關(guān)于不定方程x2+64=y11的解的討論

安 曉 峰

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

A，B∈N，A無平方因子，關(guān)于不定方程Ax2+B=yn(其中x，y∈N，n≡1(mod2)，n>1) 的解的討論是數(shù)論中的一類重要課題.近來文獻(xiàn)[1-5]用代數(shù)數(shù)論的方法證明了幾種不同方程的整數(shù)解，而A=1，B=64，n=11的情況未曾討論.為此，利用代數(shù)數(shù)論的方法證明了不定方程x2+64=y11無整數(shù)解.

定理1 不定方程

x2+64=y11，x，y∈Z

(1)

無整數(shù)解.

證明先假設(shè)x≡1(mod2)，在Z[i]中，式(1)可以寫成(x+8i)(x-8i)=y11，x，y∈Z.

設(shè)δ=([x+8i]，[x-8i])，由δ|([2x]，[16i])，知δ只能取[1]，[1+i]，[2]，因x≡1(mod2)，知x+8i≡1(mod2)，所以δ≠[2]；如果δ=[1+i]，則N(1+i)|N(x+8i)，即2|x2+64，但這與x≡1(mod2)矛盾，因此δ=[1].

由Z[i]唯一分解性得到x+8i=(a+bi)11，x，a，b∈Z，因而有

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b8-11ab10

(2)

8=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)

(3)

因此b=±1，±2，±4，±8.

當(dāng)b=±1時(shí)，由式(3)可得

11a2(a8-15a6+42a4-3a2+5)=9，-7

(4)

式(4)要成立，要滿足11|9，11|-7，矛盾.

當(dāng)b=±2時(shí)，由式(3)可得

4(±1+28)=11a10-165a8·22+462a6·24-330a4·26+55a2·28

(5)

即得

4(165a8+28±1)=11a2(a8+42a4·24-30a2·26+5·28)

(6)

式(6)要成立，需滿足11|165a8+28±1,矛盾.

當(dāng)b=±4時(shí)，由式(3)可得

2(±1+219)=11a10-165a8·42+462a6·44-330a4·46+55a2·48

即

2(±1+219-180 224 0a2)=11a2(a8-15a6·42+42a4·44-30a2·48)

(7)

式(7)要成立，需滿足11|±1+219-180 224 0a2，矛盾.

當(dāng)b=8時(shí)，由式(3)得

1=11a10-165a8·82+462a6·84-330a4·86+55a2·88-810

即

810+1=11a2(a8-15a6·82+42a4·84-30a2·86+5·88)

(8)

當(dāng)b=-8時(shí)，由式(3)得-1=11a10-165a8·82+462a6·84-330a4·86+55a2·88-810，即a10-15a8·82+42a6·84-30a4·86+5a2·88=97 612 893，從而有

a2(a8-15a4·82+42a6·84-30a2·86+5·88)=32×7×31×151×331

(9)

式(9)要成立，需滿足a=±1，±3，而當(dāng)a=±1時(shí)，a10-15a4·82+42a6·84-30a2·86+5·88≠97 612 893，此時(shí)無整數(shù)解.同理，當(dāng)a=±3時(shí)也無整數(shù)解.所以當(dāng)x≡1(mod2)時(shí)，式(1)無整數(shù)解.

當(dāng)μ=[1]時(shí)，i(i-1)10=25一定只能整除[x2+i]或[x2-i]中的一個(gè)，但x2為奇數(shù)，從而不成立，所以25不能整除[x2+i]或[x2-i]，故μ≠[1],所以μ=[1-i].因此式(1)可化為

由Z[i]是唯一分解環(huán)，可令x2+i=(1+i)5(a+bi)11(a，b∈Z)，可得

(10)

(11)

顯然式(11)不成立，故此種情況，式(11)無整數(shù)解.

綜上討論結(jié)果，不定方程x2+64=y11，x，y∈Z無整數(shù)解.

參考文獻(xiàn)：

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