在黎曼流形上滿(mǎn)足Schur定理的一個(gè)半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)

許達(dá)允，全哲勇，金光植

(1.金日成綜合大學(xué) 數(shù)學(xué)系，朝鮮民主主義人民共和國(guó) 平壤；2.延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002)

A.Fridman等在文獻(xiàn)[1]中首次提出了半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)的概念，其后H.A.Hayden[2]和K.Yano[3]分別提出和研究了黎曼流形上半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)概念和性質(zhì).隨著對(duì)半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)研究的不斷深入，N.S.Agache等又提出了多種類(lèi)型的半對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)[4]，在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5-8]分別討論了射影等效Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的半對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)性、射影共形聯(lián)絡(luò)等內(nèi)容.隨后，文獻(xiàn)[9]給出了度量聯(lián)絡(luò)和非度量聯(lián)絡(luò)的常曲率條件，文獻(xiàn)[10-11]在提出半對(duì)稱(chēng)非度量聯(lián)絡(luò)的物理模型的基礎(chǔ)上，討論了半對(duì)稱(chēng)非度量聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)應(yīng)用于古典重力場(chǎng)和電磁場(chǎng)的統(tǒng)一理論.基于以上研究，本文首先定義了黎曼流體上的一個(gè)半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)，且指出這種聯(lián)絡(luò)在特殊情形下可成為幾個(gè)聯(lián)絡(luò)，即：半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò)、半對(duì)稱(chēng)共形聯(lián)絡(luò)、對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)、射影聯(lián)絡(luò)、共形聯(lián)絡(luò)以及Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，并給出了半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的常曲率條件和此聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)常曲率條件.

1 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)

(1)

定義3聯(lián)絡(luò)稱(chēng)為半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)，如果在黎曼流體(M,g)里聯(lián)絡(luò)是射影等效于半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)和共形等效.

如果σi=0，則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò); 如果ψi=0，則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是半對(duì)稱(chēng)射影聯(lián)絡(luò); 如果φi=0，則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò).對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)滿(mǎn)足,, 該聯(lián)絡(luò)系數(shù)為σk.

注1如果σk=ψk=0，則; 如果σk=φk=0，則半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)是射影聯(lián)絡(luò);如果ψk=φk=0，則是共形聯(lián)絡(luò)(與Levi-Civita聯(lián)絡(luò)共形等效);如果φi=σi=ψi=0，則

(2)

(3)

其中φi j=iφj-jφi.

2 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的常曲率條件

如果在黎曼流體的任何點(diǎn)P上的截面曲率與二維子空間的選擇無(wú)關(guān)，則曲率張量可表示為Ri j kl=K(P)(gilgjk-gikgjl)，如果k是常數(shù)，則聯(lián)絡(luò)有常曲率.

定理1在連接的黎曼流體(M,g)(dimM≥3)里半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)有常曲率的必要且充分條件是

2σh-ψh-φh=0.

(4)

證明如果黎曼流體(M,g)里半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的截面曲率與二維子空間的選擇無(wú)關(guān)，則曲率張量為，把該式代入到(3)式中得

(5)

通過(guò)對(duì)指標(biāo)i,l實(shí)施化簡(jiǎn)得(n-1)(n-2)[hK+2K(2σh-ψh-φh)]=0.這表明，在M≥3的情況下，K為常數(shù)的必要且充分的條件是(4)式成立.

由定理1可給出在連接的黎曼流形(M,g)(dimM≥3)中滿(mǎn)足Schur定理的半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的5個(gè)類(lèi)型：

1)σi=0 (,ψh=-φh)時(shí)，

或

4)ψ=σ=π時(shí)，

或

(6)

注2從(4)式可知：如果ψh=σh=0，則φh=0；如果σh=φh=0，則ψh=0；如果φh=ψh=0，則σh=0.但如果σh=ψh=φh=0，則，這時(shí)Schur定理成立.

所以在σh=ψh=0，φh≠0的半對(duì)稱(chēng)度量聯(lián)絡(luò)或在σh=φh=0,ψh≠0的射影對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)的情形下Schur定理不成立，而且在φh=ψh=0,σh≠0的共形對(duì)稱(chēng)聯(lián)絡(luò)的情形下Schur定理仍然不成立.

3 半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)

(7)

(8)

定理2在連接的黎曼流體(M,g)(dimM≥3)中，半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的相互聯(lián)絡(luò)有常曲率的必要且充分條件是

ψh+2φh-2σh=0.

(9)

通過(guò)對(duì)指標(biāo)i,l實(shí)施化簡(jiǎn)得(n-1)(n-2)[hK-2K(ψh-2σh+2φh)]=0.這表明，在dimM≥3，K為常數(shù)的情形下，k是常數(shù)的必要且充分的條件為(9)式成立.

由定理2可給出在連接的黎曼流形(M,g)(dimM≥3)上滿(mǎn)足Schur定理的半對(duì)稱(chēng)射影共形聯(lián)絡(luò)的如下4個(gè)特殊類(lèi)型：

(10)

(11)

4)ψh=2σh-2φh時(shí)，

參考文獻(xiàn)：

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