樊世偉+薛東彬

摘 要： 本文介紹了線性和非線性控制法則兩種控制律設計方法在小型直升機上的應用，采用雙時域衡量分析方法來分析直升機系統(tǒng)動力學特性。緊子系統(tǒng)和慢子系統(tǒng)分別用于分析直升機轉動和平動動力學特性，緊子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由李亞普諾夫方程保證，同時采用反饋線性化方法穩(wěn)定控制內(nèi)回路。此外，在給出線性控制律缺點的同時給出了改進后的非線性控制律，該控制律可以在無人直升機執(zhí)行大角度、快速度飛行運動科目時更穩(wěn)定可靠的控制直升機。

關鍵詞： 無人直升機控制； 穩(wěn)定性分析； 雙時域衡量分析； 李亞普諾夫穩(wěn)定性； 反饋線性化； 非線性控制

中圖分類號： TN911.7?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）13?0036?03

Control and stability analysis of small?size autonomous helicopters

FAN Shi?wei， XUE Dong?bin

（No. 27 Research Institute， CETC， Zhengzhou 450047， China）

Abstract： The application of design methods of both linear and non?linear control laws in small?size autonomous helicopter is introduced in this paper. A two?time scale decomposition method is used to analyze the dynamics characteristics of the helicopter. The fast subsystem ans slow subsystem are applied to analysis of the rotational and translational dynamics characteristics respectively. The stability of the fast subsystem is ensured by means of a Lyapunov equation. Furthermore， a feedback linearization technique is adopted to stabilize the control inner loop. Moreover， the drawbacks of the linear control law are pointed out and an improved nonlinear control law is proposed. This control law is able to control the helicopter when large variations occur in the orientation angle and position of the helicopter.

Keywords： autonomous helicopter control； stability analysis； two?time?domain scale analysis； Lyapunov stability； feedback linearization； nonlinear control

0 引 言

無人直升機的控制方法設計可以簡要的分為以下兩個方面：基于操作手先驗知識的方法和模擬控制方法[1]。本文以第二種設計方法為主，其中參考先驗知識用于控制律的設計?；谥鄙龣C模型的控制方法在已發(fā)表的文獻中已有很多，比如：基于高階近似模型的線性魯棒控制[2]、基于模糊增益時序安排的線性控制[3]，以及基于非線性模型的預測控制等。在文獻[4]中綜合對比分析了線性控制和非線性控制的方法，值得注意的是在懸停狀態(tài)下，通過對非線性模型的線性化處理進而可以采用諸如LQR和[H∞]多變量控制技術進行控制，另一方面，非線性控制技術適用范圍更為廣泛且能夠包含更大的飛行包線，但是它需求更為精確的模型信息同時對模型更為敏感。

1 直升機模型

本文中所采用的直升機模型為文獻[7]中的模型。在該模型中直升機系統(tǒng)看作一個由力和力矩共同作用的剛體結構。子系統(tǒng)和狀態(tài)及控制變量的連接關系如圖1所示。

圖1 模型中子系統(tǒng)、狀態(tài)變量和控制變量的連接關系圖

在本模型中狀態(tài)變量和輸入信號如下：

[q=PvpΘωbT=xyzvpxvpyvpz?θψωb1ωb2ωb3T] （1）

[u=TmTtabT] （2）

式中：[P]為直升機在慣性空間的位置；[Θ=?θψT]為直升機的歐拉角；力[fb]和力矩[τb]由主旋翼拉力[Tm]和縱、橫向周期變矩角（[a]和[b]）產(chǎn)生。尾槳系統(tǒng)可以看作是一個由尾槳推力[Tt]產(chǎn)生的純粹橫向力和反扭矩系統(tǒng)，機體坐標和慣性坐標系如圖2所示，其變換如下：

圖2 慣性坐標系和機體坐標系

作用在剛體結構飛行器的動力學方程的力[fb]和力矩[τb]從慣性坐標系到機體坐標系的轉換方程如下：

[mI00Ivbωb+ωb×mvbωb×Iωb=fbτb] （3）

式中：[vb]是體坐標系下的速度；[ωb]是體坐標系下的角速度；[m]為質(zhì)量；[I]為單位矩陣，[I]為慣性矩陣，設[R（Θ）]為機體軸相對于慣性軸的轉動矩陣（上角標為[p]）。令則剛體運動方程可以寫為：

[PvpΘωb=vp1mR（Θ）fbΨ（Θ）ωbI-1（τb-ωb×Iωb）] （4）

2 線性控制

上節(jié)所給出的無人直升機數(shù)學模型是一個不穩(wěn)定的非線性多變量模型，該模型具有的獨立控制機構要少于自由度數(shù)。然而，在忽略掉一些耦合因素可以得到一個簡單的線性化模型。主要的輸入輸出關系見表1。

考慮表1中的輸入輸出對應關系可以設計得到如下的線性控制律：

[U=Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3a=k4x+k5dxdt+k6xdt+k′3θ+k′4ωb2b=k7y+k8dydt+k9ydt+k′5?+k′6ωb1] （5）

其中：

[vpx=dxdt；vpy=dydt；vpz=dzdt]

任何一種線性控制算法都可以通過調(diào)整參數(shù)[ki，][i=1，2，…，9]和參數(shù)[k′i，][i=1，2，…，6]得到，本文中筆者是在懸停狀態(tài)下的LQR控制算法完成的控制器設計，該線性控制器只適合在懸停狀態(tài)下直升機的穩(wěn)定控制，但是在大機動飛行時不能保證直升機的穩(wěn)定性。

3 穩(wěn)定性分析及改進線性控制律設計

直升機的穩(wěn)定性分析采用的方法是將直升機動力學模型分解到兩個時間域內(nèi)，一個是關于轉動的，另一個響應相對較慢，是關于平動的。這就使得動力學系統(tǒng)的分析更為簡單，也就是說兩個包含著兩個周期域內(nèi)的分解子系統(tǒng)。因為直升機的自身重量導致了線速度是一個短周期運動可以說明該分解方式是可行的。

3.1 轉動動力學快周期子系統(tǒng)

本子系統(tǒng)由下式給出：

[Θ=Ψ（Θ）ωbωb=I-1（τf+τs-ωb×Iωb）] （6）

這里[τ=τf+τs]（f指快周期，s指慢周期）是控制變量由下式定義：

[τf?K（z）ΘΘ+K（z）ωω，K（z）Θ，K（z）ω<0，?z]

[τs?KXXs] （7）

這樣的話式子（5）可以寫由式子（7）進行改進，可以保證在穩(wěn)定點附近[（?，θ）

[Λ=12（ωb）TIωb-ΔΘKTΘ（Θ）Ψ-1（Θ）dΘ] （8）

這里用[ΔΘ]來替代平衡狀態(tài)[Θ0，]在滿足條件[（?，θ）

[Λ=（ωb）TKω（Θ）ωb<0，?Θ∈0] （9）

從而，可以確保該子系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.2 平動動力學慢子系統(tǒng)

由下式給出表達式：

[P=vpvp=1mR（Θ）fb] （10）

力平衡可以記作如下形式：

[fb=ΔF+F0+R（Θ）Tmg] （11）

式中：[F0=-R（Θ0）Tmg]是平衡力，考慮如下反饋控制律：

[ΔF=R-1（Θ）Kp（z）P] （12）

這里[Kp（z）]是反饋增益，將式（11）和（12）代入可得：

[vp=1mR（Θ）ΔF+（R（Θ）+R（Θ0））mg] （13）

則在平衡點[Θ=Θ0，][ωb=0]處慢周期子系統(tǒng)動力學特性由下式確定：

[vp?1mR（Θ）（R（Θ）-1Kp（z）P）vp?1mKp（z）P] （14）

可以看出控制律（12）相對于一個反饋線性化，如果增益足夠小且增益矩陣[Kp（z）]對于所有的[z]為負值，則在[（?，θ）

4 非線性控制

由上節(jié)的控制策略來看，其只適應于在平衡點附近狀態(tài)變量變化很小的范圍內(nèi)能夠保持穩(wěn)定，如果出現(xiàn)較大的狀態(tài)浮動可能重新改變控制策略，首先在尾槳控制上必須滿足狀態(tài)量從-π到π的變化。線性控制律式（5）是基于表1設計的，其給出了表中控制變量和體坐標系下狀態(tài)變量的匹配關系。在無人直升機引入偏航角計算時球面坐標系[x，][y]和集體坐標系下是不一致的。為解決這一問題，必須將控制效果作用量通過航向角坐標變換到同一坐標系下計算：

[cosψ-sinψsinψcosψk4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt] （15）

此外在[x，][y]和[z]軸方向的位置偏差量在（-∞，+∞）內(nèi)必須能夠保持直升機的全局穩(wěn)定，對于式（5）和式（15），如果[x]或者[y]位置偏差量增加，控制變量[a]和[b]會持續(xù)增大，最終回到這直升機在滾轉通道和俯仰通道不穩(wěn)定，為了解決這一問題，引入非線性方程[μ]來形成如下非線性控制策略：

[Tm=k1z+k2dzdt+k3zdtTt=k′1ψ+k′2ωb3ab=μ（?，θ）cosψ-sinψsinψcosψ?k4+k5dxdt+k6xdtk7+k8dydt+k9ydt+k′3θ+k′4ωb2k′5?+k′6ωb1] （16）

[μ（?，θ）=1，if （?，θ）<δ00，if （?，θ）>δ0] （17）

這時，當狀態(tài)變量[?，θ]足夠小的時候，轉動動力學線性控制律起作用（[μ=1]），然而，當角變化量偏大時，[μ=0]則控制變量[a和b]不受位置偏差影響而去穩(wěn)定姿態(tài)角[?和θ。]在此運算過程中可以通過模糊邏輯來計算[μ]的值，此外，可用線性控制技術來計算式（16）中的[ki]和[k′i，]通過階躍響應輸入進行仿真可得如圖3所示結果。

采用不同的非線性控制技術測試了在非線性控制律下系統(tǒng)的穩(wěn)定特性，控制算法的平衡性和連續(xù)性得到了很好的驗證，通過這些控制方法的證明了其控制效果不存在導致系統(tǒng)發(fā)散極限環(huán)。

圖3 階躍響應輸入條件下系統(tǒng)的響應曲線

5 結 論

線性控制技術可用于直升機懸停狀態(tài)下的穩(wěn)定控制，在考慮到大角度機動飛行時，僅依靠線性控制算法不是能完成對直升機的穩(wěn)定控制的，引入雙子模型對動力學系統(tǒng)進行分解可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由李亞普諾夫方程可以確?？熘芷冢ㄞD動動力學）子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此外在穩(wěn)定點附近可以采用反饋線性化的方法來穩(wěn)定慢周期（平動動力學）子系統(tǒng)。

非線性控制技術值無人直升機的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機動飛行時能夠穩(wěn)定的控制直升機，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機在滾轉角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時直升機失穩(wěn)的可能性，而使得直升機在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵的方法也不會出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

參考文獻

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非線性控制技術值無人直升機的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機動飛行時能夠穩(wěn)定的控制直升機，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機在滾轉角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時直升機失穩(wěn)的可能性，而使得直升機在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵的方法也不會出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

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非線性控制技術值無人直升機的控制上是非常有用的，尤其在出現(xiàn)大角度機動飛行時能夠穩(wěn)定的控制直升機，本文中所介紹的非線性控制算法正是能夠滿足這一控制要求的算法，在該算法中由于引入了偏航角量使得直升機航行和位置控制更為精確。此外該非線性控制算法排除了直升機在滾轉角和俯仰角出現(xiàn)較大偏差時直升機失穩(wěn)的可能性，而使得直升機在非懸停狀態(tài)下也能得到穩(wěn)定的控制。在非線性反饋控制系統(tǒng)中應用諧波穩(wěn)定和連續(xù)激勵的方法也不會出現(xiàn)任何極限環(huán)或發(fā)散情況。

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