體積小、重量輕、攜帶方便以及價(jià)格低廉等特點(diǎn)[1]，在汽車制造、航空航天以及船舶生產(chǎn)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2]．

此類坐標(biāo)測量機(jī)的系統(tǒng)誤差標(biāo)定方法主要有綜合標(biāo)定法和分離標(biāo)定法兩種[3]．綜合標(biāo)定法操作比較簡單，但精度較低．分離標(biāo)定法中需要對測量機(jī)的每一項(xiàng)系統(tǒng)誤差分別進(jìn)行標(biāo)定，具體的標(biāo)定方法多種多樣，標(biāo)定精度也參差不齊．但總體而言，分離標(biāo)定法的精度要優(yōu)于綜合標(biāo)定法，該類方法的設(shè)計(jì)宗旨是用更簡捷的操作獲得更高的精度．

筆者提出了一種應(yīng)用于平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的反轉(zhuǎn)法的標(biāo)定思想，屬于分離標(biāo)定法的范疇．分別利用反轉(zhuǎn)法標(biāo)定了平行度誤差、零位誤差以及臂長誤差，最后通過實(shí)驗(yàn)比較了該測量機(jī)基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法測量精度同綜合標(biāo)定法的測量精度間的差異，證明了反轉(zhuǎn)法的優(yōu)勢．

1 反轉(zhuǎn)法的提出

圖1為測量機(jī)整體結(jié)構(gòu)示意．

平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)屬于關(guān)節(jié)臂坐標(biāo)測量機(jī)的一種，它主要依靠關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動實(shí)現(xiàn)測頭空間位置的變換．為了提高測量精度，本測量機(jī)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)采用的是擁有更高回轉(zhuǎn)精度的密珠軸系，但是密珠軸系的軸線并無實(shí)際的幾何實(shí)體，這就對兩個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)之間的臂長的標(biāo)定帶來很大困難．此外，平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的系統(tǒng)誤差項(xiàng)較多，對某一項(xiàng)誤差進(jìn)行標(biāo)定時(shí)，往往受到其他誤差項(xiàng)的耦合干擾．為此，本文提出了“反轉(zhuǎn)法”的標(biāo)定思想．

圖1 測量機(jī)整體結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Overall structure of the AACMM

反轉(zhuǎn)法實(shí)際上利用的是中心對稱的思想，利用對稱的特性，從而根據(jù)特定的代數(shù)關(guān)系得到待求解的未知數(shù)．

如圖2所示，對于平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的一個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)而言，假設(shè)某一臂的末端在A點(diǎn)有兩項(xiàng)待測系統(tǒng)誤差x、y，滿足函數(shù)關(guān)系f(x,y)=a，這兩項(xiàng)系統(tǒng)誤差相互耦合，不易分離，若將該臂繞旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)180°，在B點(diǎn)時(shí)滿足關(guān)系式f(-x,y)=b ，則由簡單的代數(shù)關(guān)系即可得出x、y的值．同時(shí)，將該臂旋轉(zhuǎn)180°后可以較為容易地得到AB之間的長度，取其中心即可得到該旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)回轉(zhuǎn)中心的位置，進(jìn)而可以求得臂長．下面將以實(shí)際的標(biāo)定過程詳細(xì)闡述反轉(zhuǎn)法在平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的分離標(biāo)定方法中的應(yīng)用．

2 平行度誤差的標(biāo)定

儀器在生產(chǎn)裝配過程中難免會引入各部分之間的平行度誤差，而重力的原因也會使儀器的一些部位產(chǎn)生變形，從而產(chǎn)生一定的平行度誤差[4-5]．本測量機(jī)需要標(biāo)定的平行度誤差有6項(xiàng)，定義為Δα1、Δα2、Δα3、Δβ1、Δβ2和Δβ3．如圖3所示，在測量機(jī)的各個關(guān)節(jié)關(guān)鍵點(diǎn)處建立坐標(biāo)系4和5，則Δα1與Δβ1分別表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的軸線相對于鉛垂線在O1,y1,z1平面內(nèi)以及在O1,x1,z1平面內(nèi)的平行度誤差；Δα2與Δβ2分別表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的軸線相對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的軸線在O2,y2,z2平面內(nèi)以及在O2,x2,z2平面內(nèi)的平行度誤差；Δα3與Δβ3分別表示直行部件的運(yùn)動中心線相對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的軸線在O3,y3,z3平面內(nèi)以及在O3,x3,z3平面內(nèi)的平行度誤差．

圖3 測量機(jī)坐標(biāo)系建立示意Fig.3 Schematic diagram of measuring machine coordinate establishment

這6項(xiàng)平行度誤差在測量機(jī)工作時(shí)級級傳遞，且受到重力因素的干擾，不易單獨(dú)標(biāo)定．利用反轉(zhuǎn)法，問題可以迎刃而解．下面以平行度誤差3αΔ的標(biāo)定過程詳細(xì)闡述反轉(zhuǎn)法在平行度誤差標(biāo)定方面的應(yīng)用．

平行度誤差的標(biāo)定可以借助方尺，調(diào)整測量機(jī)的姿態(tài)如圖4所示，在操作平臺上平行放置方尺1，調(diào)整其姿態(tài)使其側(cè)面與長臂平行，固定旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ與旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ，由上文中平行度誤差的定義可知，在圖4中的姿態(tài)下，3αΔ是直行部件的運(yùn)動中心線相對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的軸線在Oxz平面內(nèi)的平行度誤差．

圖4 平行度誤差3αΔ的標(biāo)定示意Fig.4 Schematic diagram for calibrating3αΔ

在直行部件的測桿上固定一個位移電感測頭，調(diào)整方向使其與方尺輕觸，假設(shè)此時(shí)電感測頭的示數(shù)為μ1，操作手柄將其上移d，記錄此時(shí)的示數(shù)μ2，電感測頭在兩處示值變化由多種原因造成，除了待求的平行度誤差的影響之外還有3方面的影響，分析如下．

(1) 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的旋轉(zhuǎn)量的影響．在標(biāo)定過程中，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ和Ⅱ在沿著z軸正方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)圓光柵的讀數(shù)將增大，電感測頭被壓縮時(shí)其讀數(shù)也會增大．雖然旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ已固定，但是在操作過程中難免會有微小的轉(zhuǎn)動，假設(shè)固定完成后旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的圓光柵讀數(shù)為δ，而在測量某點(diǎn)時(shí)實(shí)際讀數(shù)為δ′，這個轉(zhuǎn)動量將使電感測頭示數(shù)增大μ1Δ，則

式中2l、3l分別為長臂與短臂的長度．

(2) 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的旋轉(zhuǎn)量的影響．假設(shè)固定時(shí)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ圓光柵讀數(shù)為ξ，測量某點(diǎn)時(shí)的實(shí)際讀數(shù)為ξ′，這個轉(zhuǎn)動量將使電感測頭示數(shù)增大μ2Δ，則

(3)直線導(dǎo)軌的運(yùn)動誤差的影響．直線導(dǎo)軌的運(yùn)動誤差標(biāo)定方法較為常見[1,6]，標(biāo)定時(shí)需要在兩個方向上分別進(jìn)行，若以圖5所示的測量機(jī)狀態(tài)為例，則需分別標(biāo)定直線導(dǎo)軌在Oxz和Oyz平面內(nèi)的運(yùn)動誤差，得到一個導(dǎo)軌在相應(yīng)平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)角Oxzφ、Oyzφ同直線光柵讀數(shù)d之間的函數(shù)表達(dá)式，即

圖5 偏角關(guān)系及測量示意Fig.5 Relationship of the angles when measuring

假設(shè)在測方尺的過程中，在某測量點(diǎn)處直線導(dǎo)軌在Oxz平面內(nèi)的偏角為λ，定義在Oxz平面內(nèi)沿著y軸的正方向看，順時(shí)針方向的偏轉(zhuǎn)為正，則該偏角將使電感測頭讀數(shù)增大μ3Δ，則

式中d4表示直線導(dǎo)軌上的滑塊的幾何中心與電感測頭在測桿上的固定點(diǎn)之間的長度，此處可取設(shè)計(jì)值400,mm．

因此在測量方尺的某一點(diǎn)時(shí)，若電感測頭讀數(shù)為μ，其實(shí)際測量值μ′應(yīng)為

則直行部件的運(yùn)動中心線同方尺測量面的夾角ε為

式中1μ′與2μ′是利用式(6)得到的兩次測量的實(shí)際測量值．

雖然上述方法中通過兩點(diǎn)就可以得到運(yùn)動中心線同方尺測量面的夾角，但往往誤差比較大，為了進(jìn)一步提高精度，可以擬合一條橫坐標(biāo)為直線光柵尺讀數(shù)、縱坐標(biāo)為電感測頭實(shí)際測量值的直線，求出其斜率k，通過斜率即可得到直行部件的運(yùn)動中心線同方尺測量面之間更精確的夾角ε1，即

該過程的實(shí)際標(biāo)定數(shù)據(jù)如表1所示．

表1 ε1的標(biāo)定數(shù)據(jù)Tab.1 Calibration data of ε1

直行部件運(yùn)動中心線同方尺測量面之間的夾角ε1由多個偏角傳遞而來，其關(guān)系如圖5所示，圖中點(diǎn)劃線代表鉛垂線，細(xì)虛線表示旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的軸線，α為兩者之間的夾角，β為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的軸線同直行部件運(yùn)動中心線之間的夾角，對此次標(biāo)定而言，該夾角即為所要標(biāo)定的3αΔ．σ1表示方尺的測量面同鉛垂線之間的夾角，其值可以用水平儀測得．則圖中各角度有如下關(guān)系：

式中σ1表示在該次測量中方尺的測量面同鉛垂線之間的夾角．α由兩部分構(gòu)成：一是由重力原因造成的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的軸線同鉛垂線之間在圖5 Oxz平面內(nèi)的平行度誤差1βΔ；二是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ軸線在Oxz平面內(nèi)相對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ軸線的平行度誤差2βΔ．因此，實(shí)際上在該標(biāo)定姿態(tài)下可以得到如下方程：

式(10)包含1βΔ與2βΔ兩個未知量，若能找到一處位置將這些未知量抵消，則可以完成3αΔ的標(biāo)定，此時(shí)反轉(zhuǎn)法的優(yōu)越性就凸顯出來了．旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ反轉(zhuǎn)180°，如圖6所示．

圖6 平行度誤差 Δα3反轉(zhuǎn)后標(biāo)定示意Fig.6 Schematic diagram for calibrating Δα3after reversal

同理，可以在該位置得到如下方程：

式中σ2為在該次測量中方尺的測量面同鉛垂線之間的夾角，其值同樣由水平儀測得．式(10)、式(11)聯(lián)立可得3αΔ=40.435,7"．

反轉(zhuǎn)法可以很方便地抵消干擾誤差的影響，能夠很精確地得到待求誤差項(xiàng)，利用該方法，通過調(diào)整測量機(jī)、電感測頭以及方尺的不同姿態(tài)，可以求得其他幾項(xiàng)平行度誤差，本文不再細(xì)述．

3 臂長的標(biāo)定

由前文分析可知，反轉(zhuǎn)法能夠精確地找到旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的回轉(zhuǎn)軸線位置，進(jìn)而求得臂長．下面將以短臂臂長的標(biāo)定方法為例介紹反轉(zhuǎn)法在臂長標(biāo)定方面的應(yīng)用．

本測量機(jī)在標(biāo)定臂長時(shí)，借助了長度不等的標(biāo)準(zhǔn)棒作為長度基準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)棒可由測長儀標(biāo)定，其長度精度能夠達(dá)到0.000,1,mm．如圖7所示，首先選取一個400,mm的標(biāo)準(zhǔn)棒作為基準(zhǔn)，能夠標(biāo)定出兩個水平位移臺端面之間的距離．

圖7 水平位移臺間距標(biāo)定Fig.7 Distance calibration between two horizontal displacement tables

然后撤掉標(biāo)準(zhǔn)棒，調(diào)整測量機(jī)姿態(tài)，如圖8所示，利用反轉(zhuǎn)法的思想，通過水平位移臺的微動以及兩個電感測頭的位移補(bǔ)償作用，能夠精確測得反轉(zhuǎn)前后觸發(fā)測頭之間的距離12l．由于平行度誤差的存在，需要做一定的變換才能求得短臂臂長3l，其表達(dá)式為

式中：D為觸發(fā)測頭同短臂的幾何中心點(diǎn)在z軸方向的距離；3βΔ為前文所求的平行度誤差．

圖8 短臂臂長標(biāo)定示意Fig.8 Calibration of the short arm length

調(diào)整水平位移臺的間距，選取合適的標(biāo)準(zhǔn)棒，利用反轉(zhuǎn)法同樣能夠測得長臂的長度，具體過程不再闡述．

4 零位誤差的標(biāo)定

本測量機(jī)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的零位指的是其長臂與短臂在一條直線上時(shí)的位置，該位置不易確定，但利用反轉(zhuǎn)法可以巧妙地得到．

旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的零位可以通過標(biāo)定其90°位置間接得到，如圖9所示，假設(shè)當(dāng)測量機(jī)狀態(tài)如圖中實(shí)線部分所示時(shí)，長臂與短臂之間的夾角為δ，若此時(shí)測頭距旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的回轉(zhuǎn)中心線的距離為d1，利用反轉(zhuǎn)法將旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ旋轉(zhuǎn)180°到圖中虛線所示位置，此時(shí)測頭距旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅰ的回轉(zhuǎn)中心線的距離為d2，則圖中各參量滿足以下關(guān)系：

式中d1與d2可以利用標(biāo)定臂長的方法標(biāo)定得到．由此可得到δ的值，進(jìn)而獲得旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ⅱ的零位位置．

圖9 零位誤差標(biāo)定示意Fig.9 Scheme of zero error calibration

5 反轉(zhuǎn)法標(biāo)定精度驗(yàn)證

平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的幾個難以標(biāo)定的系統(tǒng)誤差比如平行度誤差、臂長誤差、零位誤差均可由反轉(zhuǎn)法標(biāo)定得到，其他的系統(tǒng)誤差標(biāo)定相對簡單，可參考文獻(xiàn)[6-8]，本文不再贅述．為了驗(yàn)證基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法的標(biāo)定精度，可以將其同基于高斯-牛頓法的綜合標(biāo)定法的標(biāo)定精度進(jìn)行比較．

標(biāo)定精度的高低可以通過使用本次標(biāo)定結(jié)果的測量機(jī)的測量精度間接評判，而測量機(jī)精度的高低往往由其在測量范圍內(nèi)的測量不確定度來衡量，因此可以通過測量機(jī)在不同姿態(tài)及位置下測量標(biāo)準(zhǔn)量塊來驗(yàn)證補(bǔ)償效果．

分別使用基于高斯-牛頓法的綜合標(biāo)定法和基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法補(bǔ)償后的坐標(biāo)測量機(jī)，在其測量范圍內(nèi)隨機(jī)的3個位置(1、2、3)分別對300,mm和500,mm的量塊進(jìn)行測量，誤差補(bǔ)償前后的測量數(shù)據(jù)如表2所示．

表2 分別使用綜合標(biāo)定法和分離標(biāo)定法測量機(jī)測量量塊的數(shù)據(jù)Tab.2 Experimental data of gauge blocks with the coordinate measuring machine based on integrated calibration method and separated calibration method mm

由表2可以計(jì)算得出，使用基于高斯-牛頓法的綜合標(biāo)定法測量不確定度uc=0.017,2,mm，此時(shí)測量機(jī)在(Φ200,mm～Φ1,000,mm)×250,mm的測量范圍內(nèi)包含因子k(k=2，k值是由0.95的置信概率與60的自由度通過查t分布表得到的)的展伸不確定度U1[9-14]為

用同樣的方法可以得到使用基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法的展伸不確定度U2為

可見基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定法的標(biāo)定精度要比基于高斯-牛頓法的綜合標(biāo)定法的標(biāo)定精度高3倍．

6 結(jié) 語

本文針對平行雙關(guān)節(jié)坐標(biāo)測量機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了一種基于反轉(zhuǎn)法的分離標(biāo)定方法，并利用該方法對平行度誤差、臂長誤差和零位誤差進(jìn)行了標(biāo)定．該方法操作簡便，精度較高，而且實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對于綜合標(biāo)定法而言，在(Φ200,mm～Φ1,000,mm)× 250,mm的測量范圍內(nèi)包含因子k=2的展伸不確定度由0.034,4,mm提高到了0.010,0,mm，效果顯著．

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(責(zé)任編輯：趙艷靜)

Calibration of Articulated Arm Coordinate Measuring Machine with Two Parallel Rotational Axes Based on the Reversal Method

Qiu Zurong，Chen Bo，Li Xinghua
(State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

A separated calibration method of coordinate measuring machine with two parallel rotational axes based on the reversal method was presented in this paper，aiming at the calibration problems of articulated arm coordinate measuring machine(AACMM). The reversal method of calibration is explained，and the use of reversal method for parallelism error calibration，arm length error calibration and zero error calibration are described. This method is easy to operate，and its measurement uncertainty can be obtained by measuring gauge blocks within its measurement range. The experiment proves that the measurement uncertainty ofthe machine using the separated calibration method based on the reversal method is three times higher than that using the integrated calibration method based on the Gauss-Newton method

articulated arm coordinate measuring machine；calibration；error compensation

TH741

A

0493-2137(2014)06-0512-06

10.11784/tdxbz201210034

2012-10-18；

2012-12-17.

國防軍工技術(shù)基礎(chǔ)“十一五”科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(J072009B001).

裘祖榮（1958— ），男，教授.

裘祖榮，qiuzr @tju.edu.cn.