孟慶棟，張堅(jiān)，張海龍，徐克西，張鋼

(上海大學(xué) a.機(jī)電工程及自動(dòng)化學(xué)院;b.理學(xué)院，上海 200444)

高溫超導(dǎo)體被放置于液氮中，達(dá)到一定的臨界溫度后，呈現(xiàn)零電阻特性和邁斯納態(tài)。由于超導(dǎo)體在變化磁場(chǎng)中產(chǎn)生感應(yīng)臨界電流和對(duì)磁通線的釘扎性，使得位于超導(dǎo)體上方的永磁體實(shí)現(xiàn)自穩(wěn)定懸浮。正是該特性使其在工業(yè)中得到很好的應(yīng)用，如超導(dǎo)磁懸浮軸承[1]、飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)[2]和磁懸浮導(dǎo)軌[3]。

常見(jiàn)的超導(dǎo)磁懸浮軸承一般分為2種：一種是將永磁體(PM)放置于高溫超導(dǎo)體(HTS)上方，此種軸承主要承受軸向力，稱為軸向超導(dǎo)磁懸浮軸承；另一種則是將永磁體和高溫超導(dǎo)體分別制成環(huán)式，組合成徑向超導(dǎo)磁軸承，其中轉(zhuǎn)子采用軸向充磁的永磁環(huán)疊加，此種軸承不但能承受較大的徑向力，還可以承受較大的軸向力。目前對(duì)徑向超導(dǎo)磁懸浮軸承的研究主要集中在試驗(yàn)測(cè)試上[4]，理論研究較少。文獻(xiàn)[5]利用電流矢勢(shì)法和Helmholtz理論對(duì)徑向超導(dǎo)磁懸浮軸承進(jìn)行了理論計(jì)算與分析，雖然該方法可以精確分析軸承的靜動(dòng)性能及參數(shù)的影響，但是計(jì)算量太大，耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，且一旦參數(shù)設(shè)置不當(dāng)就會(huì)引起計(jì)算的不收斂；文獻(xiàn)[6]提出了磁通凍結(jié)鏡像模型，其能夠簡(jiǎn)便分析徑向超導(dǎo)磁軸承的性能，但是該模型沒(méi)有考慮磁滯效應(yīng)；文獻(xiàn)[7]提出的磁通凍結(jié)鏡像模型(簡(jiǎn)稱楊氏模型)只針對(duì)軸向超導(dǎo)磁懸浮，忽略了有傾角的情況。文中提出的改進(jìn)磁通凍結(jié)鏡像模型，既考慮了有傾角的情況，也引入了磁滯效應(yīng)，因此利用該模型對(duì)超導(dǎo)磁懸浮分析更貼合實(shí)際。

1 模型及懸浮力計(jì)算

1.1 磁通凍結(jié)鏡像模型

模型如圖1所示，高溫超導(dǎo)體表面相當(dāng)于yOz平面。α為磁偶極子1與x軸正向的夾角，即永磁環(huán)充磁方向與超導(dǎo)體垂直面的夾角。磁極距為m1的磁偶極子1產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布與永磁環(huán)一致，方向?yàn)橛来怒h(huán)的充磁方向。在軸承轉(zhuǎn)子處于初始冷卻位置時(shí)磁偶極子1坐標(biāo)值為 (l, 0, 0)。磁極矩為m2的抗磁鏡像磁偶極子2相當(dāng)于高溫超導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的屏蔽電流，它跟隨永磁環(huán)即磁偶極子1移動(dòng)，因此1和2關(guān)于yOz面對(duì)稱。磁偶極子3為軸承轉(zhuǎn)子即永磁體處于初始冷卻位置時(shí)產(chǎn)生的磁通凍結(jié)鏡像模型，其坐標(biāo)值(-l, 0, 0)固定不變。初始冷卻高度不同，磁偶極子3的取值不同。當(dāng)初始冷卻高度遠(yuǎn)大于超導(dǎo)體和永磁體的尺寸時(shí)，相當(dāng)于零場(chǎng)冷，m3=0；當(dāng)初始冷卻高度比較小時(shí)，相當(dāng)于場(chǎng)冷，m3>0，所以，磁通凍結(jié)鏡像模型對(duì)場(chǎng)冷和零場(chǎng)冷情況均適用。磁偶極子4與永磁環(huán)的徑向移動(dòng)有關(guān)，是俘獲磁通在超導(dǎo)體外部形成的磁場(chǎng)簡(jiǎn)化的移動(dòng)鏡像磁偶極子，其磁極距m4隨著磁偶極子1的徑向移動(dòng)而變化，而坐標(biāo)值(-x0, 0, 0)固定不變。磁偶極子5也是俘獲磁通在超導(dǎo)體外部形成的磁場(chǎng)的簡(jiǎn)化，它與永磁環(huán)的軸向移動(dòng)有關(guān)，其磁極距m5隨著磁偶極子1的軸向移動(dòng)而變化，坐標(biāo)值(-x0, 0, 0)也固定不變。磁偶極子4和5均與移動(dòng)歷史有關(guān)，所以能反映出超導(dǎo)磁懸浮的磁滯特性。

圖1 磁通凍結(jié)鏡像模型

兩偶極子之間的作用力為

F=(m·)B，

(1)

式中：m為偶極子的磁矢量；為微分算子；B為另外一個(gè)偶極子在此處的磁場(chǎng)強(qiáng)度。

磁偶極子產(chǎn)生的任意點(diǎn)處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為[8]

(2)

對(duì)于徑向超導(dǎo)磁軸承，永磁環(huán)采用軸向充磁，設(shè)定z軸為軸線方向，則在利用磁通凍結(jié)鏡像模型計(jì)算徑向磁軸承時(shí)，傾角α=π/2。磁偶極子1受到的x，z方向的力分別為[9]

(3)

(4)

式中：A=3μ0/(4π)；x，z分別為磁偶極子1在x，z方向的偏移量。

1.2 徑向磁懸浮軸承懸浮力的計(jì)算

采用韓國(guó)電力能源研究院研發(fā)的由8塊超導(dǎo)塊組成的軸承定子徑向超導(dǎo)磁懸浮軸承進(jìn)行分析[4]，其結(jié)構(gòu)和受力如圖2所示。

圖2 徑向高溫超導(dǎo)磁懸浮軸承

徑向磁懸浮軸承的徑向力為各超導(dǎo)塊受力之和，即

(5)

由于軸承的對(duì)稱性，只分析x方向的力Fx，假設(shè)永磁轉(zhuǎn)子在x方向上徑向移動(dòng)，則

Fx=FAx+FBx+FCx+FDx+FEx+FFx+

FGx+FHx，

(6)

式中：FAx，F(xiàn)Ex為0。由(3)、(5)～(6)式可得第1次移動(dòng)時(shí)

(7)

式中：θ為超導(dǎo)塊與x方向的夾角；B=A(1+4θ/π);m4+，m4-分別為永磁轉(zhuǎn)子與超導(dǎo)塊之間相對(duì)距離增大和減小時(shí)磁偶極子4的磁極矩。

x方向剛度為

(8)

軸承的軸向力也為各個(gè)超導(dǎo)塊受力之和，即

Fz=FAz+FBz+FCz+FDz+FEz+FFz+

FGz+FHz。

(9)

當(dāng)永磁轉(zhuǎn)子處在軸對(duì)稱位置沿軸向移動(dòng)時(shí)

(10)

z方向剛度為

(11)

2 數(shù)據(jù)分析

為了便于計(jì)算，設(shè)各個(gè)磁偶極子磁矩m1=m2=m3=0.05 A·m2，即僅針對(duì)場(chǎng)冷的情況進(jìn)行分析，并且在對(duì)磁偶極子4，5進(jìn)行定義時(shí)參考了文獻(xiàn)[10]中的方法。

當(dāng)永磁轉(zhuǎn)子第1次沿徑向(x軸)移動(dòng)時(shí)，永磁環(huán)與超導(dǎo)塊B，C，D的間隙相對(duì)減小，相當(dāng)于磁通凍結(jié)鏡像模型中磁偶極子1沿x軸負(fù)方向移動(dòng)；與超導(dǎo)塊F，G，H的間隙相對(duì)增大，相當(dāng)于磁通凍結(jié)鏡像模型中磁偶極子1沿x軸正向移動(dòng)；與E，F(xiàn)在徑向方向上沒(méi)有相對(duì)位移，只有側(cè)向移動(dòng)，m4為0。磁偶極子4的磁極距為

m41-=-a11x0.9，

(12)

m41+=a12x0.9。

(13)

永磁轉(zhuǎn)子沿軸向或徑向移動(dòng)到一定距離后沿反方向移動(dòng)的過(guò)程中，磁偶極子4的磁極距為

(14)

(15)

式中：a11，a12為比例常數(shù)，a11=0.5 A·m，a12=2 A·m[7,10]；xmax為徑向移動(dòng)的最大距離；角標(biāo)中+，-分別表示徑向相對(duì)間隙增大和減小。

當(dāng)永磁轉(zhuǎn)子第1次沿軸向(z軸)方向移動(dòng)時(shí)，磁偶極子5的磁極距為

m51=b11z0.9。

(16)

當(dāng)永磁轉(zhuǎn)子第1次沿z軸移動(dòng)到一定距離后反向移動(dòng)時(shí)，磁偶極子5的磁極距為

(17)

式中：b11為比例常數(shù)，b11=0.1 A·m；zmax為軸向移動(dòng)最大距離。

2.1 徑向力和徑向剛度的變化

通過(guò)第1次徑向移動(dòng)得出軸向位移、徑向偏移和初始徑向間隙對(duì)軸承徑向力的影響，分別如圖3和圖4所示。由圖可知，隨著徑向偏移的增大，徑向力不斷增大，但是當(dāng)轉(zhuǎn)子徑向偏移一定距離后徑向力會(huì)呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，甚至在一定的軸向位移下會(huì)產(chǎn)生相反的力。隨著軸向位移和初始徑向間隙的增大，徑向力不斷減小。

圖3 x，z方向位移對(duì)徑向力的影響

圖4 初始徑向間隙和徑向偏移對(duì)徑向力的影響

徑向偏移對(duì)徑向剛度的影響如圖5所示。由圖可知，隨著徑向偏移的增大，徑向剛度雖然在較小偏移處有所減小，但是整體呈現(xiàn)增大的趨勢(shì)，且在計(jì)算范圍內(nèi)剛度始終為正值，說(shuō)明轉(zhuǎn)子在徑向上可以穩(wěn)定懸浮。

圖5 徑向偏移對(duì)徑向剛度的影響

2.2 軸向力和軸向剛度的變化

通過(guò)第1次軸向移動(dòng)得出軸向移動(dòng)距離、徑向偏移和初始徑向間隙對(duì)軸承軸向力的影響，分別如圖6和圖7所示，圖中箭頭沿x軸正向表示永磁轉(zhuǎn)子相對(duì)于初始位置的位移量增大，反向表示位移量減小。由圖6可知，在一定范圍內(nèi)的軸向移動(dòng)中，軸向位移越大，永磁轉(zhuǎn)子受到的軸向力越大。當(dāng)軸向位移一定時(shí)，若永磁轉(zhuǎn)子發(fā)生徑向偏移，軸向力會(huì)變化，但是軸向力與徑向偏移之間不成恒定的正比關(guān)系。由圖7可知，永磁轉(zhuǎn)子受到的軸向力隨著初始徑向間隙的增大而減小。

圖6 不同徑向偏移對(duì)軸向力的影響

圖7 不同初始徑向間隙對(duì)軸向力的影響

軸向位移對(duì)軸向剛度的影響如圖8所示。由圖可知，隨著軸向位移的增大，軸承的軸向剛度呈減小的趨勢(shì)。這是由于軸向位移增大時(shí)，永磁環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)對(duì)超導(dǎo)體的影響變小，超導(dǎo)體處的磁場(chǎng)變化減弱，但是在計(jì)算范圍內(nèi)剛度值一直為正，說(shuō)明轉(zhuǎn)子在軸向上也可以穩(wěn)定懸浮。

圖8 軸向位移對(duì)軸向剛度的影響

2.3 磁滯特性

位移和間隙對(duì)徑向力的影響如圖9所示。由圖6、圖7和圖9可知，永磁轉(zhuǎn)子在往返運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，同一徑向偏移處受到的徑向力或同一軸向位移處受到的軸向力是不同的，第1次移動(dòng)經(jīng)過(guò)此處時(shí)的力會(huì)比下一次經(jīng)過(guò)此處時(shí)的力大，這是磁滯效應(yīng)造成的。高溫超導(dǎo)體具有捕獲磁通的作用，在永磁體移動(dòng)過(guò)程中，會(huì)有部分磁通脫離原來(lái)被超導(dǎo)體捕獲的位置，此時(shí)會(huì)消耗一定的能量，因此永磁體往返移動(dòng)過(guò)程中受到的力會(huì)不斷減小，即出現(xiàn)磁滯效應(yīng)。

圖9 位移和間隙對(duì)徑向力的影響

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)楊氏模型和Hull John R模型進(jìn)行改進(jìn)，使其既適用于徑向超導(dǎo)磁懸浮又適用于軸向超導(dǎo)磁懸浮，文中僅針對(duì)徑向超導(dǎo)磁懸浮傾角α=π/2的情況進(jìn)行了分析。利用改進(jìn)的磁通凍結(jié)鏡像模型計(jì)算了超導(dǎo)磁懸浮軸承的靜態(tài)磁懸浮力及其剛度，并分析了偏移和間隙參數(shù)對(duì)懸浮力和剛度的影響。可以得出如下結(jié)論：初始徑向間隙越小，軸承受力越大，這是因?yàn)殚g隙越小，超導(dǎo)體處的磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，并且軸承的懸浮力也與徑向偏移和軸向位移有關(guān)；在一定范圍內(nèi)的位移下，軸承軸向剛度和徑向剛度均為正值，證明永磁轉(zhuǎn)子在徑向和軸向均可以實(shí)現(xiàn)自穩(wěn)定懸浮，但是剛度不恒定，其值隨著偏移量增大而變化；通過(guò)該模型可以確定磁滯特性會(huì)影響軸承的受力，使其呈衰減趨勢(shì)。

此種方法雖然簡(jiǎn)單，但是只能對(duì)超導(dǎo)軸承進(jìn)行定性分析，這是因?yàn)榇磐▋鼋Y(jié)鏡像模型不僅忽略了尺寸的影響，將超導(dǎo)體假設(shè)為無(wú)限長(zhǎng)，并且對(duì)磁偶極子4和5的定義并不精確。文中均是針對(duì)單永磁環(huán)轉(zhuǎn)子進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于永磁環(huán)疊加組成的轉(zhuǎn)子，徑向力計(jì)算只需在單個(gè)的基礎(chǔ)上疊加即可，而軸向力的計(jì)算只能在較小的軸向位移范圍內(nèi)疊加，對(duì)于位移較大的軸向力計(jì)算，該方法不適用。