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      淺談輔助線在幾何證題中的應(yīng)用

      2014-07-21 01:23:54德力根倉
      關(guān)鍵詞:原圖輔助線直角三角形

      德力根倉

      (赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰024000)

      淺談輔助線在幾何證題中的應(yīng)用

      德力根倉

      (赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰024000)

      在幾何證題中,當(dāng)證明過程受阻時(shí),科學(xué)合理的添加輔助線能使解題思路順利暢通,輔助線能巧妙地連接起已知和未知,成為解題的橋梁,從而使幾何證題中隱蔽的條件明朗化,為順利地證明幾何題創(chuàng)造條件.本文從四個方面闡述了做輔助線的方法,并舉例說明在具體情況下,如何做輔助線.

      輔助線;幾何證題;方法

      1 前言

      在高中數(shù)學(xué)的講解過程中,如何做輔助線,是幾何證題中的一個重要知識點(diǎn).在空間幾何圖形中添加輔助線,不但考驗(yàn)學(xué)生的空間想象能力,也考察了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.做輔助線是一種難度很大的解題技巧,因?yàn)樗鼪]有法則可循,千變?nèi)f化,使初學(xué)者感到特別困難.

      為了幫助學(xué)生學(xué)好幾何,科學(xué)正確的做出輔助線,本文分析了輔助線在幾何證題中的應(yīng)用,以期對開拓學(xué)生的解題思路,提高學(xué)生的分析能力、解決問題的能力以及綜合運(yùn)用知識的能力起到指導(dǎo)作用,同時(shí)力求對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和發(fā)散思維起到積極作用,下面主要從四個方面探討輔助線在幾何證題中的應(yīng)用.

      2 當(dāng)幾何證明題適用“綜合法”時(shí),用綜合法證題,在已知推證結(jié)論思路受阻時(shí),可從圖形的特征入手,巧設(shè)輔助線,利用圖形的性質(zhì)繼續(xù)推證

      例1梯形ABCD中,已知DC∥AB,DC

      求證

      用綜合法分析,題中有條件∠A+∠B=90°.如果能做一條輔助線,使∠A和∠B在同一個三角形中,即可出現(xiàn)直角三角形,并且題中有中點(diǎn),可利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),來證明此題.通過C點(diǎn)做CE∥AD(圖1),交AB與E,則可得∠CEB=90°(∠CEB=∠A,∠A+∠B=90°),再把MN移至直角三角形CBE中,過點(diǎn)C做CF∥MN,交AB于F.

      圖1

      根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,有

      證 在梯形ABCD中,由于AD∥EC,所以

      ∠A+∠B=90°.又因?yàn)椤螦=∠CEB,所以

      ∠CEB+∠B=90°.即△CEB為直角三角形.因?yàn)锽E=AB-DC,所以

      3 當(dāng)幾何證明題適用“分析法”時(shí),用分析法證題,從結(jié)論出發(fā),尋找結(jié)論成立的條件,難以進(jìn)行下去的時(shí)候,可以添加輔助線,使追溯過程順利進(jìn)行下去

      例2設(shè) △ABC中 ∠C=2∠B,a,b,c分 別 為∠A,∠B,∠C所對的邊.

      求證 (a+b)b=c2.

      分析 欲證(a+b)b=c2,只要證即可,為了證明,可以尋找兩個相似的三角形,而它們的對應(yīng)邊,剛巧能成為上面的比例.若一個三角形的兩邊分別為b和c,則另一個三角形與之相對應(yīng)的邊應(yīng)該為c和(a+b).

      在原圖中,不存在兩個三角形,沒有具有(a+b)為邊長的三角形.若不做輔助線,分析就無法進(jìn)行下去,命題就不能獲得證明.在原圖中有一個△ABC,AC=b,AB=c,要得到另一個相應(yīng)的三角形,其一邊若為c,則必須使其另一個邊為(a+b),所以自然地會使我們想到,只要引長AC至D,并使CD=a,則AD=a+b.若再連接BD,則既可得到一個新的△ABD.在△ABD中,AB=c,AD=a+b,若再能證得,△ABC與△ADB相似,分析就可以繼續(xù)進(jìn)行下去了(圖2).,則只要證△ABC與△ADB相似即可.

      圖2

      因?yàn)檫@兩個三角形有一個公共角,即∠A=∠A,因此只要能證得另一對對應(yīng)角相等即可.

      證 由題設(shè)知∠C=2∠B(即∠ACB=2∠ABC).而 ∠ACB=∠D+∠CBD,BC=CD=a.∠D=∠CBD?∠ACB=2∠ABC? ∠ABC=∠D? △ABC與 ?△ADB相似?

      顯然,若要證得

      4 輔助線可以對原幾何圖形進(jìn)行各種變換,把已知圖形的某一部分通過平移、翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)變換出所需圖形,使題設(shè)中的元素與結(jié)論中的元素集中起來,元素一集中,相互之間的關(guān)系就會顯露出來

      例3在四邊形ABCD中,AB=CD,E,F(xiàn)各為BC、AD的中點(diǎn),BA、EF、CD相交而成∠α、∠β(圖 3).

      圖3

      求證 ∠α=∠β.

      證 對題設(shè)進(jìn)行分析,因BA和CD延長以后不一定剛好相交在延長線上的某一點(diǎn),也就是說∠α與∠β不一定是具有共同頂點(diǎn)的兩角.

      顯然,在原圖要直接證明∠α=∠β 是有困難的.

      為此,對部分圖形做平移變換,把∠α與∠β的頂點(diǎn)通過平行移動集中到一個已知點(diǎn)上,與此同時(shí),將AB和CD也平行移動在一起,拼成一個角的兩邊.于是,我們可以做出如下的輔助線.

      過F作FG平行且等于AB,作FH平行且等于CD.連接EG,EH,BG和GC.這時(shí)已經(jīng)把已知的元素和結(jié)論的元素集中在一起了,它們之間的關(guān)系也就顯露出來.為了證明∠A=∠B,只要證明∠1=∠2即可.AB平行且等于FG,所以ABGF是平行四邊形,從而BG平行且等于AF.又因?yàn)镕H平行且等于DC,所以FHCD是平行四邊形,從而HC平行且等于FD.由于AF=FD,所以BG平行且等于HC,因此BGCH為平行四邊形.因?yàn)镋為其一條對角線的中點(diǎn),GEH必為另一條對角線,進(jìn)而得出△FHG為等腰三角形(FG=AB,F(xiàn)H=CD,而AB=CD,∴FG=FH).又因?yàn)镚E=EH(因?yàn)锽GCH為平行四邊形),所以FE為△FGH底邊上之中線?FE也必為其頂角GFH之平分線?∠1=∠2?∠α=∠β.

      5 通過做輔助線改造原圖形或轉(zhuǎn)換原 “求證”,化難為簡,使隱蔽的關(guān)系明朗化

      例4設(shè)△ABC的兩條高線是BD和CE,其外接圓圓心為O.

      求證OA⊥ED.

      分析 欲證OA⊥ED,在原圖上似乎很難著手,它們的交點(diǎn)并不是什么特殊點(diǎn),于是想到做輔助線.在OA和ED中,其中OA為O圓的半徑.因?yàn)榘霃蕉它c(diǎn)的切線必與半徑垂直,于是想到過A點(diǎn)作圓O的切線AF.

      欲證OA⊥ED,只要證明AF⊥ED即可.

      從而把題設(shè)中要證明的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明平行的關(guān)系了(在轉(zhuǎn)化中運(yùn)用了已知元素間的關(guān)系和特點(diǎn)),并且這個平行關(guān)系的證明有AE可以做媒介,再轉(zhuǎn)化為證角的關(guān)系,只要證∠FAE=∠AED即可,于是可以得到證明的方法.

      圖4

      證 題設(shè)中BD、CE均為△ABC的高(圖4).因此∠BED=∠BDC=90°.若以BC為直徑作圓,則D、E必在此輔助圓上即B、C、D、E四點(diǎn)共圓,所以∠AED=∠BCA.而AF是過A點(diǎn)的O圓切線?∠FAE=∠BCA?∠FAE=AED?AF∥ED.但OA⊥AF,所以O(shè)A⊥ED.

      6在做輔助線的時(shí)候常常會出現(xiàn)下列錯誤,在做題時(shí)要注意,尤其是初學(xué)者更應(yīng)該重視

      1.沒有目的亂做輔助線,不但不會對解題起到幫助,反而會造成圖形混亂,影響思考.

      2.做輔助線時(shí),如果不按照基本作圖法進(jìn)行作圖,往往會導(dǎo)致邏輯上的錯誤.下面舉一個高考題說明.

      例5 AB是半圓的直徑,C是半圓上的一個點(diǎn),直線MN切半圓與C點(diǎn),AM⊥MN與M點(diǎn),BN⊥MN與N點(diǎn),CD⊥AB與D點(diǎn)(圖5).

      求證(1)CD=CM=CN;(2)CD2=AM·BN.

      圖5

      有些學(xué)生在做題時(shí)錯誤的寫到:“做∠A的平分線AC”.這就違反了作圖的基本方法.做∠A的平分線,就不能保證它一定通過C點(diǎn),除非予以證明.在沒有依據(jù)的前提下不要亂做輔助線,否則不但對解題沒有幫助,反而會造成圖形混亂.

      做輔助線的方法因題而異,千變?nèi)f化,沒有一定的法則可以遵循.這個困難在反復(fù)練習(xí)、仔細(xì)分析、研究探索后才能逐步解決,只有通過不斷做題、總結(jié)、積累才能使學(xué)生做好輔助線,提高解題的能力.

      〔1〕李淑華.承德民族師專學(xué)報(bào)[J].2009,29(2).

      〔2〕王長明.怎樣添加平面幾何輔助線[J].中國致公出版社,2003.

      〔3〕嚴(yán)濟(jì)慈.幾何證題法[M].北京:高等教育出版社, 1983.

      〔4〕袁曉東.淺談幾何輔助線[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1984.

      O123;G633

      A

      1673-260X(2014)06-0264-03

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