趙振宇， 周劉兵

(深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 廣東 深圳 518172)

基于鍵合圖的模態(tài)分析與應(yīng)用研究*

趙振宇， 周劉兵

(深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 廣東 深圳 518172)

傳統(tǒng)的模態(tài)分析方法采用牛頓定律建立運(yùn)動(dòng)方程，分析質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]，求解系統(tǒng)的固有頻率和振型的過(guò)程十分復(fù)雜、繁瑣。將鍵合圖理論與方法運(yùn)用于系統(tǒng)的模態(tài)分析，通過(guò)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可以得到系統(tǒng)的模態(tài)。該方法能簡(jiǎn)便、正確計(jì)算系統(tǒng)的模態(tài)，獲得完整的數(shù)據(jù)。文中提供的算例進(jìn)一步證明了該方法的正確性和有效性。

鍵合圖;模態(tài);振型

0 引 言

在機(jī)械振動(dòng)中，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程式通常采用兩種方法建立[1]:①用動(dòng)力學(xué)的基本定律或定理直接對(duì)系統(tǒng)中的物體建立各自的運(yùn)動(dòng)方程式，綜合這些運(yùn)動(dòng)方程式就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程式；②分析力學(xué)的方法，該方法主要用于一些多自由度的系統(tǒng)，合理地選取系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，得到動(dòng)能和勢(shì)能用廣義坐標(biāo)表示的表達(dá)式，再利用計(jì)算虛功的方法求得廣義力，得到運(yùn)動(dòng)微分方程式。與動(dòng)力學(xué)方法相比，該方法采用了拉格朗日方程，建立的運(yùn)動(dòng)方程式較規(guī)格化[2]。

鍵合圖理論與其它動(dòng)力學(xué)方法相比, 有以下顯著特點(diǎn)[3]:①用統(tǒng)一的方式處理多能域并存的系統(tǒng)；②以簡(jiǎn)明的圖形方式直觀地揭示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征，將研究多種能量范疇系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性方法統(tǒng)一起來(lái)，并在鍵合圖模型中充分反映系統(tǒng)內(nèi)部的信息流向、功率流向和元件間的負(fù)載效應(yīng)；③鍵合圖用狀態(tài)方程作為系統(tǒng)的模型，從鍵合圖形成到狀態(tài)方程的列出一般按一定程序進(jìn)行，因此十分便于完全計(jì)算機(jī)化，從建立模型到數(shù)值計(jì)算、系統(tǒng)分析都可由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成；④鍵合圖方法建立的模型便于修改和完善，且修改簡(jiǎn)單，工作量小。因此，鍵合圖已成為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析的有力工具。

由文獻(xiàn)[4]可知工程系統(tǒng)和物理系統(tǒng)中以相互作用的子系統(tǒng)(或元件、結(jié)構(gòu))必然傳遞功率作為產(chǎn)生鍵合圖的原始依據(jù)，也是用鍵合圖描述系統(tǒng)的唯一依據(jù)。系統(tǒng)和子系統(tǒng)，子系統(tǒng)和元件之間相互連接的地方有功率流動(dòng)作為通口，用帶半個(gè)箭頭通口線表示通口，每個(gè)鍵均對(duì)應(yīng)有兩個(gè)變量即勢(shì)變量e和流變量f，這一對(duì)變量標(biāo)量積就是該元件的流動(dòng)瞬時(shí)功率。為了方便研究，在鍵合圖中把各類(lèi)變量中的力、轉(zhuǎn)矩、壓力、電壓用一個(gè)共同的符號(hào)e(t)表示，稱(chēng)為勢(shì)，記其于水平線的上方或垂直線的左方。同理，把各類(lèi)功率變量中的速度、角速度、體積流量和電流用另一個(gè)共同的符號(hào)f(t)表示，稱(chēng)為流，記其于水平線的下方或垂直線的右方。表1列出了幾種功率變量范疇中的勢(shì)變量和流變量。

每晚十點(diǎn)，當(dāng)我聽(tīng)人讀詩(shī)，并和這些并未謀面卻情趣相投的人一起讀詩(shī)的時(shí)候，內(nèi)心的壓力、心中的煩悶漸漸轉(zhuǎn)變成工作和生活的動(dòng)力。

表1 幾種能量交換范疇中的勢(shì)變量和流變量

筆者將鍵圖理論和方法應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)模態(tài)分析，為機(jī)械振動(dòng)模態(tài)分析提供了一種新的工具，提出的策略能解決多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)算例詳細(xì)分析了該方法的正確性。

據(jù)住房城鄉(xiāng)建設(shè)部標(biāo)準(zhǔn)定額司司長(zhǎng)蘇蘊(yùn)山介紹，本次發(fā)布的10項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)涵蓋促進(jìn)城市綠色發(fā)展、保障城市安全運(yùn)行、建設(shè)和諧宜居城市三個(gè)方面，包括《海綿城市建設(shè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》《綠色建筑評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》《裝配式混凝土建筑技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》《裝配式鋼結(jié)構(gòu)建筑技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》《裝配式木結(jié)構(gòu)建筑技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》《城市綜合防災(zāi)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)》《城市排水工程規(guī)劃規(guī)范》《城鎮(zhèn)內(nèi)澇防治技術(shù)規(guī)范》《城市居住區(qū)規(guī)劃設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)》《城市綜合交通體系規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)》。

1 基于鍵合圖在模態(tài)分析上的理論推導(dǎo)

由式(1)可得系統(tǒng)的特征值和特征向量為：

圖1 系統(tǒng)的鍵合圖結(jié)構(gòu)

設(shè)Xi= [p1p2…pnq1q2…qm]T,Xd= [PD1PD2…PDn1qD1qD2…qDm1]T, 源場(chǎng)對(duì)系統(tǒng)的輸入U(xiǎn)= [Se1Se2…SesSf1Sf2…Sfr]T。由文獻(xiàn)[4]知Xd為非獨(dú)立能量變量向量,Xi為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。若圖1中儲(chǔ)能元件全部取積分因果關(guān)系(無(wú)因果矛盾)，按一定的規(guī)則，由鍵合圖1可寫(xiě)出線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

(1)

式中：

系統(tǒng)可根據(jù)構(gòu)成它的基本元件作用劃分為不同形式能量場(chǎng), 如圖1所示。其中獨(dú)立貯能場(chǎng)是由具有積分因果關(guān)系[5]的慣性頑抗件I和容性元件C所組成，非獨(dú)立貯能場(chǎng)是由具有微分因果關(guān)系的I元件及C元件所組成，耗散場(chǎng)是由阻性元件R組成，源場(chǎng)是指外界對(duì)系統(tǒng)的輸入。

這是富商之家，在胡人包圍桂州前，富商就見(jiàn)過(guò)梨友，獻(xiàn)上金銀珠寶，還把城中哪些人家有錢(qián)、哪些人家在朝中當(dāng)官，都詳盡地寫(xiě)在單子上，交給了梨友。梨友看他忠誠(chéng)，許破城之日，讓他做桂州縣令。

(2)

Aψi=λiψi， (A-λi)ψi=0

一般地，由[A]陣可得n個(gè)特征值，將它們分別代入式(2)得n個(gè)特征向量，可分別記為：

(3)

顯然由式(2)可得到一對(duì)偶模態(tài)動(dòng)量模態(tài)Φp, 變位模態(tài)Φq及各同形模態(tài)，即得到系統(tǒng)的位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv(速度模態(tài)是位移模態(tài)的同型模態(tài))和應(yīng)變(力、應(yīng)力)模態(tài)Φε(ΦF、Φσ)。這些同型模態(tài)是按照系統(tǒng)本身的物理意義進(jìn)行推導(dǎo)而來(lái)的。

(4)

ψu(yù)i=diag[(IjSi)-1]ψpi

(5)

式中：i=1,2,…n，j=1,2,…m，Si為L(zhǎng)aplace算子。

與狀態(tài)變量q對(duì)應(yīng)的模態(tài)Φq是變形模態(tài)。對(duì)于簡(jiǎn)單一維振動(dòng)情況(軸的縱向振動(dòng)或扭轉(zhuǎn)振動(dòng)等)，同理，由容性元件的構(gòu)成規(guī)律，變形模態(tài)也易轉(zhuǎn)化為力模態(tài)ΦF、應(yīng)變模態(tài)Φε和應(yīng)力模態(tài)Φσ，即：

可得：

(6)

(7)

(8)

式中：

由式(2)得到的特征值和特征向量都是共軛的，存在共軛特征值和共軛特征向量，因此，式(2)可進(jìn)一步改寫(xiě)為：

北極地區(qū)自然資源豐富，據(jù)HIS Energy 公司公布的調(diào)查數(shù)據(jù)，現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的北極油氣儲(chǔ)量約占世界已探明原油儲(chǔ)量的25%。[7]隨著全球氣溫升高，北極地區(qū)將轉(zhuǎn)變?yōu)槿蜃罹邇r(jià)值的自然資源開(kāi)采區(qū)，油氣開(kāi)發(fā)迎來(lái)一個(gè)井噴期。

(9)

由式(9)可得：

Apψqi=λiψpi，Aqψpi=λiψqi

(10)

同理式(2)可改寫(xiě)為：

(11)

可得：

(12)

式(2)可進(jìn)一步改寫(xiě)為：

(13)

隱性分層教學(xué)，“暗中”把相當(dāng)水平的、某些方面相類(lèi)似的學(xué)生歸結(jié)為一個(gè)個(gè)“層次”并分配在不同的組內(nèi)。[1]根據(jù)學(xué)生的層次，對(duì)教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)策略、課后作業(yè)以及考核評(píng)價(jià)等進(jìn)行分層，因材施教，優(yōu)差學(xué)生互助，培養(yǎng)每個(gè)層次學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性和興趣，使每個(gè)層次學(xué)生的英語(yǔ)水平都得到提升。隱性分層的最大優(yōu)點(diǎn)是其對(duì)學(xué)生分層上的“隱蔽性”，更好地保護(hù)了學(xué)生的自尊心，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性，使不同層次的學(xué)生在英語(yǔ)學(xué)習(xí)上都獲得最佳效果。

(14)

(15)

顯然由式(2)可得到一對(duì)偶模態(tài)動(dòng)量模態(tài)Φp, 變位模態(tài)Φq及各同形模態(tài)，即得到系統(tǒng)的位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv和應(yīng)變(力、應(yīng)力)模態(tài)Φε(ΦF、Φσ)。與狀態(tài)變量q對(duì)應(yīng)的模態(tài)Φq是變形模態(tài)，同理，由容性元件的構(gòu)成規(guī)律，變形模態(tài)也易轉(zhuǎn)化為力模態(tài)ΦF、應(yīng)變模態(tài)Φε和應(yīng)力模態(tài)Φσ。因此，鍵合圖理論可用于多能量領(lǐng)域。

2 算例分析

圖2表示一個(gè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，k1=3k，k2=2k，k3=k，m1= 2m，m2= 1.5m，m3=m，求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。

圖2 多自由度系統(tǒng)

其鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 鍵合圖模型

根據(jù)牛頓定律可得:

式中：lj為離散軸各段長(zhǎng)度；i=1,2,…n，j=1,2,…m，π依具體情況而定。

求解其固有頻率為：

對(duì)應(yīng)于三個(gè)固有頻率的主振型列陣為：

情況 3 v7,v8全染顏色1,v2,v6染1,v4只能染2,則可繼續(xù)用上述方法將窮點(diǎn)v3改染為1, 并用3來(lái)染v。

正則振型矩陣為：

利用鍵合圖理論，可得出圖2所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

海歸新生代學(xué)成歸來(lái)后，為了融入中國(guó)土壤，要先了解什么是中國(guó)的親緣與地緣文化，為什么親緣與地緣在中國(guó)這么受重視。中國(guó)情境下，做事只注重目的性是行不通的，需要有一份醉翁之意不在酒的釋然。詳見(jiàn)圖2-1。

將v=p/m代入上式，可求得v1,v2,v3,q4,q5,q6。運(yùn)用自編的Matlab程序，得出多自由度系統(tǒng)的固有頻率和振型，其計(jì)算結(jié)果如表2所列。

表2 固有頻率和振型

采用牛頓定律和利用鍵合圖理論進(jìn)行模態(tài)分析，兩種方法求得的三階振型對(duì)比情況如圖4所示。

對(duì)應(yīng)三階振型數(shù)值的比較為：

可以綜合反映出住院費(fèi)用各構(gòu)成部分在一定時(shí)期內(nèi)的綜合變化情況，其值在0～100%波動(dòng)，波動(dòng)值越大，說(shuō)明在比較期間內(nèi)相關(guān)明細(xì)項(xiàng)目的結(jié)構(gòu)變動(dòng)程度越大。

2.2.3 精密度試驗(yàn) 精密吸取對(duì)照品溶液10 uL，連續(xù)進(jìn)樣6次，記錄峰面積。結(jié)果，峰面積平均值為8 807 154.8，RSD值為0.62%，結(jié)果表明儀器精密度良好。

通過(guò)上面的圖例比較或用對(duì)應(yīng)的數(shù)值相比，利用牛頓定律和鍵合圖方法得到系統(tǒng)的固有頻率和振型是一致的，可得到相同的結(jié)果，前者方法計(jì)算中要分別計(jì)算質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]，按照二階導(dǎo)數(shù)求解，過(guò)程復(fù)雜，而后者只要根據(jù)系統(tǒng)，建立鍵合圖模型，直接寫(xiě)出系統(tǒng)的狀體空間方程，過(guò)程求解顯得更為簡(jiǎn)單，但這只是利用鍵合圖方法優(yōu)勢(shì)的其中一個(gè)方面。實(shí)際上，使用鍵合圖進(jìn)行模態(tài)分析，能將變位模態(tài)Φq經(jīng)過(guò)式(6)～(8)轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步得到力模態(tài)ΦF、應(yīng)變模態(tài)Φε和應(yīng)力模態(tài)Φσ；還能將動(dòng)量模態(tài)Φp通過(guò)式(4)、(5)可得到位移模態(tài)Φu、速度模態(tài)Φv。此外，根據(jù)勢(shì)變量和流變量的關(guān)系，鍵合圖模型還能廣泛應(yīng)用于復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)中的機(jī)、電、磁、液等系統(tǒng)中。

圖4 三階振型比較

根據(jù)前面的計(jì)算，應(yīng)用牛頓定律時(shí)則要求解一元高次方程和方根，且速度模態(tài)Φv和應(yīng)變模態(tài)Φε各有

3.1.1 增設(shè)醫(yī)院班車(chē)。醫(yī)院首先要鼓勵(lì)內(nèi)部的職工盡量乘坐公共交通工具上班，或者醫(yī)院使用固定班車(chē)來(lái)接送醫(yī)務(wù)人員上下班，班車(chē)應(yīng)當(dāng)覆蓋大部分職工的出行線路，減少進(jìn)出醫(yī)院的固定交通流，節(jié)約停車(chē)場(chǎng)的停車(chē)位等交通資源。

一套公式，過(guò)程較復(fù)雜，沒(méi)有鍵合圖理論運(yùn)用于系統(tǒng)的模態(tài)分析方便。充分說(shuō)明了運(yùn)用鍵合圖理論進(jìn)行模態(tài)分析的優(yōu)點(diǎn)。

11月3日10版《林黛玉家到底有多少財(cái)產(chǎn)》，其最后“(作者為華師大中文系教授”，用“(作者為華東師大……)”為妥；我國(guó)還有華中師大、華南師大等。

3 結(jié) 論

利用鍵合圖理論和方法，建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可簡(jiǎn)化物理系統(tǒng)建模和自動(dòng)化仿真，通過(guò)求解矩陣的特征值和特征向量，可快速得到系統(tǒng)的模態(tài)。算例分析說(shuō)明了該方法的正確性，因此，借助鍵合圖，模態(tài)分析理論和方法可推廣到復(fù)雜機(jī)、電、液系統(tǒng)的多能量域中。

[1] 倪振華.振動(dòng)力學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1989.

[2] 薛曉鵬，樊久銘.基于拉格朗日鍵合圖梁-多自由度耦合系統(tǒng)模態(tài)分析[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2010, 27(2):239-242.

[3] 王中雙,高永革.基于鍵合圖理論的系統(tǒng)狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)化方法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1999,18(1):54-56.

[4] 卡諾譜D C, 羅森堡R C, 張志偉.系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)—— 應(yīng)用鍵合圖方法[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,1985.

[5] 王艾倫, 趙振宇.基于鍵合圖方法的自由界面模態(tài)綜合法及其應(yīng)用[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2004,24(2):87-91.

Research on Modal Analysis and Application Based on Bond Graph

ZHAO Zhen-yu， ZHOU Liu-bing

(ShenzhenInstituteofInformationTechnology,Shenzhen,Guangdong518029,Chian)

The traditional modal analysis method is to use Newton′s laws to build motion equation and analyze mass matrix[M] and stiffness matrix[K], solving natural frequencies and mode shapes of systems is very complicated and cumbersome. The bond graph theory and modal analysis method are used in the paper. Through the establishment of the system of state-space equation, the systemic modal could be got. The method is simple and can correctly calculate modal system, access to complete data. The example is provided in the paper and further could prove the correctness and validity of the proposed method.

bond graphs; modal; vibration mode

2014-04-13

廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(編號(hào): S2012010010742)和深圳市科技計(jì)劃項(xiàng)目(編號(hào): JCYJ20130401095559824)

趙振宇(1974-)，男，江西高安人，博士，副教授，主要從事復(fù)雜機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模與仿真、CAD/CAM/CAE研究方面的工作。

TH113.1

A

1007-4414(2014)03-0007-04