楊 君 漆 峰

(1.裝備學(xué)院 北京 101416;2.63812部隊(duì) 海南 571339)

0 引言

寬帶波束形成是實(shí)現(xiàn)頻域?qū)掗_(kāi)的關(guān)鍵技術(shù)，是數(shù)字陣列雷達(dá)(DAR)適應(yīng)復(fù)雜電磁環(huán)境的必然選擇［1］。寬帶波束形成研究主要集中在束寬的頻率穩(wěn)定性方面，目前主要有基于DFT變換的頻域?qū)崿F(xiàn)方法和基于FIR濾波器的時(shí)域?qū)崿F(xiàn)方法［2］，其中前者雖然可以利用FFT快速運(yùn)算結(jié)構(gòu)減少計(jì)算量，但是存在子帶分割誤差以及FFT濾波誤差［3］，使得波束形成輸出相對(duì)于源信號(hào)存在失真［2］，該方法主要用于要求算法快速低功耗的偵察雷達(dá)上;基于FIR濾波器的時(shí)域?qū)崿F(xiàn)方法是直接對(duì)整個(gè)頻帶進(jìn)行波束形成，不存在上述頻域方法的問(wèn)題，是寬帶波束形成的理想方法，這種波束形成器設(shè)計(jì)的主要工作就是設(shè)計(jì)陣元FIR濾波器，每個(gè)陣元FIR濾波器的相同頻點(diǎn)上的頻率響應(yīng)組成該頻點(diǎn)上波束形成器，而其設(shè)計(jì)的核心原則就是盡可能的保持帶內(nèi)各個(gè)頻點(diǎn)上的波束形成器的束寬相同，即所謂的恒定束寬問(wèn)題。陣元FIR濾波器設(shè)計(jì)是一個(gè)多參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，目前常用的方法就是將濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換成二階錐 規(guī) 劃［4-6］(Second-order Cone Programming，SOCP)問(wèn)題，然后使用 MATLAB 的 Sedumi函數(shù)［7］進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。雖然SOCP可以在波束形成器的主瓣寬度、旁瓣級(jí)、主瓣響應(yīng)誤差、穩(wěn)健性等多個(gè)指標(biāo)之間進(jìn)行全面的折中處理，但是其優(yōu)化的對(duì)象只能是目標(biāo)頻帶內(nèi)有限個(gè)離散的樣本頻點(diǎn)，而對(duì)那些非樣本頻點(diǎn)上的波束響應(yīng)卻無(wú)任何約束，如果非樣本頻點(diǎn)上的束寬頻率穩(wěn)定很差的話，這個(gè)寬帶波束形成的效果必然大大受到影響，本文正是圍繞非樣本頻點(diǎn)上的束寬頻率穩(wěn)定性問(wèn)題展開(kāi)研究。

1 非樣本點(diǎn)束寬頻率穩(wěn)定性分析

所謂束寬的頻率穩(wěn)定性是指寬帶波束形成器的波束寬度在帶寬內(nèi)隨頻率變化的情況，束寬在各頻點(diǎn)上的變化越小頻率穩(wěn)定性越好，使束寬方向內(nèi)入射的信號(hào)頻譜產(chǎn)生的畸變?cè)叫?。本文用各頻點(diǎn)上3dB束寬的方差來(lái)恒量波束形成器在該族頻點(diǎn)上的束寬穩(wěn)定性。3dB束寬的方差定義為:

采用基于SOCP的阻帶均方誤差約束最小通帶均方誤差濾波器設(shè)計(jì)方法［2］對(duì)陣元濾波器頻率響應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化，選擇參數(shù)設(shè)置為:陣元數(shù)M=12，信號(hào)占用歸一化頻帶為［0．175，0．375］，陣元間距 d為歸一化頻率0.375對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)λ的1/2，此時(shí)在歸一化頻率0.175上d/λ=1/4，在信號(hào)歸一化帶寬內(nèi)均勻劃分為40個(gè)窄帶，將 d/λ =1/4、零點(diǎn)束寬BWNN=30o時(shí)的Dolphy-Chebyshev加權(quán)生成的波束主瓣響應(yīng)作為期望主瓣響應(yīng)，取主瓣區(qū)角度采樣數(shù) ML=64 ，權(quán)系數(shù)暫取 λ1×ML=11×ML，旁瓣區(qū)角度采樣數(shù)SL=32，旁瓣級(jí)約束 μ2=10-1．2=-24dB ，白噪聲增益(加權(quán)系數(shù)范數(shù))μ4=0．5，波束指向法線方向即θo=0o，計(jì)算得到樣本頻點(diǎn)上的3dB束寬方差為，非常接近于零，可見(jiàn)基于SOCP的波束設(shè)計(jì)和FIR濾波器設(shè)計(jì)方法可以非常準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)樣本頻點(diǎn)(各子帶中心頻點(diǎn))上的恒定束寬。但是FIR濾波器的頻率響應(yīng)是連續(xù)的，除了這些樣本頻點(diǎn)以外，還必須考查它們之間的頻點(diǎn)上束寬的變化。在樣本頻點(diǎn)之間均勻的取5個(gè)頻點(diǎn)，得到對(duì)應(yīng)的波束圖見(jiàn)圖1。

此時(shí)σ23dB=3．6046，顯然束寬的頻率穩(wěn)定性相對(duì)于樣本頻點(diǎn)明顯變差，同時(shí)，各非樣本頻點(diǎn)上的波束圖不僅出現(xiàn)了主瓣的形變，旁瓣級(jí)也明顯升高，造成這種現(xiàn)象的原因是整個(gè)優(yōu)化過(guò)程只針對(duì)樣本頻點(diǎn)進(jìn)行，而它們之間的頻點(diǎn)未作任何限制，在這些未加控制的頻點(diǎn)上出現(xiàn)了圖2所示的情況(以第7號(hào)陣元FIR濾波器為例)。

圖1 非樣本頻點(diǎn)上的束寬變化情況

圖2 第7號(hào)陣元FIR濾波器非樣本頻點(diǎn)頻率響應(yīng)通帶放大圖

非樣本頻點(diǎn)上的頻率響應(yīng)(幅度)本應(yīng)該與其周圍的樣本頻點(diǎn)相近但卻出現(xiàn)了震蕩的現(xiàn)象，震蕩幅度越大這些非樣本頻點(diǎn)上的頻率響應(yīng)組成的波束形成器的波束響應(yīng)與樣本頻點(diǎn)的波束響應(yīng)相差越大，導(dǎo)致整個(gè)通帶上的束寬穩(wěn)定性下降。

2 非樣本頻點(diǎn)上頻率響應(yīng)平滑

為了平滑非樣本頻點(diǎn)上的頻率響應(yīng)，本文進(jìn)行了大量仿真，最后得到如下結(jié)論和解決辦法:

a.增大樣本頻點(diǎn)的密度并不能消除其間非樣本頻點(diǎn)上頻率響應(yīng)的幅度震蕩，在濾波器長(zhǎng)度不變時(shí)，增大樣本頻點(diǎn)的密度甚至?xí)?dǎo)致震蕩幅度增大;

b.適當(dāng)改變通帶樣本頻點(diǎn)數(shù)量與阻帶樣本頻點(diǎn)數(shù)量的比例可以一定程度的減小非樣本頻點(diǎn)上頻率響應(yīng)的幅度震蕩，但效果并不明顯，束寬相對(duì)變化率仍然很大;

c.給期望頻率響應(yīng)加上線性相位，可以大幅度減小甚至消除非樣本頻點(diǎn)頻率響應(yīng)的幅度震蕩，明顯改善非樣本頻點(diǎn)的束寬相對(duì)變化率提高整個(gè)通帶上的束寬穩(wěn)定性。

所謂給期望頻率響應(yīng)加上線性相位，就是設(shè)陣元數(shù)為M，頻率為fi的樣本頻點(diǎn)上的波束形成加權(quán)系數(shù)為 Wfi(j)，j=1，2，3，…，M ，第 j個(gè)陣元 FIR濾波器的期望頻率響應(yīng)為Hdj(fi)，i=1，2，3，…，L，則有:

此時(shí)在上式右邊乘以一個(gè)線性相位:

其中N為濾波器長(zhǎng)度。加入該線性相位后頻點(diǎn)fi上的波束響應(yīng)為:

其中λi為fi對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)?？梢钥吹骄€性相位并不會(huì)改變?cè)擃l點(diǎn)上的波束圖，且不難證明線性相位最終只是使得輸出產(chǎn)生(N-1)/2個(gè)采樣周期的群延時(shí)。取N=201，給期望響應(yīng)加入線性相位以后圖1中非樣本頻點(diǎn)上的震蕩基本消除，最終在非樣本頻點(diǎn)上的束寬穩(wěn)定也大大改善，如圖3所示。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)仿真分析指出了基于SOCP的寬帶波束形成方法存在非樣本頻點(diǎn)上束寬不穩(wěn)定的問(wèn)題;同時(shí)分析指出非樣本頻點(diǎn)上的束寬不穩(wěn)定是由于陣元FIR濾波器在非樣本頻點(diǎn)上頻率響應(yīng)未受約束而不規(guī)則起伏引起的，為平滑陣元FIR濾波器的頻率響應(yīng)，本文從大量仿真中總結(jié)得出給期望頻率響應(yīng)加上線性相位，并適當(dāng)調(diào)整通帶采樣點(diǎn)數(shù)的方法，該方法可以大幅度減小甚至消除非采樣頻點(diǎn)頻率響應(yīng)的幅度震蕩，明顯改善非采樣頻點(diǎn)的束寬相對(duì)變化率，提高在整個(gè)通帶上的束寬穩(wěn)定性。該方法對(duì)于進(jìn)一步完善基于SOCP的寬帶波束形成器設(shè)計(jì)方法具有積極的參考價(jià)值。

圖3 加入線性相位后非樣本頻點(diǎn)上的束寬變化情況

［1］陳曾平，張?jiān)?，鮑慶龍.數(shù)字陣列雷達(dá)及其關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)展［J］.國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010(6):1-7.

［2］鄢社鋒，馬遠(yuǎn)良.傳感器陣列波束優(yōu)化設(shè)計(jì)與應(yīng)用［M］.科學(xué)出版社，2009:2-194.

［3］楊君.FFT濾波誤差分析［J］.通信技術(shù)，2010，43(9):235-240.

［4］Yan S.F.，Ma Y.L.，Sun C.Optimal beamforming for arbitrary arrays using second order cone programming［J］.Chinese Journal of A-coustics，2005，24(1):1-9.

［5］王輝.一種基于二階錐規(guī)劃的寬帶波束形成算法［J］.電子對(duì)抗，2013，(4):32-36.

［6］范展，梁國(guó)龍.基于凸優(yōu)化的最小旁瓣恒定束寬時(shí)域?qū)拵Рㄊ纬桑跩］.電子學(xué)報(bào)，2013，41(5):943-948.

［7］Sturm J.F.Using sedumi 1.02，a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones［J］.Optim Methods Software，1999:625-653.