郭林鋒 李秀君 趙雪美

(1.上海理工大學環(huán)境與建筑學院，上海 200093； 2.南京理工大學計算機科學與工程學院，江蘇 南京 210094)

·招標投標·

基于次低價中標法的最優(yōu)投標報價模型

郭林鋒1李秀君1趙雪美2

(1.上海理工大學環(huán)境與建筑學院，上海 200093； 2.南京理工大學計算機科學與工程學院，江蘇 南京 210094)

根據(jù)評標采用次低價中標原則，建立了使中標概率最大的最優(yōu)投標報價模型，結(jié)合Matlab軟件，給出了該模型的求解程序，并羅列出在不同的投標單位數(shù)目下，最優(yōu)投標報價與招標控制價的關系式，結(jié)果表明所建立的模型能較大幅度地提高中標率。

投標報價，次低價中標，最優(yōu)，中標率

隨著我國建設項目投資的不斷擴大，建設工程招標制度使用的范圍越來越廣，招標已成為我國建設工程施工發(fā)包的主要形式。除法律規(guī)定的特殊工程外，絕大多數(shù)建設工程都要通過招標選擇施工單位。建設工程施工投標對施工企業(yè)的經(jīng)營起著重要的作用，企業(yè)是否能夠投標成功已經(jīng)成為企業(yè)生存和發(fā)展的重要條件。在建筑工程的招投標過程中，確定中標的方法多種多樣，主要有經(jīng)評審的最低價法、次低價中標法、最接近標底中標法和綜合評估法等[1，2]。與最后兩種評標方法相比，第一種方法透明性強、不易被人操縱，而且能夠降低招標成本，但在過度激烈的競爭中，有的單位以較低造價報價，中標后為了能夠獲利，而降低工程質(zhì)量，使得運用最低價法評標失去其本質(zhì)目標。為了改善因評標采用最低價法而帶來的弊端，次低價中標法被招標單位所采納，并且在實際評標過程中運用的越來越多。評標采用次低價中標法，不僅能防止施工單位過度壓低報價，而且它也具有透明性強、不易被人操縱、能夠降低招標成本等優(yōu)點。

隨著招標單位所選擇評標方法的不同，投標報價的策略也隨之而改變。近年來最優(yōu)投標報價問題的研究取得了一系列豐碩的成果，評標采用綜合評估法可以利用模糊數(shù)學[3]、頻率直方圖[4]、公式法[5]等方法確立最優(yōu)報價，評標采用經(jīng)評審的最低價法可以應用概率分布法[6,7]、博弈理論[8，9]等方法確定最優(yōu)報價，而評標采用次低價法的數(shù)學模型較少。本文則主要運用概率分布法建立評標采用次低價法的最優(yōu)投標報價模型。

1 模型的假設

1)招標人給出的招標控制價準確合理，能夠反映工程實際情況，且能為投標單位投標報價提供正確的引導。

2)所有參加投標的單位都符合招標文件中的資質(zhì)要求。

3)參加投標的單位相互獨立，無信息溝通，更不會出現(xiàn)圍標現(xiàn)象。

4)投標單位所雇用的造價人員熟悉工程量清單規(guī)范，制作的標書無原則性錯誤，即不會產(chǎn)生廢標。

5)評標遵循公開、公平和公正原則，且采用“次低價中標”的評標原則。

2 模型的準備

2.1 確定投標報價的區(qū)間

在招標單位發(fā)布的招標文件中，都包含著招標控制價。投標單位進行投標時，其投標報價不得高于招標控制價，一旦高于招標控制價，都作廢標處理。由此可以看出，投標報價所在區(qū)間的最大值即為招標控制價。

根據(jù)工程量清單規(guī)范可知：以社會平均成本作為參照的招標最低價B是以招標控制價A下降一定幅度K來計算的[10，11]。計算公式為：B=A×(1-K)，其中K=K1×Q+K2×(1-Q)，K1與K2在建筑工程(含隨主體發(fā)包的裝飾裝修、安裝、室外總體等工程)中取值區(qū)間為6%～12%，Q的取值區(qū)間為30%～70%。根據(jù)放縮法可知K≤12%，因此B≥0.88A。根據(jù)假設4)認為投標人熟悉工程量清單規(guī)范中上述基本內(nèi)容，因此可以認為所有投標報價均在[0.88A,A]區(qū)間內(nèi)。

2.2 確定投標報價的區(qū)間

根據(jù)假設5)評標采用“次低價中標”的評標原則，可以認為大多數(shù)單位投標報價都是偏向區(qū)間[0.88A,A]的左側(cè)。將投標報價看作區(qū)間[0.88A,A]上的隨機變量，其概率密度函數(shù)趨于偏左側(cè)的偏態(tài)分布。

由于β分布根據(jù)參數(shù)的不同可以描述不同的偏態(tài)分布，而且它可以通過三點估計法確定分布中的參數(shù)，是一種常用的、適合描述投標報價的概率分布[12]。因此，本文選擇β分布來描述投標報價的概率分布。

β分布由變量的最小值a、最大值b和形狀參數(shù)r，s確定，其密度函數(shù)為：

(a≤x≤b,r>0,s>0)

(1)

(2)

(3)

其中，a為變量的最小值；b為變量的最大值；r，s均為密度函數(shù)的形狀參數(shù)。

2.3 確定密度函數(shù)中的參數(shù)

β分布的密度函數(shù)可以由三點估計來確定，即形狀參數(shù)r,s可根據(jù)變量的最小值a,最大值b和眾數(shù)m來確定。根據(jù)經(jīng)驗公式，三點估計法的β分布均值和方差的估計值分別為[13]：

(4)

(5)

其中,a為變量的最小值；b為變量的最大值；m為眾數(shù)。

根據(jù)上面的式子，只需知道a，b,m的數(shù)值，就可以求解參數(shù)r和s，而變量的最小值a,最大值b和眾數(shù)m分別與最小報價值a′,最大報價值b′和最可能報價值m′相對應，其中a′=0.88A，b′=A，關鍵是確定m′的數(shù)值。

2.3.1 確定最可能報價值

2.3.2 分布區(qū)間的標準化及參數(shù)的確定

由于眾數(shù)m與投標單位數(shù)目n有關。因此，對于不同的投標單位數(shù)目而言，隨機變量x在區(qū)間[0,1]上的概率密度函數(shù)是不一樣的。但是，只要投標單位數(shù)目n是確定的，無論最高控制價A取何值，該概率密度函數(shù)都是固定的。如圖1,圖2所示，在投標單位數(shù)目n=3的情況下，圖1中的概率密度圖形會隨著最高控制價A的變化，而發(fā)生位置與形狀的改變。而圖2中的概率密度圖形與最高控制價A無關，是一個位置和形狀都確定的圖形。與圖1相比，圖2無需考慮最高控制價A，更加簡潔明了。因此，對分布區(qū)間進行標準化，能夠?qū)⒕哂邢嗤稑藛挝粩?shù)目的概率密度函數(shù)統(tǒng)一化，更有利于求解最優(yōu)投標報價問題。

(6)

其中，n為投標單位的數(shù)目。

從形狀參數(shù)r和s表達式也可以看出：隨機變量x在[0，1]區(qū)間上的概率密度函數(shù)僅與投標單位數(shù)目n有關；對于不同的投標單位數(shù)目，該概率密度函數(shù)是不一樣的。

在投標的過程中，可以根據(jù)投標單位數(shù)目n以及式(6)，得出形狀參數(shù)r和s的數(shù)值，進而確定出在[0，1]區(qū)間上的概率密度函數(shù)。

3 模型的建立與求解

3.1 模型的建立

根據(jù)次低價中標原則，當有n家單位參與投標且投標報價c′A為中標價時，說明沒有中標的n-1家單位中有一家單位投標報價在區(qū)間[0.88A,c′A)內(nèi)，其他n-2家單位的投標報價在區(qū)間(c′A,A]內(nèi)。因此，以c′A作為投標報價，其中標概率為：

(7)

其中，n為投標單位的數(shù)目；A為最高控制價；c′為報價系數(shù)；f(t)為投標報價的概率密度函數(shù)。

(8)

(9)

為了使該中標概率最大，可以建立以下模型：

(10)

根據(jù)上面對式(7)的簡化，可以將該模型簡化為：

(11)

3.2 模型的求解

4 模型的結(jié)果分析與評價

1)在建設工程招投標中，只要是根據(jù)次低價中標原則來評標，就可以運用該模型來確定最優(yōu)投標報價。通過該模型，只需知道招標最高控制價A和參加投標單位的數(shù)目n，就可以定出最優(yōu)投標報價，使得該投標報價的中標概率最大，而在實際招投標過程中最高控制價和參加投標單位數(shù)目都是可知的，由此，可以看出該模型實用性較強。

表1 模型求解數(shù)據(jù)表

2)根據(jù)最大中標概率與投標單位數(shù)目n的關系圖(見圖3)，可以看出：隨著投標單位數(shù)目n的逐漸增加，運用該模型得到的最大中標概率逐漸趨近于某一定值。

3)運用該模型得到的中標概率與平均中標概率相比，其中標提高率的表達式如下所示：

(12)

從中標提高率與投標單位數(shù)目n的關系圖(見圖4)，可以看出：中標提高率趨于線性增加，并且增加的幅度較大。結(jié)合表1，還可以看出：當投標單位n=5時，運用該模型得到的中標概率已經(jīng)比平均中標概率提高了1.109倍，而且隨著n的增加，中標提高率增加的倍數(shù)越大。由此可知：投標單位越多，運用該模型對提高中標率越有利。

4)本文還給出了在Matlab中求解最優(yōu)投標報價的程序，投標人可以運用該程序，根據(jù)提示，輸入?yún)⒓油稑藛挝坏臄?shù)目n和最高控制價A，就可以得到最優(yōu)投標報價。如果參加投標單位的數(shù)目n在表1范圍內(nèi)，還可以根據(jù)表1直接確定最優(yōu)投標報價，使中標概率最大。在實際的投標過程中，投標單位可以根據(jù)本模型所得的最優(yōu)投標報價作為報價的參考依據(jù)。

5 結(jié)語

在建設工程招投標中，次低價中標原則憑借自身的優(yōu)勢，在評標中應用越來越廣泛，而此種原則下的投標報價模型較少。本文提出一種最優(yōu)投標報價模型，只要是根據(jù)次低價中標原則來評標，就可以運用該模型來確定最優(yōu)投標報價。投標單位只需根據(jù)招標控制價和參與投標單位的數(shù)目，運用本文提供的Matlab程序或者表1中的關系式，就可以確定使投標單位中標可能性最大的投標報價。運用該模型得到的最優(yōu)投標報價進行投標，其中標概率比僅有3家單位參加投標的平均中標概率還要大，并且能夠較大幅度地提高中標概率，使得企業(yè)更具有競爭力。因此，在實際的投標過程中，為了能夠使企業(yè)中標的概率最大，投標單位可以參照本文提出的模型進行投標報價。

附程序1：本文所建立最優(yōu)投標報價模型的計算機程序(MATLAB[14])。

clc;clear;

n=input(’請輸入n的值:’)

symsx

a=0;b=1;

r=(n+4)*(2*n^2+8*n-8)/(3*n^3)

s=(5*n-4)*(2*n^2+8*n-8)/(3*n^3)

j=betainv(1/(n-1),r,s)

c=(1-0.88)*j+0.88

c=vpa(c,10) %改變c的精度,可使最優(yōu)投標報價精確至分

A=input(’請輸入招標控制價A的值’)

B=A*c;

fprintf(’最優(yōu)投標報價:’),B

[1] 林奕文.淺談工程投標中最低價中標的利弊[J].廣東土木與建筑,2002(8):41-42.

[2] 賈長麟.對最低價中標評標方法的信息經(jīng)濟學分析[J].建筑經(jīng)濟,2008(5):76-78.

[3] 鄧鐵軍,歐 莉,龔亮英.工程投標報價策略模型的研究及其運用[J].株洲工學院學報,2004,18(5):57-60.

[4] 孫洪濤.建筑工程投標報價數(shù)學模型探討[J].甘肅科技縱橫,2006,35(5):161-162.

[5] 張 曙.復合法評標方式下最優(yōu)投標報價研究[J].鐵路工程造價管理,2009,24(2):16-18.

[6] Lawrence Friedman. A Competitive-Bidding Strategy[J]. Operations Research,1956,4(1):104-112.

[7] 賈長麟.最低價中標規(guī)則下企業(yè)最優(yōu)投標報價研究[J].武漢理工大學學報,2010,32(3):490-493.

[8] John G Riley, William F Samuelson. Optimal Auction[J].The American Economist,1981(71):381-392.

[9] 藍筱晟.最低價中標法的投標博弈研究[J].價值工程,2011(15):75-76.

[10] 楊琳琳.房地產(chǎn)項目最低價中標法的投標報價合理性研究[J].綿陽師范學院學報,2012,31(7):20-22.

[11] 陳 群,孫 磊.蒙特卡羅法在投標報價中的應用[J].武漢理工大學學報,2009,31(3):503-506.

[12] 姜鵬飛.設計投標中的蒙特卡洛模擬報價研究[J].工業(yè)技術經(jīng)濟,2009,28(8):104-106.

[13] 王卓甫.工程項目風險管理——理論、方法與應用[M].北京:中國水力水電出版社,2002:96-97.

[14] 蒲 俊,吉家鋒,伊良忠.matlab6.0數(shù)學手冊[M].上海:浦東電子出版社,2009:144.

Optimal bidding price model under the rule of secondary low bid

GUO Lin-feng1LI Xiu-jun1ZHAO Xue-mei2

(1.SchoolofEnvironmentandArchitecture,ShanghaiUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200093,China；2.SchoolofComputerScienceandEngineering,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

According to the rule of secondary low bid, an optimal bidding price model was established in the above conditions which could maximize the winning rate of the bid. Moreover, this paper also presented a Matlab program to solve the model and the relationship between optimal bidding price and bidding control price with different bidder numbers. Result analysis of the model showed that the established optimal bidding price model can greatly improve the winning rate of the bid.

bid price, secondary low bid, optimal, winning rate of the bid

1009-6825(2014)34-0241-04

2014-09-22

郭林鋒(1988- )，男，在讀碩士； 李秀君(1976- )，女，博士，副教授； 趙雪美(1988- )，女，在讀碩士

TU723.2

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