半球共形陣列的兩種虛擬變換方式性能對比

張學(xué)敬，楊志偉，廖桂生

（西安電子科技大學(xué) 雷 達信號處理國家重點實驗室，陜西 西 安 710071）

在飛行器或其他移動平臺載體表面，常常需要安裝共形陣列天線[1－8].與常規(guī)均勻線陣相比，共形陣有著優(yōu)越的結(jié)構(gòu)特點和良好的測向性能，如其對雷達載體的空氣動力學(xué)性能影響很小，且具有體積小、重量輕、易于安裝等優(yōu)點.此外，共形陣列能獲得較大的有效孔徑，在不轉(zhuǎn)動陣列天線的情況下即可獲得360°的覆蓋范圍.

由于共形陣列布陣的特殊性，導(dǎo)致其陣列流形不具有Vandermonde結(jié)構(gòu)，使得快速子空間類算法（如root－MUSIC[9]等）不能直接應(yīng)用于共形陣列，從而限制了其在工程上的應(yīng)用.在非等距線陣的處理方面，文獻[10]通過虛擬內(nèi)插變換，將非線性陣列轉(zhuǎn)換為線性陣列，并將root－MUSIC算法應(yīng)用于內(nèi)插變換中，實現(xiàn)了非線性陣列的快速波達方向估計.文獻[11]提出了流形分離技術(shù)，將任意陣列的導(dǎo)向矢量表示成采樣矩陣與具有Vandermonde結(jié)構(gòu)的基矢量的乘積，其中采樣矩陣描述陣列本身，基矢量反映信號的角度特征，兩部分相互獨立，利用基矢量的特殊結(jié)構(gòu)即可實現(xiàn)快速波達方向估計.文獻[12]將流形分離應(yīng)用于穩(wěn)健波束形成中.這些文獻僅討論了在特定的流形變換方式下如何對原陣列進行處理以及處理后的性能，而在不同的虛擬陣列流形選取方式對最終陣列處理性能的影響方面缺乏研究.

筆者將虛擬陣列內(nèi)插方法應(yīng)用于半球共形陣列中，建立了半球陣到虛擬矩形陣和虛擬十字陣的兩種變換關(guān)系，并對兩種方式在波達方向估計、波束形成、運算復(fù)雜度等方面的性能進行了分析對比和仿真驗證.

圖1 任意幾何結(jié)構(gòu)陣列模型

1 共形陣列信號模型

對于包含N個陣元的任意幾何結(jié)構(gòu)陣列，建立如圖1所示的正交直角坐標系O－XYZ.假設(shè)在陣列遠場（θk，φk）（k＝1，2，…，M）處有M 個窄帶點源以平面波入射（波長為λ），其中θk為空間信源的方位角，φk為空間信源的俯仰角.陣列接收的快拍數(shù)據(jù)為

式中，X（t）為N×1快拍數(shù)據(jù)矢量，S（t）為M×1入射信號復(fù)幅度矢量，N（t）為N×1陣列噪聲矢量.考慮全向一致陣元，不考慮遮擋效應(yīng)，則陣列導(dǎo)向矢量矩陣A（θ，φ）可表示為

其中，a（θi，φi）為第i個信源的導(dǎo)向矢量.a（θi，φi）可表示為

其中，k0＝2πλ，為波數(shù)，其大小表示單位波長的周期數(shù)；rn＝[xn，yn，zn]，為第n個陣元的坐標矢量（n＝1，…，N）；vi＝ [sinφicosθi，sinφisinθi，cosφi]T，為第i個信源的空間方位矢量.

針對具體的半球共形陣列，圖2給出了半球陣列的陣元分布示意圖.令半球陣的第1層陣元分布在x－y平面內(nèi)，每層第1個陣元位于x軸正方向，按照x－y平面內(nèi)逆時針方向進行編號，則可以計算出第p層、第q個陣元的空間俯仰角φpq和空間方位角θpq，分別為

圖2 半球陣列模型

式中，p＝1，2，…，P，q＝1，2，…，Qp，P表示陣列的層數(shù)，Qp表 示第p層的陣元個數(shù).若設(shè)半球陣底面半徑為R，則第（p，q）個陣元的位置坐標矢量為

考慮陣列遠場（θ，φ）方向的某個信源，則由前可知，半球陣列的導(dǎo)向矢量為

式中，apq＝exp（j（2π λ ）rpqv ） ，v為（θ，φ）方向的方位矢量.由此得到半球陣列的接收數(shù)據(jù)矢量為

2 流形變換理論

對于非等距線陣而言，其導(dǎo)向矢量不具有Vandermonde結(jié)構(gòu)，無法采用某些基于子空間的快速波達方向估計算法（如root－MUSIC），而直接利用MUSIC算法進行波達方向估計的運算復(fù)雜度較高.為降低運算量，可對原陣列進行流形變換，使得變換后的導(dǎo)向矢量滿足Vandermonde或類Vandermonde結(jié)構(gòu)，進而可利用新導(dǎo)向矢量的特殊結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)快速波達方向估計.

典型的流形變換方法包括流形分離類方法[11－13]和虛擬陣列變換類方法[10].流形分離方法將任意陣列的導(dǎo)向矢量表示成采樣矩陣與具有Vandermonde結(jié)構(gòu)的基矢量的乘積，通常采用傅里葉基分解或球面諧波基分解等方式來實現(xiàn).對于三維陣列，由于需要兩維流形分離，在陣元數(shù)較多時計算量很大，工程應(yīng)用困難.虛擬陣列變換方法針對設(shè)置的虛擬陣列，采用變換矩陣將原陣列的接收數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為虛擬陣列的接收數(shù)據(jù).該方法可借助虛擬陣列的特殊結(jié)構(gòu)實現(xiàn)快速波達方向估計.

虛擬陣列變換的核心是尋找在某個角域Θl內(nèi)滿足a（θ）＝（θ）（θ∈Θl）的變換矩陣Bl，其中a（θ）和（θ）分別表示真實陣列和虛擬陣列的導(dǎo)向矢量.通常要求（θ）具有Vandermonde結(jié)構(gòu).為了內(nèi)容的完整性，下面僅給出求解變換矩陣的主要步驟，詳細描述可參考文獻[10].步驟1 將陣列的感興趣觀察區(qū)域劃分為多個角域，在每個角域內(nèi)取一些測試角度，例如取第l個角域

步驟2 根據(jù)真實陣列的陣元位置關(guān)系，計算第l個角域內(nèi)所有測試角度對應(yīng)的真實陣列導(dǎo)向矢量

步驟3 根據(jù)虛擬陣列的陣元位置關(guān)系，計算第l個角域內(nèi)所有測試角度對應(yīng)的虛擬陣列導(dǎo)向矢量

記真實陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R＝ARsAH＋σ2I（其中Rs為信號矢量的自協(xié)方差矩陣），則虛擬陣列數(shù)據(jù)協(xié)時虛擬陣列的信號子空間與噪聲子空間不正交，所以需要進行預(yù)白化處理，變換矩陣變?yōu)?/p>

此時TlT＝I成立，虛擬陣列信號子空間與噪聲子空間正交.真實陣列流形與虛擬陣列流形之間的關(guān)系變?yōu)?/p>

虛擬陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣表示為

顯然，對于式（11）就可以利用基于等距線陣的各種算法進行波達方向估計，所不同的就是陣列流形，即利用上式進行波達方向估計時要注意其導(dǎo)向矢量是虛擬陣列的導(dǎo)向矢量，而不是真實陣列的導(dǎo)向矢量.由于虛擬陣列變換法原理簡單，實現(xiàn)方便，計算量較小，且可以通過多種內(nèi)插方式來實現(xiàn)，所以利用虛擬陣列內(nèi)插法實現(xiàn)變換，并研究不同內(nèi)插方式的選取對最終陣列處理性能的影響.

3 半球陣列的兩種內(nèi)插方式

考慮半球陣列（如圖2），其陣列結(jié)構(gòu)的非均勻性導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)為對空間數(shù)據(jù)的非等間隔采樣.為了得到等間隔采樣的數(shù)據(jù)，可以采用兩種均勻陣列對原陣列進行虛擬內(nèi)插變換.虛擬陣列的數(shù)據(jù)相當于借助原陣列得到的對空間數(shù)據(jù)的估計，這要求其陣列設(shè)計應(yīng)與原陣列在結(jié)構(gòu)上具有相似性，如位置應(yīng)與原陣列接近，有效孔徑應(yīng)與原陣列近似相等.

圖3 虛擬陣列模型

第1種方式采用矩形陣列（如圖3（a）），此時虛擬陣列在X、Y軸上與原陣列等效孔徑相等，但在Z軸方向有孔徑損失.第2種方式采用十字陣列（如圖3（b）），此時虛擬陣列僅分布于坐標軸上，與原陣列在X、Y、Z軸上具有相同的等效孔徑，這種內(nèi)插方式不損失軸向孔徑，同時結(jié)構(gòu)較為簡單.兩種虛擬陣列的分布特點使得將其作為半球陣的內(nèi)插陣列具有合理性.為了比較兩種內(nèi)插方式的性能，下面分別從轉(zhuǎn)換誤差[14]和孔徑分布兩方面對兩者進行分析對比.

3.1 轉(zhuǎn)換誤差

轉(zhuǎn)換誤差的定義如下：

圖4 轉(zhuǎn)換誤差

3.2 等效孔徑

在等效孔徑方面，分別對XOY平面孔徑和Z軸孔徑進行對比分析.XOY平面孔徑定義為陣列在XOY平面上對信源方向的有效孔徑，Z軸孔徑定義為陣列在Z軸方向上對信源方向的有效孔徑.分別用DXOY和DZ表示XOY平面孔徑和Z 軸孔徑，如圖5（a）和（b）所示.

由陣列理論可知，陣列孔徑越大，其分辨率越高，相應(yīng)的波達方向估計性能越好，同時主瓣波束越窄.結(jié)合XOY孔徑

和Z軸孔徑的定義可知，兩者可分別用來衡量陣列在方位維和俯仰維的波達方向估計性能以及方位維和俯仰維的主瓣寬度，陣列最終的波達方向估計性能受兩種孔徑綜合影響.為了對比不同陣列在等效孔徑方面的差異，圖6給出了3種陣列的孔徑隨角度變化的曲線.可以看出，在XOY平面孔徑方面，原半球陣列為一常數(shù)，兩種虛擬陣列隨方位角增大而波動變化，當方位角為45°或135°時，虛擬矩形陣列的孔徑達到最大值，虛擬十字陣列的孔徑取得最小值.在Z軸孔徑方面，虛擬矩形陣列Z軸孔徑恒為零，虛擬十字陣列與原陣列在Z軸方向的分量相同，使得兩者的孔徑隨俯仰角變化趨勢一樣，均隨俯仰角增大而增大.

圖5 等效孔徑

圖6 孔徑對比

綜上可知，利用虛擬陣列進行處理，最終波達方向估計性能會受轉(zhuǎn)換誤差和孔徑分布兩種因素綜合影響.可以預(yù)計：在俯仰角較大時，雖然十字陣在XOY平面的孔徑較小，但它的Z軸孔徑較大且轉(zhuǎn)換誤差小于矩形陣，波達方向估計性能優(yōu)于矩形陣；在俯仰角較小時，兩種虛擬陣列的轉(zhuǎn)換誤差和Z軸孔徑均相差不大，但矩形陣在XOY平面孔徑上要明顯大于十字陣，此時矩形陣的波達方向估計性能較優(yōu).此外，在方位角接近45°或135°區(qū)域，矩形陣的XOY平面孔徑遠大于十字陣，對應(yīng)的波達方向估計性能應(yīng)更優(yōu).

4 運算復(fù)雜度分析

設(shè)原半球陣列的陣元數(shù)為N，若采用MUSIC算法進行二維波達方向估計，其運算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在特征值分解和譜峰搜索上.根據(jù)文獻[15]，對維數(shù)為N×N的相關(guān)矩陣進行特征分解的運算復(fù)雜度為O[15（N－1）3].假設(shè)兩維譜峰搜索的總點數(shù)為K，則譜峰搜索的運算復(fù)雜度為O[KN2].原陣列實現(xiàn)MUSIC算法的總的運算復(fù)雜度為O[15（N－1）3]＋O[KN2].

利用虛擬陣列估計波達方向的過程可由離線運算和在線運算兩步組成.離線運算主要包括計算轉(zhuǎn)換矩陣B和T.考慮L個角域，則離線部分的運算復(fù)雜度為O[LN3]＋O[LNˉ3].在線運算主要體現(xiàn)在root－MUSIC算法上.對于M 元等距線陣，若采用root－MUSIC進行波達方向估計，其運算復(fù)雜度為O[120（M－1）3].筆者設(shè)虛擬陣列在X軸、Y軸上的陣元數(shù)為Nxy，同時可得虛擬十字陣列Z軸上的陣元數(shù)Nz＝（Nxy＋1）2，考慮到L個角域，可知虛擬矩形陣列和虛擬十字陣列進行在線波達方向估計時總的運算復(fù)雜度分別為O[240L（Nxy－ 1）3]、O[255L（Nxy－1）3].由此看出，在通常情況下，虛擬矩形陣列的離線計算量大于虛擬十字陣列；若只考慮在線波達方向估計，則虛擬矩形陣列的計算量小于虛擬十字陣列.虛擬矩形陣列以大的離線計算量為代價，得到了相對較小的在線計算量.

由以上分析可知，對于三維共形陣列，在滿足N?Nxy的條件下，利用虛擬陣列實現(xiàn)在線波達方向估計的運算量大大降低了.

5 仿真實驗

在仿真實驗中，采用圖2所示結(jié)構(gòu)的半球共形陣列，虛擬陣列設(shè)置如圖3所示.半球陣列由5個均勻分布的圓陣組合而成，各環(huán)陣元數(shù)分別為24、20、16、8、1，環(huán)與環(huán)之間服從等弧度分布，半球底面半徑取2λ.虛擬矩形陣列由81個陣元構(gòu)成，組成9×9方陣，陣元行列間距為λ2.虛擬十字陣列由21個陣元構(gòu)成，除坐標原點陣元外，其余各陣元均勻分布于X軸、－X軸、Y軸、－Y軸、Z軸上，各軸向陣元數(shù)為4，間距為λ2.

在波達方向估計方面，對于矩形陣列，利用其結(jié)構(gòu)的特殊性，在對“虛擬數(shù)據(jù)”進行行列合成處理[16]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用2Droot－MUSIC算法[17]即可得到信源的二維波達方向估計.對于十字陣列，可利用XOY面上的十字陣列估計信源的俯仰角和方位角，利用Z軸上的等距線陣估計信源的俯仰角.為了減小估計誤差，將兩個俯仰角估計的均值作為最終的俯仰角估計值.

在自適應(yīng)波束形成方面，將線性約束最小方差（LCMV）準則直接應(yīng)用于虛擬陣列中，得到虛擬陣列的權(quán)矢量為

實驗1 在上述實驗參數(shù)下，分別借助虛擬矩形陣列和虛擬十字陣列進行二維波達方向估計，信噪比取0dB.經(jīng)過2 000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到兩種內(nèi)插方式進行波達方向估計的均方根誤差對比結(jié)果，如圖7所示.其中“圓圈”表示十字陣列的均方根誤差小于矩形陣列的均方根誤差，“星號”與之相反.

可以看出，兩種內(nèi)插方式的波達方向估計性能受信源俯仰角的影響較大.當俯仰角較小時，矩形陣內(nèi)插的性能較優(yōu)；隨著俯仰角的增加，十字陣估計性能逐漸優(yōu)于矩形陣的估計性能.另外，兩者的性能對比結(jié)果關(guān)于90°方位角對稱.當信源方位角靠近45°（或135°）時，矩形陣列的波達方向估計性能較優(yōu)，與理論預(yù)測一致.

圖7 兩種內(nèi)插方式的波達方向估計性能對比

實驗2 分別將信源方向固定為（45°，30°）和（90°，50°），信噪比從－15dB增至15dB，經(jīng)過2 000次獨立的蒙特卡洛實驗，得到這兩個角度下兩種虛擬內(nèi)插方式進行波達方向估計以及直接利用原陣列MUSIC算法進行波達方向估計的性能變化對比曲線，如圖8所示.

圖8 3種陣列波達方向估計性能隨信噪比變化曲線

可以看出，兩種虛擬內(nèi)插方式在信噪比較小時波達方向估計性能較差；隨著信噪比的增大，兩者的估計性能逐漸變優(yōu)，虛擬十字陣列變化趨勢明顯，而虛擬矩形陣列變化趨勢較為平坦.與原陣列MUSIC算法相比，虛擬陣列的波達方向估計性能略差.

實驗3 設(shè)來波方向（θ，φ）＝（120°，30°），干擾方向（θ，φ）＝（30°，60°），信噪比為0dB，干信比為10dB，快拍次數(shù)取為1 000，分別在原陣列、矩形虛擬陣列、十字虛擬陣列上利用線性約束最小方差準則，得到3種陣列的三維方向圖，如圖9所示.圖10對比了3種陣列構(gòu)型在主瓣方向的方位維方向圖和俯仰維方向圖.圖11對比了3種陣列構(gòu)型在干擾方向的方位維方向圖和俯仰維方向圖.表1為

3個方向圖在方位維和俯仰維的主瓣寬度對比.

表1 陣列主瓣寬度對比

圖9 三維方向圖

圖10 主瓣方向剖面圖

圖11 干擾方向剖面圖

可以看出，兩種虛擬陣列均可以在期望方向形成主瓣的同時對干擾進行抑制.在兩維主瓣寬度上，虛擬矩形陣列在方位維的主瓣寬度比原陣列的窄，在俯仰維的主瓣寬度比原陣列的寬，整體與原半球陣列接近.虛擬十字陣列在兩維主瓣寬度上都寬于原陣列.在干擾方向圖上，具有較窄主瓣寬度的方向圖其在干擾方向的凹口也較窄，即凹口相對寬度與主瓣相對寬度保持一致.另外，不難看出，陣列方向圖寬度對比與各陣列孔徑分布特點（圖6所示）相一致.

實驗4 將輸入信噪比從－20dB增至20dB，其余參數(shù)同實驗3，得到3種陣列構(gòu)型方向圖的輸出信干噪比（SINR）隨輸入信噪比變化的曲線，如圖12所示.

可以看出，3種陣列輸出信干噪比均隨著輸入信噪比的增大而增大.在相同輸入信噪比下，3種陣列的輸出信干噪比由大到小依次為虛擬矩形陣列、原陣列、虛擬十字陣列，可知3種陣列按抗干擾能力強弱排布依次為虛擬矩形陣列、原陣列、虛擬十字陣列.這是因為與原半球陣列相比，虛擬矩形陣列陣元數(shù)較多，增加了系統(tǒng)自由度，使得其在滿足特定約束自由度的條件下?lián)碛懈嗟淖赃m應(yīng)自由度來抑制干擾和噪聲，所以輸出信干噪比大于原陣列.同理，虛擬十字陣列與原陣列相比，減少了系統(tǒng)自由度，其自適應(yīng)自由度降低，相當于對原陣列進行降秩處理，此時的波束形成性能（即輸出信干噪比）顯然會下降.

圖12 陣列輸出信干噪比隨輸入信噪比變化的曲線

6 總 結(jié)

筆者將虛擬內(nèi)插變換的思想應(yīng)用于半球共形陣列中，分別建立了半球共形陣列到矩形陣列和十字陣列的兩種變換關(guān)系，并利用虛擬陣列進行波達方向估計、波束形成等陣列處理.對兩種內(nèi)插方式在波達方向估計、波束形成、運算復(fù)雜度等方面進行了全面分析和仿真驗證，可為共形陣列的工程應(yīng)用提供參考.文中的分析和仿真雖然是在半球陣下進行的，但虛擬陣列變換方法的適用性卻不會受到陣列排布的制約，這是因為如果原共形陣列滿足空間無模糊采樣條件，那么總是可以通過合適的轉(zhuǎn)換矩陣將其內(nèi)插為均勻線陣/面陣或兩者的組合.同時，文中所描述的虛擬內(nèi)插變換的性能分析方法對于一般共形陣列仍然適用，這也擴大了筆者提出方法的適用范圍.另外，文中陣列均是在理想情況下進行分析和仿真的，當陣列存在誤差時如何進行虛擬內(nèi)插還需進一步探討和研究.

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