劉繼承 董青松 張 琳

(東北石油大學電氣信息工程學院，黑龍江 大慶 163318)

近年來隨著電力系統(tǒng)飛速發(fā)展，系統(tǒng)中的諧波對電力系統(tǒng)環(huán)境造成的破壞也越來越嚴重，不但影響了整個電力系統(tǒng)的電氣環(huán)境，而且對系統(tǒng)本身和廣大用戶也造成了不小影響，所以對諧波的治理具有明顯的社會和經(jīng)濟效益[1～3]。傳統(tǒng)的諧波檢測方法有快速傅里葉變換(FFT)和短時傅里葉變換(STFT)，F(xiàn)FT算法能精確地檢測整數(shù)次諧波，但不能檢測非整數(shù)次諧波，而且伴有頻譜泄漏和柵欄現(xiàn)象；STFT算法通過窗函數(shù)有效降低了頻譜泄漏次數(shù)，但是由于窗函數(shù)的不變性，無法自適應調(diào)整，分辨率很低。

為了克服FFT和STFT的局限性，引入了小波變換。Mallat S將塔式算法思想應用到小波分析中，使小波變換有了突破性的發(fā)展。在正交小波基構造的基礎上，將信號分解為不同頻道，再將分解后的信號進行重構，由此提出了快速算法——Mallat算法[4，5]。但是在Mallat算法中產(chǎn)生的頻率混疊現(xiàn)象對諧波檢測的精度有很大的影響，筆者采用一種改進的單子帶重構快速算法，降低了小波分解與重構過程中產(chǎn)生的頻率混疊。

1 多分辨分析與小波Mallat 算法①

多分辨分析理論的提出為小波正交基構造提供了一種簡便的方法，也為正交基小波快速算法奠定了理論基礎。多分辨分析是指空間L2(R)內(nèi)一系列子空間序列{Vj}j∈Z稱為L2(R)的一個多分辨分析，并滿足如下條件[6]:

a. 單調(diào)性，…?Vj-1?Vj?Vj+1?…，?j∈Z；

c. 平移不變性，f(x)∈V0?f(x-k)∈V0,?k∈Z；

d. 伸縮性，f(x)∈Vj?f(2x)∈Vj+1,?j∈Z；

e. Riesz基存在性，存在g∈V0，使得{g(x-k)|k∈Z}構成V0的Riesz基。

設Wj是Vj和Vj+1內(nèi)的正交補空間，則滿足關系式：Vj+1=Vj⊕Wj，(j∈Z)，其中⊕表示子空間之和。由此多分辨分析的子空間Vj可以用有限個子空間來逼近，即有：

Vj=Wj-1⊕Vj-1=Wj-1⊕Vj-1⊕Vj-2=…

=Wj-1⊕Wj-2⊕…W0⊕V0

(1)

若令fi∈Vj表示分辨率為2j的函數(shù)逼近，dj∈Wj表示逼近的誤差，則式(1)等價為：

fj=fj-1+dj-1=fj-2+dj-2+dj-1=…=f0+d0+d1+

…+dj-2+dj-1

(2)

設f=fj，則式(2)可表示為：

(3)

由式(3)可知，在空間L2(R)中函數(shù)f可以根據(jù)分辨率20時f的低頻部分和分辨率2i(i∈[0，j-1])時的f高頻部分完全重構，這就是著名的Mallat塔式重構算法的思想。設Ajf為f∈L2(R)在分辨率2j下的近似，則Ajf可以進一步分解為f在分辨率2j-1下的近似Aj-1f(由低通濾波器H得到)，與位于分辨率2j-1與2j之間的細節(jié)Dj-1f(通過高通濾波器G得到)之和，Mallat塔式重構算法分解過程如圖1所示。

圖1 Mallat塔式重構算法分解過程示意圖

重構過程是分解過程的逆過程，重構過程如圖2所示。

圖2 Mallat塔式重構算法重構示意圖

Mallat算法是由分解濾波器H、G和重構濾波器h、g構成。H、h為低通濾波器，與尺度函數(shù)相對應；G、g是帶通濾波器，與小波函數(shù)相對應。Mallat算法即是將信號的頻帶二進劃分成一系列子帶的過程，各子帶的頻帶范圍與信號的采樣頻率有關。Mallat分解算法所得到的只是小波系數(shù)，將所得到的小波系數(shù)再重構出原始信號。由于濾波器的非理想截止特性，而且在各尺度的高頻子帶隔點采樣時不滿足采樣定理，在小波系數(shù)作傅里葉變換后的頻譜中，會有一些多余的頻率分量。在實際操作中，理想的濾波器是不存在的，在運用Mallat算法時，在分解過程中會用到隔點采樣，在重構過程中，會用到隔點插零，如果是理想濾波器的情況下，兩次的頻率折疊恰巧能夠相互抵消，但在處理一些龐大的復雜信號時，這種缺陷就不可忽視，將會嚴重影響重構后信號的效果，這樣對諧波檢測分析有很大的影響。

2 單子帶重構算法

單子帶重構算法可以改善Mallat算法中的頻率混疊問題。單子帶重構算法的分解過程和Mallat算法中的分解部分是一樣的，即得到各尺度上的小波系數(shù)；在重構過程中單子帶重構算法將得到的小波系數(shù)分別重構至與原信號相同尺度。

運用單子帶重構算法分析一個實例，并對實例進行仿真測試。設實例信號s為：

s(t)=sin(40πt)+sin(80πt)+sin(120πt)+

sin(160πt)+sin(200πt)+e-6tsin(240πt)

(4)

如圖3所示為實例信號波形，圖4所示為其頻譜。以400Hz作為采樣頻率取實例信號2 048個點，選用sym5小波，對實例信號進行三層尺度分解并重構，結果如圖5所示(a表示低頻，d表示高頻)。

圖4 實例信號的頻譜

圖5 單子帶重構算法對實例信號s的小波分析

從圖4中可以看出，實例信號由20、40、60、80、100Hz和瞬時頻率120Hz組成。理論上對實例信號進行小波變換的結果見表1。

表1 實例信號s小波變換理論結果 Hz

從圖5中可以看出，在對實例信號第一層分解中低頻部分a1含有20、40、60、80、100Hz頻率成分，分解效果較好，但在高頻部分d1中含有80、120Hz頻率成分，多出了80Hz的頻率成分；在第二層低頻部分a2中含有20、40、60Hz的頻率成分，在高頻部分d2中含有40、60、80、100、120Hz的頻率成分，多出了40Hz、60Hz的頻率成分；在第三層低頻部分a3中含有20Hz頻率成分，高頻部分d3中也含有20Hz頻率成分。從以上的分析可以看出單子帶重構算法在處理信號分頻時產(chǎn)生了嚴重的頻率混疊現(xiàn)象。

單子帶重構算法總體上看相當于濾波，它是將信號分解到一系列二進制劃分的頻帶上的過程[7]。在分解與重構中，隔點采樣中的頻率混疊在隔點插零中得到糾正。得到的子信號與原信號有相同的采樣頻率。單子帶重構算法相對于Mallat算法在對諧波信號處理中對信號的重構效果有很大的提高，由于小波濾波器的非理想截止性使得頻率混疊現(xiàn)象不能避免。因此，單子帶重構算法還需要進一步的改進。

3 改進的單子帶重構快速算法

在單子帶重構算法中產(chǎn)生頻率混疊的原因是小波濾波器的非理想截止性和在各尺度高頻子帶隔點采樣不滿足抽樣定理。設想如果去掉多余的頻率成分，在重構算法中就可以避免頻率混疊。由此引入一種方法，利用快速傅里葉變換和快速傅里葉逆變換去掉各子帶上多余的頻率部分，稱這個方法為改進的單子帶重構快速算法。算法如圖6所示。

圖6 改進的單子帶重構快速算法

(5)

(6)

(7)

4 改進的單子帶重構快速算法的實例驗證

仍然采用式(4)所示的實例，并對其運用單子帶重構快速算法處理，并進行仿真測試，進而驗證改進的單子帶重構快速算法在消除頻率混疊時的效果。以400Hz作為采樣頻率取實例信號2 048個點，選取N為4時的Daubechies小波，對實例信號運用改進的單子帶重構快速算法處理后的頻譜如圖7所示。

在圖7中，對實例信號的第一階尺度重構信號中，低頻部分a1中含有20、40、60、80、100Hz的頻率成分，在高頻部分d1中含有100Hz和120Hz的頻率成分；在第二階尺度重構信號中，低頻部分a2中含有20、40Hz的頻率成分，在高頻部分d2中含有60Hz和80Hz的頻率成分；在第三階尺度重構信號中，低頻部分a3中幾乎就是20Hz的正弦信號，高頻部分也只是40Hz的正弦信號。對實例信號的三階重構頻譜圖的分析結果與表1的理論值幾乎相吻合，由此可以證明改進的單子帶重構快速算法去除了單子帶重構算法中的頻率混疊現(xiàn)象。

圖7 改進的單子帶重構快速算法的小波分析

5 運用單子帶重構快速算法對諧波信號的處理

筆者取一段具有一定周期性的諧波信號，取采樣頻率為2 000Hz。圖8所示為諧波信號的時間波形及其頻譜圖。

圖8 諧波信號的時間波形及其頻譜

選取具有緊支集的正交小波Daubechies5對原始信號進行三層小波分解[8]。首先用單子帶重構算法對諧波信號進行處理(圖9)，然后用改進的單子帶重構快速算法對其進行處理(圖10)。

圖9 單子帶重構算法處理的諧波信號

圖10 改進的單子帶重構算法處理的諧波信號

圖9、10是對諧波信號三階分解后的高頻部分，其中圖9是用單子帶重構算法處理的，從圖9中可以看出周期性的諧波信號仍存在頻率混疊現(xiàn)象，在d1、d2中可以明顯地看出有沖擊頻率成分。圖10為運用了改進的單子帶重構算法的高頻部分，圖中d1、d2已經(jīng)基本上可以看出周期性的諧波信號，沖擊頻率成分也有很大的改善。由此可以看出改進的單子帶重構快速算法已經(jīng)有效地消除了處理諧波信號中頻率混疊的現(xiàn)象，該算法可以高效并精準地重構出諧波信號，達到檢測諧波信號的目的，為消減電力系統(tǒng)中的諧波信號提供了有利條件。

6 結束語

筆者通過改進的單子帶重構快速算法，有效地消除了信號分解與重構過程中的頻率混疊現(xiàn)象。將改進的單子帶重構快速算法應用于對電力系統(tǒng)的諧波檢測中，不但有效地抑制了分解和重構過程中頻率混疊的問題，而且減小了在重構過程中產(chǎn)生的誤差，處理后的結果可以分辨出諧波信號。該方法在對電力系統(tǒng)中的諧波檢測上將會有很廣闊的應用。