陳永亮, 韓曉玲

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預(yù)備知識

隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)理論在各類隨機(jī)微分積分方程的研究中起著重要作用,文獻(xiàn)[1]將Banach壓縮原理隨機(jī)化,得到了隨機(jī)壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理;A.T.Bharucha Reid[2]將著名的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理隨機(jī)化,建立了隨機(jī)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理;張石生[3]建立了一系列隨機(jī)壓縮映像不動(dòng)點(diǎn)定理;李國禎[4]將Leray-Schauder拓?fù)涠群筒粍?dòng)點(diǎn)指數(shù)理論隨機(jī)化,建立了隨機(jī)拓?fù)涠群椭笖?shù)理論;上述不動(dòng)點(diǎn)定理都有著廣泛的應(yīng)用.

近年來,許多學(xué)者不斷的將Banach壓縮原理進(jìn)行改進(jìn),得到了各種形式的壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理[5-10].本文將文獻(xiàn)[5]中的不動(dòng)點(diǎn)定理隨機(jī)化,得到了一個(gè)新的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)定理.

本文假設(shè)(Ω,Σ,μ)為一完備的概率測度空間,E為可分的實(shí)Banach空間,(E,B)為可測空間,其中,B為E的一切Borel子集的σ-代數(shù).

定義1.1[11]映像x:Ω?E稱為E-值Σ-可測,若對E中的任意開集S,集合{ω∈Ω|x(ω)∈S}∈Σ.

定義1.2[11]算子A:Ω×E?E稱為隨機(jī)算子,若對?x∈E,A(ω,x)為E-值隨機(jī)變量,即對E中任意閉集S,集合{ω∈Ω|A(ω,x)}∈Σ.特別地,若算子A(ω):E?E對?x∈E,A(ω)x為E-值隨機(jī)變量,則A(ω)為隨機(jī)算子.

定義 1.3[12]設(shè)A(ω)為隨機(jī)算子,若存在E-值隨機(jī)變量x(ω),使得A(ω)x(ω)=x(ω),?ω∈Ω,則稱x(ω)為算子A(ω)的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

定義1.4[10]設(shè)θ是E的零元素,P是E中的一個(gè)集合,intP表示P的內(nèi)部.集合P被稱為一個(gè)錐,如果:

(a)P是非空的閉集且P≠{θ};

(b)a,b∈R,a,b≥0,x,y∈P?ax+by∈P;

(c)P∩(-P)={θ}.

對于給定的錐P,可以通過如下方法在P上定義偏序關(guān)系?,x?y當(dāng)且僅當(dāng)y-x∈P.x?y表示x?y且x≠y.x?y表示intP.如果P非空,則稱P為體錐.

定義1.5[10]錐P?E稱為正規(guī)錐,如果?K>0使得對所有的x,y∈E,

定義1.6[10]設(shè)X是一個(gè)非空集,映射d:X×X?E,其中d滿足:

(i)θ?d(x,y),?x,y∈X,d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(ii)d(x,y)=d(y,x),?x,y∈X;

(iii)d(x,y)?d(x,z)+d(z,y),?x,y,z∈X,則稱d是X上的一個(gè)度量,(X,d)是一個(gè)抽象的度量空間.

引理1.1[10]若P是E中的一個(gè)正規(guī)錐,則?E的一個(gè)單調(diào)范數(shù)‖·‖1,即?x,y∈E,

如果P還是一個(gè)體錐,則有

2 主要結(jié)果和證明

顯然,對一些n∈N,上面2個(gè)不等式不能同時(shí)成立,即對每一個(gè)n∈N必有以下2種情形之一成立:

若(2)式成立時(shí),可以得到若(3)式成立時(shí),可以得到

顯然,能使得以上2個(gè)不等式之一成立的n構(gòu)成N中的一個(gè)無限集.如果能使不等式(2)成立的n構(gòu)成無限集N1∈N,則取極限,當(dāng)N1?n?∞可得

不等式(3)成立的情形與不等式(2)的證明類似,因此,無論那一種情形都可以得到

這與假設(shè)沒有隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)矛盾.

假設(shè)v(ω)是T(ω)的一個(gè)隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn),u(ω)是T(ω)的另一個(gè)隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn),v(ω)∈X;u(ω)∈X,v(ω)≠u(ω).因

根據(jù)(1)式可得

如果E≤B+C+D,則A+D+E≤A+B+C+2D=1,這就與d(u(ω),v(ω))>0矛盾.證畢.

如果取A=1和B=C=D=E=0,可以獲得隨機(jī)化了的Suzuki不動(dòng)點(diǎn)定理.

推論2.2設(shè)(X,d)是一個(gè)緊的度量空間,隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

如果取A=D=E=0和B+C=1,B≠0,可以得到隨機(jī)化了的Kannan不動(dòng)點(diǎn)定理.

推論2.3設(shè)(X,d)是一個(gè)緊的度量空間,隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

其中,B、C是非負(fù)常數(shù),滿足B+C=1,C≠1,則T(ω)在X中有唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

如果取A=B=C=0和D=1/2,可以得到隨機(jī)化了的Chatterjea不動(dòng)點(diǎn)定理.

推論2.4設(shè)(X,d)是一個(gè)緊的度量空間,隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

其中,E是任意固定的非負(fù)常數(shù),則T(ω)在X中有隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).如果,則不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.

定理2.5設(shè)(X,d)是錐P上一個(gè)緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

證明因?yàn)镻是一個(gè)正規(guī)的體錐,由引理1.1得,存在E的一個(gè)單調(diào)范數(shù)‖·‖1,即

則D是一個(gè)實(shí)值度量,(X,D)是一個(gè)緊的度量空間.這樣就把原問題等價(jià)的轉(zhuǎn)化為證明推論2.2的條件,即對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,?ω∈Ω有

這就與假設(shè)矛盾.因此可得

根據(jù)范數(shù)的單調(diào)性可得

由推論2.2可得T(ω)在X中有一個(gè)隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

定理2.6設(shè)(X,d)是錐P上一個(gè)緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

其中,A、B、C、D、E是非負(fù)常數(shù),滿足:A+B+C+2D=1且C≠1,則T(ω)在X中有一個(gè)隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn),進(jìn)一步假設(shè)E≤B+C+D則不動(dòng)點(diǎn)是唯一的.

推論2.7設(shè)(X,d)是錐P上一個(gè)緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

其中,B、C是非負(fù)常數(shù),滿足B+C=1,C≠1,則T(ω)在X中有唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

推論2.8設(shè)(X,d)是錐P上一個(gè)緊的錐度量空間,其中,P是正規(guī)的體錐.隨機(jī)算子T:Ω×X?X,假設(shè)對任意可測的隨機(jī)變量x(ω),y(ω)∈X,x(ω)≠y(ω),?ω∈Ω有

則T(ω)在X中有唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn).

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