刁鳴，丁兆明，高洪元，李晨琬

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

基于特征空間算法的非圓相干信源DOA估計

刁鳴，丁兆明，高洪元，李晨琬

（哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

針對非圓相干信號的解相干問題，給出了一種新的特征空間算法（eigenspace-direction of arrival，ES-DOA）。利用信號源的非圓特性，虛擬地擴(kuò)展了陣元個數(shù)，使陣列信息增至擴(kuò)展前的兩倍，對信號源數(shù)目的估計突破了M-1（M為陣元數(shù)）的限制；將信息量加倍后的協(xié)方差矩陣加以重構(gòu)，給出一種新的特征空間算法進(jìn)行解相干，最大限度地利用了噪聲子空間與信號子空間的信息，避免了空間平滑思想的陣列孔徑損失及最大似然算法運(yùn)算量過大的問題；該方法還對信號源功率進(jìn)行了估計，提高了對小能量信號的估計成功概率。仿真結(jié)果表明，該方法對波達(dá)方向估計具有很好的魯棒性。

DOA估計；特征空間；非圓特性；相干信源；信號源功率；Toeplitz矩陣；MUSIC算法；小能量信號

隨著BPSK、MASK、ASK、PAM等非圓信號在通信系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，基于非圓信號的DOA（direction of arrival）估計技術(shù)已成為測向領(lǐng)域中的研究熱點［1-2］。目前，針對非圓信號DOA估計的研究大多基于信號源完全獨立的前提，而實際環(huán)境中的信號源往往不可避免地存在相干信號。最常用且相對成熟的解相干技術(shù)為Shan首次提出的空間平滑思想［3］，但由于空間平滑算法屬于降維類算法，須對陣列進(jìn)行劃分，導(dǎo)致陣列孔徑損失很大，檢測相干源數(shù)目與子陣孔徑大小成反比，對相干源數(shù)的估計極限僅為2M／3個［4-5］，且無法實現(xiàn)各信號源之間的完全解相干?；诳臻g平滑算法，文獻(xiàn)［6］提出了模式空間平滑算法用于解決圓陣相干信號DOA估計問題。此外，最大似然方法［7］也是一種行之有效的解相干算法，其通過概率密度模型來估計相干信號，但運(yùn)算量很大，且仍然無法檢測信號源數(shù)目較多及多相干信源混合的情況，導(dǎo)致其實際應(yīng)用的難度較大［8］。

文獻(xiàn)［9］研究了基于特征空間DOA（ES-DOA）估計算法，其性能明顯優(yōu)于MUSIC等經(jīng)典子空間類算法，并在信號解相干上取得了不錯的效果。本文利用特征空間算法的解相干優(yōu)勢，結(jié)合非圓信號源的非圓特性，大幅度提升了對信源數(shù)目的估計能力［10］；在對陣列輸出信號的協(xié)方差矩陣加以重構(gòu)后，采用特殊的搜索函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索，最大限度地利用了噪聲子空間與信號子空間的信息［9］，在不損失陣列孔徑的同時，提高了對相干及強(qiáng)相關(guān)信號估計的有效性和優(yōu)越性；該算法還結(jié)合了信號源的功率估計［11］，可對能量小的信號加以能量補(bǔ)償，在低信噪比和小快拍數(shù)的情況下仍具有較好的穩(wěn)健性。

1 估計信號的數(shù)學(xué)模型

1.1 非圓信號的數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，設(shè)有M個陣元的均勻線陣，陣元間距d為半波長λ／2，N個窄帶信號分別從角度為θ1，θ2，…，θN入射到均勻線陣上，信號中包含相干或強(qiáng)相關(guān)信號。

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Equality line-antenna array

將M個陣元輸出信號用矢量表示成X（t）＝［x1（t）x2（t）…xM（t）］，則第i個陣元輸出的表達(dá)式為

式中：sk（t）為入射信號，tk為第i個信源在相鄰陣元間的時延，ni（t）為第k個陣元在t時刻的噪聲和干擾。將式（1）寫成矩陣形式為

式中：

式中：θ＝2πf＝2πc／λ，c為光速，f為信號頻率，λ為入射信號波長。通常接收信號的模型為

式中：u（t）為信號的幅度信息，v（t）為信號的相位信息，φ為信道附加信息，對于一般的圓形信號，通常將信道附加信息直接歸入信號的相位信息之中，即φ對信號模型的構(gòu)成不會產(chǎn)生影響。

而非圓信號為實值信號，即解調(diào)之后的信號為實數(shù)。所以為了使得信號模型更加接近實際情況而需考慮傳輸信道對信號的影響［12］，此時經(jīng)過解調(diào)后的信號模型應(yīng)改為

將式（4）代入式（2）中，可得非圓信號陣列接收數(shù)據(jù)模型為

式中：Ψ＝diag（ejφ1，ejφ2，…，ejφN）是與每一個信號有關(guān)的信道附加相位組成的對角陣。

1.2 相干信號的數(shù)學(xué)模型

2個平穩(wěn)信號si（t）、sk（t）間的相關(guān)情況用相關(guān)系數(shù)來定義，即

根據(jù)Schwartz不等式可知ρik≤1，定義當(dāng)ρik＝1時，兩信號相干。

由定義可知，當(dāng)信號源存在相干關(guān)系時各信號之間只差一個復(fù)常量。假設(shè)有N個相干信號源，則有

式中：s0（t）可稱為生成信源，αi即為第i個信號源si（t）相對于生成信源s0（t）的復(fù)衰減。將式（7）代入式（5）可得非圓相干信號的數(shù)學(xué)模型：

式中：η是由一系列復(fù)常數(shù)組成的N×1維矢量。

2 本文算法描述

設(shè)有一個復(fù)隨機(jī)變量y，定義其均值為E［y］，協(xié)方差為E［yy*］，橢圓協(xié)方差（偽協(xié)方差）為E［y2］。若一個復(fù)隨機(jī)變量的均值和橢圓協(xié)方差均為零，即E［y］＝0，則E［y2］＝0，則稱此復(fù)隨機(jī)變量為二階圓性變量。若復(fù)隨機(jī)變量不滿足E［y2］的性質(zhì)，則認(rèn)為此復(fù)隨機(jī)變量具有二階非圓性［13］。事實上，對于非圓信號，二階DOA算法中陣列輸出的協(xié)方差矩陣和偽協(xié)方差矩陣分別為

式中：RS＝E［S（t）SH（t）］，R＇S＝E［S（t）ST（t）］，為空間理想白噪聲的噪聲功率，IM為單位矩陣。

由于非圓信號的橢圓協(xié)方差不為零，即攜帶了信源信息，通過將接收數(shù)據(jù)和其共軛串聯(lián)起來以增加數(shù)據(jù)維數(shù)的方式，可以虛擬地將陣元個數(shù)加倍，此時有

進(jìn)而擴(kuò)展后的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為

式中：R和R＇分別為陣列輸出的協(xié)方差矩陣和橢圓協(xié)方差矩陣，R＝E［X（t）XH（t）］和R＇＝E［X（t）XT（t）］分別為信號矢量的協(xié)方差矩陣和橢圓協(xié)方差矩陣，RS＝E［S（t）SH（t）］，R＇S＝E［S（t）ST（t）］。

通過式（12）構(gòu)造的陣列輸出信號協(xié)方差矩陣由非圓相干信號組成，經(jīng)典的解相干算法無法與非圓特性相結(jié)合。另外，在子空間類算法中如果信源中存在小能量信號，完成協(xié)方差矩陣特征分解后，小能量信號對應(yīng)的特征值較小，很容易被強(qiáng)噪聲干擾。本文將依據(jù)信號源功率的求解過程，用其功率的倒數(shù)對MUSIC算法的空間頻率譜函數(shù)加權(quán)，以抑制噪聲干擾。

首先對協(xié)方差矩陣加以重構(gòu)，使其具備采用特征空間算法解相干的條件。設(shè)變換陣V為M階交換陣，即

將協(xié)方差矩陣按如下方式重構(gòu)：

式中：R為Hermite矩陣，不具備Toeplitz矩陣的特性，而將R按式（14）修正后得到矩陣RX為Toeplitz矩陣。

依據(jù)信源功率的求解過程，定義一個新矩陣RA＝ASSHAH＝APAH＝USΛSUHS，其中P＝SSH，US為信號子空間，單取第i個信號處的導(dǎo)向矢量，進(jìn)一步計算可得

當(dāng)信號搜索至信源處，即θ＝θi（i＝1，2，…，N）時，aH（θ）UNUHNa（θ）＝0，而aH（θ）a（θ）＝1／pi≠0，故PES的空間頻率譜峰值在θ＝θi（i＝1，2，…，N）處。對接收信號協(xié)方差矩陣R重構(gòu)后得到RX，使得譜峰搜索函數(shù)PES可應(yīng)用于相干信號的DOA估計。

此外，本文定義的特殊空間譜函數(shù)不僅可以估計信號到達(dá)角，還可以估計信號源功率的大小。由式（15）可得，第i個信號的信源功率為pi＝1／aH（θi）R＋Aa（θi）

[ ]，可直接求出譜峰位置的功率值，便于對小能量信號的檢測判斷。

3 算法性能仿真驗證

3.1 兩類算法DOA估計的魯棒性比較

假設(shè)有來波方向分別為－35°、20°和55°的3個相干BPSK信號，信噪比為－5 dB，均勻線陣的陣元數(shù)為8，陣元間距d＝λ／2，快拍數(shù)為500，分別采用本文算法和前后向空間平滑算法做100次Monte-Carlo實驗。

由圖2可得出，ES-DOA算法和空間平滑算法均可對非圓相干信號進(jìn)行DOA估計，但ES-DOA算法的譜峰明顯更加尖銳，且沒有旁瓣和毛刺，表明該算法較空間平滑具有更好的魯棒性。

假設(shè)有來波方向分別為－50°、－30°、－10°、10°、30°和50°的6個相干BPSK信號，其他條件同上，采用本文算法和前后向空間平滑算法對信號源進(jìn)行100次Monte-Carlo實驗，對比信號角度的真實值和估計值。

圖2 兩類算法譜峰搜索對比圖Fig.2 Peak searching comparison of two algorithms

圖3 分別為ES-DOA算法和空間平滑算法的“估計次數(shù)-到達(dá)角”對比圖。通過對2張圖的對比，可驗證本文算法相對于空間平滑算法對非圓相干信號的估計具有更好的準(zhǔn)確性。

圖3 估計次數(shù)－到達(dá)角Fig.3 Estimation times versus arrival angles

3.2 兩類算法的解相干性能比較

假設(shè)有來波方向分別為－35°、－10°、20°和55°的4個相干BPSK信號，信噪比在－20～20 dB范圍內(nèi)由小到大漸變，均勻線陣的陣元數(shù)為10，陣元間距為d＝λ／2，快拍數(shù)為500，做100次Monte-Carlo實驗，比較2種算法的估計成功概率和均方根誤差。

圖4 估計成功概率Fig.4 Success probability of estimation

由圖4可以看出，當(dāng)信噪比低于－5 dB時，2種算法的估計成功概率大致相同，隨著信噪比的增加，本文算法的成功概率明顯高于空間平滑算法，說明估計相干信號時，本文算法的估計性能要優(yōu)于空間平滑算法，同時也驗證了所提算法的可靠性。由圖5可以看出，2種算法的估計均方根誤差都隨著信噪比的增大而減小，當(dāng)信噪比大于10 dB時，兩者的估計均方根誤差大致相同，當(dāng)信噪比小于10 dB時，本文算法的估計均方根誤差明顯小于空間平滑算法，說明本文算法適用于低信噪比信號的估計，估計性能與空間平滑算法相比更加穩(wěn)定。

圖5 估計均方根誤差Fig.5 Mean square error of estimation

3.3 信源數(shù)接近陣元數(shù)情況下的估計性能對比

假設(shè)有來波方向分別為－45°、－5°、20°、55°和80°的5個相干BPSK信號，信噪比為－5 dB，均勻線陣的陣元數(shù)為8，陣元間距為d＝λ／2，快拍數(shù)為500，分別采用本文算法和前后向空間平滑算法做100次Monte-Carlo實驗。

圖6為相對于陣元數(shù)信號源數(shù)目較多的情況下2種算法對相干BPSK信號的譜峰搜索圖，從圖上可明顯得出，本文算法仍可有效地估計出各信號角度，只是80°來波方向信號的估計精度稍差；而空間平滑算法只能估計出2個信號角度，基本失效，表明本文算法適用于信源數(shù)目較大時的估計情況。

圖6 多信號源情況下譜峰搜索對比圖Fig.6 Peak searching comparison in multi-signal sources

3.4 信號源功率估計的性能檢驗

假設(shè)有來波方向分別為15°、30°和55°的3個相干BPSK信號，均勻線陣的陣元數(shù)為8，陣元間距為d＝λ／2，信噪比從0～20 dB遞增，快拍數(shù)分別取200、300、500和1 000，做50次Monte-Carlo實驗，驗證本文算法對信號源功率的估計性能。

定義均方誤差為PMSE＝（pi－pie）2，其中pi和pie分別為第i個信號功率的真實值和估計值。由圖7可以看出，隨著信噪比的增加，所得的均方誤差越來越小，本算法具有較好的信源功率估計能力，且估計性能隨著快拍數(shù)的增大而增大。

圖7 信號源功率估計性能Fig.7 Estimation performance of signal power

4 結(jié)束語

本文以BPSK調(diào)制信號為例，結(jié)合非圓信號的自身特性，給出了一種針對非圓相干信號的特征空間算法（ES-DOA）。該算法可擴(kuò)展陣列信息，適用于多信號源數(shù)目的估計情況，通過將陣列輸出信號的協(xié)方差矩陣重構(gòu)為Toeplitz矩陣，使其具備譜峰搜索的前提條件，避免了現(xiàn)有的解相干算法陣列孔徑損失嚴(yán)重、計算量較大等問題。此外，該算法還結(jié)合了信號源功率，便于對能量較小的信號進(jìn)行能量補(bǔ)償，試用的噪聲環(huán)境更廣。

該算法利用了非圓信號特性，擴(kuò)展了陣列孔徑，可以估計更多的信號源，提高了DOA估計性能；算法結(jié)合了信號源的功率估計，可以適用于估計能量小，低信噪比的相干信號；通過與前后向空間平滑技術(shù)進(jìn)行對比，仿真結(jié)果證實了該算法具有較高的精度和較強(qiáng)的魯棒性。

［1］刁鳴，安春蓮，萬文龍.非圓信號的四階累積量測向新方法［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2012，33（1）：112-116.DIAO Ming，AN Chunlian，WAN Wenlong.A novel direction finding algorithm for noncircular signals based on fourth-order cumulants［J］.Journal of Harbin Engineering University，2012，33（1）：112-116.

［2］LIU Aifei，LIAO Guisheng，XU Qing，et al.A circularitybased DOA estimation method under coexistence of noncircular and circular signals［C］／／2012 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing（ICASSP）.Kyoto，Japan，2012：2561-2564.

［3］SHAN T J，WAX HAN M，KAILATH T.On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals［J］.IEEE Transactions on Acoustic，Speech and Signal Progressing，1985，33（4）：806-811.

［4］WILLIAMS R T，SUREBDA P，MAHALANABIS A K，et al. An improved spatial smoothing technique for bearing estimation in a multipath environment［J］.IEEE Transactions on Acoustics，Speech and Signal Progressing，1988，36（4）：425-432.

［5］朱圣棋，廖桂生，李海，等.基于數(shù)據(jù)矩陣的非圓相干信號完全解相關(guān)算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（1）：21-24.ZHU Shengqi，LIAO Guisheng，LI Hai，et al.DOA eatimation of coherent signals based on data matrix［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（1）：21-24.

［6］韓曉東，刁鳴.沖擊噪聲背景下均勻圓陣相干信源的DOA估計［J］.應(yīng)用科技，2012，39（1）：35-38.HAN Xiaodong，DIAO Ming.DOA estimation of uniform circular array and coherent sources in an impulsive noise environment［J］.Applied Science and Technology，2012，39（1）：35-38.

［7］王布宏，王永良，陳輝.相干信號源波達(dá)方向估計的廣義最大似然算法［J］.電子與信息學(xué)報，2004，26（2）：225-232.WANG Buhong，WANG Yongliang，CHEN Hui.Generalized maximum likelihood algorithm for direction-of-arrival estimation of coherent sources［J］.Journal of Electronics＆Information Technology，2004，26（2）：225-232.

［8］龐偉正，高洪元，王艷麗.基于粒子群優(yōu)化算法的相干信源波達(dá)方向估計［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2006，27（3）：453-456.PANG Weizheng，GAO Hongyuan，WANG Yanli，et al.Estimating direction-of-arrival of coherent source based on particle swarm optimization algorithm［J］.Journal of Harbin Engineering University，2006，27（3）：453-456.

［9］ZHANG Xiaofei，LYU Wen，SHI Ying，et al.A novel DOA estimation algorithm based on eigen space［C］／／IEEE 2007 International Symposium on Microwave，Antenna，Propagation，and EMC Technologies for Wireless Communications.Hangzhou，China，2007：551-554.

［10］鄭春弟，馮大政，雷革.一種利用非圓信號特點的實值DOA估計算法［J］.數(shù)據(jù)采集與處理，2009，24（2）：193-197.ZHENG Chundi，F(xiàn)ENG Dazheng，LEI Ge.DOA Estimation algorithm for non-cicular sources using real-value algorithm［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2009，24（2）：193-197.

［11］崔波，羅景青.最小冗余線陣的ES-DOA估計算法研究［J］.信號處理，2010，26（7）：1016-1020.CUI Bo，LUO Jingqing.Study on ES-DOA estimation algorithm of minimun-redundancy linear arrays［J］.Signal Processing，2010，26（7）：1016-1020.

［12］HASSEN S B，BELLILI F，SAMET A，et al.DOA estimation of temporally and spatially correlated narrowband noncircular sources in spatially correlated white noise［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59（9）：4108-4121.

［13］HUANG Z T，LIU J，ZHOU Y Y.Performance analysis of MUSIC for non-circular signals in the presence of mutual coupling［J］.IET Radar，Sonar and Navigation，2010，4（5）：703-711.

Estimating direction of arrival of non-circular coherent signals based on ES-DOA estimation algorithm

DIAO Ming，DING Zhaoming，GAO Hongyuan，LI Chenwan
（College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

A new eigenspace-direction of arrival（ES-DOA）de-correlation algorithm is presented to estimate the direction of arrival of non-circular coherent signals.It takes advantage of non-circular characteristics of the signal source，virtually extends the number of the

array elements and doubles the array information compared with the information before extension.This makes the estimation of signal source number break through the maximum M-1（with M representing the number of sensor elements）.Restructure the covariance matrix in which the amount of information has been doubled，and then do the de-correlation by the proposed ES-DOA algorithm.The new algorithm can make use of the information of signal subspace and noise subspace to the largest extent，and avoids the problem of array aperture loss caused by the spatial smoothing algorithm and the large amount of calculation caused by the maximum likelihood algorithm.Besides，the proposed ES-DOA algorithm can also be used to estimate the power of signal source，which can improve the probability of success in the estimation of low power signals.The simulation results indicated that the method is effective and robust in DOA estimation.

DOA estimation；eigenspace；non-circular characteristic；coherent signals；signal power；Toeplitz matrix；MUSIC algorithm；low power signal

10.3969／j.issn.1006-7043.201310073

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201310073.html

TN911

A

1006-7043（2014）12-1559-05

2013-10-25.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2014-12-04.

國家自然科學(xué)基金資助項目（61102106，61102105）；中國博士后基金資助項目（2013M530148）.

刁鳴（1960-），男，教授，博士生導(dǎo)師.

刁鳴，E-mail：diaoming＠hrbeu.edu.cn.