周 疆，張超楠

(新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院,新疆 烏魯木齊 830046)

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)m,n∈, 0<α

(1)

作為經(jīng)典Riesz位勢的多線性推廣, 式(1)所定義的算子已被廣泛地研究, 可參看文獻 [1-6] 及所引文獻.

一個局部可積函數(shù)b屬于 BMO(n)空間, 如果

對于β>0, 齊次Lipschitz 函數(shù)空間 Lipβ(n) 定義為

(2)

其中：m∈,b=(b1,…,bm)為一族局部可積函數(shù), 且

(3)

定理1 設(shè)ωj:n×+→+的正則函數(shù),m∈,且若是Lp1×…×Lpm→Lp有界的,bj∈Lipβ(n),則是Lp1,ω1×…×Lpm,ωm→Lp,ω有界的, 即存在常數(shù)C, 使得

2 基本引理

首先, 介紹一些將要用到的定義和引理.

定義1[10]設(shè)正則函數(shù)ω:n×+→+, 1

其中:B(x,r)表示以點x為中心且邊長為r的球體, 則稱函數(shù)f屬于廣義 Morrey 空間.

因此廣義的 Morrey 空間是經(jīng)典 Morrey 空間和 Lebesgue 空間的推廣.

以下引理在本文證明中是必要的.

引理1[8]設(shè)Q*?Q,b(x)∈Lloc(n), 則存在常數(shù)C, 使得

|bQ-bQ*|≤C‖b‖Lipβ(n)|Q|β/n.

引理2[8]對于 0<β<1,1≤p<∞, 有

3 定理的證明

Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ.

C(‖b1‖Lipβ+‖b2‖Lipβ)‖f1‖Lp1,ω1‖f2‖Lp2,ω2

對于Ⅱ, 進行分解得:

|Ⅱ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ2B)(x)|:=Ⅱ1+Ⅱ2+Ⅱ3+Ⅱ4.

對于Ⅱ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈2B, 有|(x-y1,x-y2)|～|x-y1|+|x-y2|～|x-y1|, 根據(jù) H?lder 不等式, 得

類似于Ⅱ1的估計, 對于Ⅱ2, 有

對于Ⅱ3, 由引理1,引理2及H?lder 不等式, 得

類似于Ⅱ3的估計, 對于Ⅱ4, 有

綜合以上的估計, 有

同樣, 對于Ⅲ, 有

下面證明對Ⅳ也有同樣的估計, 首先對Ⅳ 進行如下分解:

|Ⅳ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ(2B)c)(x)|:=Ⅳ1+Ⅳ2+Ⅳ3+Ⅳ4.

對于Ⅳ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈(2B)c, 有 |x-y1|～|x-y2|, 根據(jù)H?lder 不等式, 得

同理可得:

類似的證明方法, 也有

以及

結(jié)合上面對Ⅳ1,Ⅳ2,Ⅳ3,Ⅳ4的估計, 有

綜上所述, 得

定理證明完畢.

參考文獻:

[1]Bernardis A, Salinas O. Two-weight norm inequalities for the fractional maximal operator on spaces of homogeneous type [J]. Studia Math, 1994, 212(3): 201-207.

[2]Chen Xi, Xue Qingying. Weighted estimates for a class of multilinear fractional type operators [J]. J Math Anal Appl, 2010, 362: 355-373.

[3]Grafakos L. On multilinear fractional integrals [J]. Hokkaido Math J, 1998, 27(1): 219-232.

[4]Lian Jiali, Ji Li, Wu Huoxiong. Multilinear commutators of BMO functions and multilinear singular integrals with non-smooth kernels [J]. Appl Math J Chinese Univ, 2011, 26(1): 109-120.

[5]Moen K. Weighted inequalities for multilinear fractional integral operators [J]. Collect Math, 2009, 60: 213-218.

[6]Muckenhoupt B, Wheeden R L. Weighted norm inequalities for fractional integral [J]. Trans Amer Math Soc, 1974, 192: 261-274.

[7]Chanillo S. A note on commutators [J]. Indiana Univ Math J, 1982, 31: 7-16.

[8]Paluszyński M. Characterization of the Besov spaces via the commutator operators of Coifman, Rochberg and Weiss [J]. Indiana Univ Math J, 1995, 44(1):1-17.

[9]Pérez C, Torres R. Sharp maximal function estimates for multilinear singular integrals [J]. Contemp Math, 2003, 320: 323-331.

[10]Softova L. Singular integrals and commutators in generalized Morrey spaces [J]. Acta Math Sinica, English Series, 2006, 22(3): 757-766.