趙 堅(jiān)

(昆明市五華區(qū)教育科學(xué)研究中心、五華區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 云南 昆明 650031)

1 問(wèn)題提出

最近，有教師向筆者提出在電磁感應(yīng)教學(xué)中遇到的一些疑惑問(wèn)題.

【例1】如圖1所示，一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形線(xiàn)框abcd某時(shí)刻在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速度v豎直下落，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與線(xiàn)框平面垂直．

圖1

問(wèn)題一：按照電磁感應(yīng)中感應(yīng)電流的通量法則，穿過(guò)正方形線(xiàn)框abcd的磁通量沒(méi)有發(fā)生改變，故正方形線(xiàn)框中沒(méi)有感應(yīng)電流．但按照閉合電路部分導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，上、下兩邊切割磁感線(xiàn)，必然要產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，出現(xiàn)感應(yīng)電流．正方形線(xiàn)框就要受到向上的磁場(chǎng)力作用，運(yùn)動(dòng)就不僅是在重力作用下的勻加速運(yùn)動(dòng)．導(dǎo)致這兩種處理結(jié)果相互矛盾的原因是什么？

問(wèn)題二：正方形線(xiàn)框加速下落時(shí)，上、下兩條邊的速度越來(lái)越大，切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)越來(lái)越大(兩條邊的電動(dòng)勢(shì)方向一致，左負(fù)，右正)，導(dǎo)致左、右兩條豎直邊ad和bc邊之間的電勢(shì)差越來(lái)越大．這是否是電荷在水平導(dǎo)體中向左右兩側(cè)聚集形成的？如果是這樣，那么兩條水平導(dǎo)體中不是就有同向且向右的電流了？這時(shí)的兩條豎直邊似乎像是一個(gè)電容器，不斷被充電，能這樣理解嗎？

問(wèn)題三：從微觀(guān)角度看，正方形線(xiàn)框下落時(shí)，上、下兩條邊里面的自由電荷也隨之向下運(yùn)動(dòng)，具有向下的速度．自由電荷(電子)將受到水平向左方向的洛倫茲力，從而向ad一側(cè)聚集，所以bc邊的電勢(shì)高于ad邊．并且自由電荷(電子)有了水平向左的速度后，又將受到向上的洛倫茲力，這是否就是所謂宏觀(guān)的磁場(chǎng)力(安培力)？

以上這些問(wèn)題，涉及到導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、電勢(shì)差，安培力與洛倫茲力的關(guān)系以及如何理解它們的做功等等．鑒于清楚認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題有利于加深我們對(duì)電磁感應(yīng)部分相關(guān)知識(shí)的正確理解，故在此試圖做點(diǎn)探討，供大家教學(xué)中參考．

2 對(duì)問(wèn)題的分析與探討

2.1 如何理解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 洛倫茲力與安培力的關(guān)系

眾所周知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小、方向不隨時(shí)間變化而閉合電路的整體或者部分在運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)叫做動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)．對(duì)閉合電路的整體或者部分在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)(如圖2所示)，運(yùn)動(dòng)的那一部分導(dǎo)體中的電荷(電子)在磁場(chǎng)中要受到洛倫茲力作用，而此洛倫茲力也正是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)出現(xiàn)的原因．

圖2

這一說(shuō)法自然會(huì)讓我們產(chǎn)生一個(gè)疑惑，電動(dòng)勢(shì)是單位電荷運(yùn)動(dòng)時(shí)非靜電力的功，而與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)相應(yīng)的非靜電力是洛倫茲力，那么，豈不是說(shuō)洛倫茲力做功不為零了？另外，我們說(shuō)運(yùn)動(dòng)電荷所受洛倫茲力恒與運(yùn)動(dòng)方向(v)垂直，所以洛倫茲力做功恒為零；但是洛倫茲力的宏觀(guān)表現(xiàn)——安培力在受力導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)時(shí)卻可能做功，這又似乎出現(xiàn)矛盾？

如何正確理解看待這個(gè)問(wèn)題一直是普遍存在于中學(xué)物理教師中的一個(gè)難點(diǎn)，究其原因，關(guān)鍵性之處主要是容易把問(wèn)題割裂開(kāi)來(lái)處理所導(dǎo)致．

事實(shí)上，如果綜合各方面因素來(lái)分析，問(wèn)題就比較容易看得清楚．

圖3

如圖2和圖3所示，隨著導(dǎo)體ab段動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的出現(xiàn)，閉合電路中將產(chǎn)生電流，考慮ab段內(nèi)一電子，其速度由兩部分組成：隨導(dǎo)體向右的速度v和因受到洛倫茲力f而向下運(yùn)動(dòng)(形成感應(yīng)電流)的速度v′．電子的合速度V=v+v′，其所受到的總洛倫茲力F也分別由兩部分合成：與v相應(yīng)的部分f，方向向下；和與v′相應(yīng)的部分f′，方向向左．由于總洛倫茲力F與受力電子的總速度v垂直，故不做功．但從宏觀(guān)角度看，F(xiàn)的兩部分卻分別起著不同的作用：f與導(dǎo)體ab平行，起著電源中非靜電力的作用，f沿著導(dǎo)體的積分就表現(xiàn)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；f′與導(dǎo)體ab垂直，在宏觀(guān)上表現(xiàn)為導(dǎo)體ab受到的安培力(向左)．然而值得注意的是，對(duì)這個(gè)安培力的理解我們不能認(rèn)為是所有受到力f′作用的自由電子的合力．雖然力f′作用在自由電子上，但是由于自由電子不會(huì)越出金屬導(dǎo)體，它所獲得的沖量最終都會(huì)傳遞給金屬的晶格骨架，因而宏觀(guān)上看起來(lái)是金屬導(dǎo)體本身受到這個(gè)力．

由于電子在f作用下有沿著導(dǎo)體ab的速度v′，故f做正功；而導(dǎo)體ab的平移速度v與f′相反，故f′(對(duì)應(yīng)的安培力)做負(fù)功．容易證明[1]，這兩份功的數(shù)值是相等的，所以f與f′所做總功為零．亦即洛倫茲力總的來(lái)說(shuō)并不做功，但是做宏觀(guān)討論時(shí)往往把它分為兩部分f和f′，其中每一部分都做了功，可是兩個(gè)功的代數(shù)和為零．所以，洛倫茲力的作用并不提供能量，而只是傳遞能量，即外力克服洛倫茲力的一個(gè)分量f′所做的功通過(guò)另外一分量f轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的能量．

2.2 如何看待正方形線(xiàn)框在水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中豎直下落時(shí)涉及的物理機(jī)制

如圖4所示，選取導(dǎo)體dc段為研究對(duì)象，線(xiàn)框豎直下落時(shí)，dc段內(nèi)的自由電子受到向左的洛倫茲力f′(對(duì)應(yīng)速度v)的作用向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，由于自由電子向左的運(yùn)動(dòng)，又使得自由電子受到向上的洛倫茲力f(對(duì)應(yīng)速度v′)的作用．

圖4

可是，這又出現(xiàn)了一個(gè)疑問(wèn)，即隨著線(xiàn)框的加速下落，洛倫茲力f′越來(lái)越大，這就要求電場(chǎng)力F電越來(lái)越大，亦即要求電場(chǎng)越來(lái)越強(qiáng)，導(dǎo)體dc兩側(cè)聚集的電荷必須越來(lái)越多才行．但是這些聚集的電荷從哪里來(lái)？反過(guò)來(lái)看，如果導(dǎo)體dc兩側(cè)需要聚集的越來(lái)越多的電荷是由于自由電子移動(dòng)的結(jié)果，那么就必然會(huì)引起電流，整個(gè)線(xiàn)框宏觀(guān)上就要受到向上的安培力，線(xiàn)框就不可能做自由下落，這豈不是與公認(rèn)的電磁感應(yīng)中感應(yīng)電流的通量法則判定所得出的結(jié)果相矛盾嗎？問(wèn)題到底是出在哪兒？或者說(shuō)這其中涉及的物理機(jī)制應(yīng)該如何來(lái)看待？

事實(shí)上，此時(shí)線(xiàn)框的運(yùn)動(dòng)的確不是僅在重力作用下的自由下落，而是上、下兩邊受到了磁場(chǎng)作用的阻尼力(按照阻尼的力學(xué)模型，阻尼是指任何振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)中，由于外界作用或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動(dòng)幅度逐漸下降的特性，以及此特性的量化表征．而由此定義的阻尼力一般是一個(gè)與振動(dòng)速度大小成正比，與振動(dòng)速度方向相反的力)．當(dāng)然，線(xiàn)框雖然受到阻尼力作用，但對(duì)整個(gè)線(xiàn)框而言并不違背電磁感應(yīng)中感應(yīng)電流的通量法則，因?yàn)榫€(xiàn)框內(nèi)并沒(méi)有整體的電動(dòng)勢(shì)．對(duì)此，從動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)Eab=Edc以及二者的連接關(guān)系不難看出，它們互相起到了電勢(shì)補(bǔ)償作用，而這種補(bǔ)償?shù)慕Y(jié)果使得整個(gè)正方形線(xiàn)框回路感應(yīng)電流I=0，電路達(dá)到平衡，所以宏觀(guān)上講在整個(gè)線(xiàn)框中是不會(huì)有感應(yīng)電流出現(xiàn)的．

另外，隨著矩形線(xiàn)框不斷下落，上、下兩邊切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)越來(lái)越大，致使左、右兩條豎直邊ad和bc邊之間的電勢(shì)差越來(lái)越大，原先導(dǎo)體dc兩端建立的庫(kù)侖場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體dc中的自由電子的作用力與洛倫茲力的平衡關(guān)系被打破(對(duì)導(dǎo)體ab兩端，情況相同)，導(dǎo)致自由電荷在上、下水平導(dǎo)體中向左右兩側(cè)聚集，兩條水平導(dǎo)線(xiàn)中有同向向右的電流，這時(shí)的兩條豎直邊可以認(rèn)為像是一個(gè)電容器不斷被充電，但由于電容極小，故充電電流是可忽略的，所以磁場(chǎng)的阻尼力作用通常不考慮．關(guān)于這一點(diǎn)，在此通過(guò)一道試題作出簡(jiǎn)單分析．

如圖5所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab與豎直金屬導(dǎo)軌接觸良好，電容器電容為C，某時(shí)刻金屬棒的速度為v，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．

圖5

金屬棒中的電流為

其中，E為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，U為電容器兩端電壓

U=E=BLv

值得弄清楚的是，因阻尼力作用，線(xiàn)框損失的重力勢(shì)能并未全部轉(zhuǎn)化為線(xiàn)框的動(dòng)能，而是一部分成為充電的能量．

參考文獻(xiàn)

1 趙凱華，陳熙謀編著.新概念物理教程· 電磁學(xué).北京: 高等教育出版社, 2006