喬志偉

（中北大學(xué)電子與計算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山西太原 030051）

斜變?yōu)V波器頻域加窗對圖像重建的影響

喬志偉

（中北大學(xué)電子與計算機(jī)科學(xué)技術(shù)學(xué)院，山西太原 030051）

斜變?yōu)V波器的性能對圖像重建有重要的影響，頻域加窗設(shè)計法是其主要的設(shè)計方法。設(shè)計了4種經(jīng)典的加窗濾波器：RL濾波器、SL濾波器、Hamming窗濾波器和指數(shù)窗濾波器。從單位沖激響應(yīng)和頻率響應(yīng)2個方面分析了這4種濾波器的特性；從頻率響應(yīng)和旁瓣衰減速度2個方面比較了這4種濾波器。理論分析與仿真結(jié)果表明：指數(shù)窗濾波器的震蕩噪聲最??；SL濾波器整體最優(yōu)。

計量學(xué)；斜變?yōu)V波器；窗函數(shù)；圖像重建；濾波反投影算法；頻率響應(yīng)

1 引 言

CT（Computed Tomography）又稱為計算機(jī)斷層成像技術(shù)，是當(dāng)今最好的無損檢測方法之一，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到了醫(yī)學(xué)、工業(yè)、地震學(xué)和考古學(xué)等領(lǐng)域［1～3］。

X射線工業(yè)CT算法分為解析式算法和迭代式算法2種，其中解析式算法居于優(yōu)勢地位。按照成像的維度分，解析式重建算法分為二維CT算法和三維CT算法，二維算法的典型代表是濾波反投影（filtered back projection，F(xiàn)BP）算法，而三維算法的典型代表是FDK算法。可以認(rèn)為，F(xiàn)DK算法是一種近似的濾波反投影算法。研究影響此類算法的各種因素時，通常以FBP算法為研究對象［4］。

影響FBP算法的因素較多，其中斜變?yōu)V波器的性能是非常重要的一個因素。常用的RL濾波器是斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)加矩形窗形成的；SL濾波器是加“sinc”窗形成的?？梢姡o斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)加窗是斜變?yōu)V波器設(shè)計的一種基本方法［5～7］。由信號處理理論可知，矩形窗、三角窗、升余弦類窗各有其特點，因此有必要系統(tǒng)研究各種窗函數(shù)對圖像重建的影響。

本文將從單位脈沖響應(yīng)及頻率響應(yīng)等角度設(shè)計并分析各種濾波器。在比較幾種濾波器時，將從窗函數(shù)波形、頻率響應(yīng)波形、單位沖激響應(yīng)的旁瓣衰減速度等方面展開理論研究。同時，通過仿真實驗，客觀比較窗函數(shù)對重建的影響，并給出理論解釋。

2 RL濾波器（加矩形窗）

RL濾波器是最常用的斜變?yōu)V波器，它是通過加矩形窗形成的。

理想斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)為

連續(xù)狀態(tài)的單位沖激響應(yīng)為加矩形窗的RL濾波器的頻率響應(yīng)為

根據(jù)沖激響應(yīng)不變法的原理，對其用d采樣，可以得到離散狀態(tài)下的濾波器的單位脈沖響應(yīng)

設(shè)d＝1，采集－50～50共101個點，h（n）的波形見圖1。

由圖可以看出，該信號是一個實偶信號，在中心點0處有最大值，向兩邊呈振蕩式展開，幅值迅速衰減，并且在奇數(shù)點處的值均為負(fù)數(shù)。

圖2為圖1所示的斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)。

該濾波器能較好地重建圖像，但其有明顯的振蕩噪聲。

圖1 RL濾波器h（n）的波形

圖2 RL濾波器的頻率響應(yīng)

3 SL濾波器（加sinc窗）

設(shè)d＝1，采集－50～50共101個點，hS-L（n）的波形見圖3。

圖4為SL濾波器的頻率響應(yīng)，由圖可以看出，在最高頻率附近，幅度被壓低，有效減小了Gibbs效應(yīng)，可以抑制高頻噪聲。但其頻率響應(yīng)在“0”處的值不為0，這將引起CT圖像的CT數(shù)（強(qiáng)度）的整體下降。

4 加海明（Hamming）窗

圖3 SL濾波器的單位脈沖響應(yīng)hS-L（n）的波形

圖4 SL濾波器的頻率響應(yīng)

海明窗是一種改進(jìn)的升余弦窗，依據(jù)經(jīng)典的信號處理理論關(guān)于FIR濾波器加離散海明窗的原理，可設(shè)計出給連續(xù)狀態(tài)的斜變?yōu)V波器頻率響應(yīng)加窗的海明窗。

加海明窗的斜變?yōu)V波器的頻率特性為

設(shè)d＝1，采集－50～50共101個點，hH-M（n）的波形見圖5，該濾波器的頻率響應(yīng)見圖6。

可以看出，大約在最高頻率的1／2處，幅度響應(yīng)達(dá)到最大值，在帶寬的前半部分，基本呈現(xiàn)斜變特征（單調(diào)上升）；但在帶寬的后半部分，其幅度響應(yīng)平滑地下降，到最高頻率處，幅度響應(yīng)被“壓低”到很低（0.04）。該濾波器可以較好地減少Gibbs效應(yīng)，可以抑制高頻噪聲。該濾波器在“0”處的值仍然不為0，會引起重建圖像強(qiáng)度的整體下降。

圖5 海明窗斜變?yōu)V波器的單位脈沖響應(yīng)

圖6 海明窗斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)

5 加指數(shù)型窗函數(shù)

2004年，范惠榮和徐茂林等人提出的指數(shù)型窗函數(shù)濾波器的頻率響應(yīng)為［8～10］

hZ-S（0）的確定比較復(fù)雜，一般采用數(shù)值積分的方法來求取，而不采用解析法，因式（16）所示的積分太過復(fù)雜，很難求得解析解。

根據(jù)傅里葉反變換公式，可知

式（15）和式（16）即為指數(shù)型窗函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)。

設(shè)d＝1，采集－50～50共101個點，hZ-S（n）的波形見圖7。

圖7 指數(shù)窗斜變?yōu)V波器的單位脈沖響應(yīng)

圖8為指數(shù)型斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)，由圖可以看出，在大約最高頻率的66%處，幅度達(dá)到最高值；在該頻率點前，頻響呈斜變趨勢，符合斜變?yōu)V波器的特點；在該頻率點后，幅度迅速下降，到最高頻率處，減為0。顯然，這種濾波器可以較好地抑制Gibbs效應(yīng)，抑制高頻噪聲。

圖8 指數(shù)窗斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)

6 4種窗函數(shù)形成的斜變?yōu)V波器性能比較

6.1 頻率響應(yīng)比較

頻率響應(yīng)比較圖見圖9。sinc窗使斜變?yōu)V波器在最高頻率處被“壓低”到理想幅值的64%左右。這種“壓低”，可以減少Gibbs效應(yīng)并抑制高頻噪聲。Hamming窗使斜變?yōu)V波器在最高頻率處被“壓低”到理想幅值的8%。顯然，這種濾波器相比SL濾波器，Gibbs效應(yīng)更小，更能抑制高頻噪聲。但其缺點是頻響過早就不再斜變，喪失了斜變?yōu)V波的特征。當(dāng)投影信號本身的高頻成分較多的時，重建誤差會增大。

指數(shù)窗最接近矩形窗且過渡平穩(wěn)。它使斜變?yōu)V波器在最高頻率處幅值被“壓低”到0。顯然，該濾波器在這4種濾波器中，Gibbs效應(yīng)最小，抑制高頻噪聲的能力最強(qiáng)。

圖9d＝1時對應(yīng)的4種實用斜變?yōu)V波器的頻率響應(yīng)

6.2 單位沖激響應(yīng)的旁瓣衰減速度比較

對投影信號濾波時，斜變?yōu)V波器的單位脈沖響應(yīng)取有限長度，一般取投影信號長度的2倍減1。然而在信號長度范圍之外的區(qū)間，單位脈沖響應(yīng)還有一定幅值的旁瓣在振蕩。顯然，如果旁瓣衰減速度快，則被截斷后，丟失的信息少，精度就高。

圖10為4種斜變?yōu)V波器在d＝1時，在11～50范圍內(nèi)的旁瓣衰減情況。

圖10 4種斜變?yōu)V波器的旁瓣衰減速度比較

由圖10可以看出，RL濾波器的旁瓣衰減速度最慢，振蕩明顯，沒有較好地消除Gibbs效應(yīng)；SL濾波器和指數(shù)窗濾波器衰減最快，振蕩較小，很好地消除了Gibbs效應(yīng)。Hamming窗濾波器的旁瓣衰減速度居中。

6.3 數(shù)值實驗

實驗仿真模體采用Shepp-Logan模型，共采集180個角度的投影，角度間隔為1°，用線性插值方法反投影，重建圖像為128×128的圖像。比較采用4種不同的濾波器時，對應(yīng)的CT圖像的精度。精度用歸一化均方距離判據(jù)d和歸一化平均絕對距離判據(jù)r這2個參數(shù)來評估。重建結(jié)果的精度比較見表1。

表1 4種斜變?yōu)V波器重建出來的CT圖像的精度比較

實驗?zāi)Ｐ蛨D像和重建出來的圖像見圖11。

圖11 不同的濾波器對應(yīng)的不同的CT圖像

由表1和圖11可以看出，RL濾波器因為加矩形窗的緣故，Gibbs現(xiàn)象嚴(yán)重，誤差較大；SL濾波器因為sinc窗的緣故，兩種誤差均比RL的小，減小了Gibbs效應(yīng)；Hamming窗加了升余弦窗，使得歸一化平均絕對距離判據(jù)r進(jìn)一步減??；指數(shù)窗濾波器的重建圖像的r最小，而此判據(jù)是描述大量小的誤差，可見指數(shù)窗濾波器Gibbs效應(yīng)最小，但該濾波器的d并不是最小的，而是處于中間位置，說明指數(shù)窗濾波器是一種折中性能較好的濾波器。

7 結(jié) 論

RL濾波器、SL濾波器、Hamming窗濾波器和指數(shù)窗濾波器是4種頻域加窗濾波器。

通過理論分析窗函數(shù)性質(zhì)、頻率響應(yīng)、旁瓣衰減速度以及仿真實驗，表明RL濾波器是最簡單實用的濾波器，但是振蕩噪聲明顯；SL濾波器、Hamming窗濾波器和指數(shù)窗濾波器的振蕩噪聲均較小，其中指數(shù)窗濾波器的振蕩噪聲最小。

從兼顧歸一化均方距離判據(jù)和歸一化平均絕對距離判據(jù)的角度講，SL濾波器是最優(yōu)的濾波器。

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QIAO Zhi-wei
（School of Electronics and Computer Science and Technology，North University of China，Taiyuan，Shanxi030051，China）

The performance of the ramp filter has an important influence on image reconstruction.The designmethod of frequency domain window-adding is themainmethod.Four classicalwindow-adding filterswere designed，which are RL filter，SL filter，Hamming window filter and exponentwindow filter.The four filters characteristicswere analyzed using the unit impulse response and frequency response.The four filters were compared from the frequency response side and the sidelobe attenuation rate side.Theoretical analysis and simulation results show that the vibration noise of the exponent window filter isminimum and the SL filter is optimal as a whole.

Metrology；Ramp filter；Window function；Image reconstruction；Filtered back projection algorithm； Frequency response

TB973

A

1000-1158（2014）04-0382-05

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．04．17

2012-03-28；

2013-12-03

國家自然科學(xué)基金（61071193，61171179）

喬志偉（1977－），男，山西洪洞人，中北大學(xué)副教授，博士，主要研究方向為圖像重建、高性能計算以及數(shù)字信號處理等。zhiweiqiaook＠nuc.edu.cn

doi：10．3969／j．issn．1000-1158．2014．04．18

Im pact of Frequency Domain W indow-adding for the Ramp Filter on Im age Reconstruction